粘接材料及結構在雙軸受壓和溫度耦合作用下變形的尺度效應和非局部效應分析

劉 亮,彭香武,王青占,郭興明

(上海大學上海市應用數學和力學研究所,上海 200072)

粘接材料及結構在雙軸受壓和溫度耦合作用下變形的尺度效應和非局部效應分析

劉 亮,彭香武,王青占,郭興明

(上海大學上海市應用數學和力學研究所,上海 200072)

基于非局部理論,分析了雙層完好粘接板在雙軸受壓和溫度場耦合作用下屈曲的尺度效應和非局部效應.通過理論計算對經典彈性理論和非局部理論的計算結果進行了比較分析.結果表明:在非局部理論下,由于系統內部結構之間的相互作用,系統的屈曲臨界力有所降低,并且當屈曲波數越大時,內部結構相互作用域進一步收縮,使得有效彎曲剛度減小,所以非局部參數對屈曲力的影響更為顯著;在外載荷和溫度耦合作用下,溫度升高會導致屈曲臨界力減小,溫度降低會導致屈曲臨界力增大.還對3種不同溫度場進行了討論,分析了在3種溫度場下溫度變化對外載荷的影響,以及與系統尺寸大小的關系.

非局部理論;粘接材料;屈曲;雙軸受壓;溫度變化

隨著電子產業和建筑業的迅速發展,為了滿足特定的工業性能以及材料和結構的加固修復等需要,粘接材料也得到了充分的應用.因為粘接材料內的應力和應變傳遞與傳統的機械緊固相比分布更加均勻,且粘接材料和結構具有強度高、成本低、質量輕和外表光滑等優勢,所以粘接材料在很多領域得到了充分利用,如橋梁的加固、電子元件、宇航器件粘接減輕質量等.對粘接問題的研究也較多,例如Chen等[1]對彈性基體上粘接的薄膜屈曲問題進行了討論,分析了人字形屈曲模型的原理.Huang等[2-4]分析了彈性基體、粘彈性基體和粘性基體上粘接薄膜的屈曲問題,討論了不同基體下能量和動力學對起皺臨界條件的影響.Li等[5]則通過建立三維模型,對粘接薄膜的屈曲和后屈曲進行了研究.

隨著制造業的蓬勃發展,工業器件的尺寸也逐漸變小,這樣可以減小體積、減輕質量,方便日常的攜帶使用,但由此也帶來了一些客觀問題,如微電子材料的力學行為和細微力學等.經典的連續介質力學把物體看成均勻的連續介質,運用場的概念來描述物質的運動,而且局限于在宏觀范疇內應用.隨著新材料的快速發展和高端技術的運用,出現了許多用經典理論不能解決的實際問題.不論什么物質都有其自身特定的內部結構.這些結構通過原子間的相互作用或者介質的傳遞,彼此間存在一定的影響.無論內部的相互作用是哪種尺度上的,對于特定的物質,都存在一個對應的內部特征尺度.當內部特征尺度和外部特征尺度相近時,內部結構對外載荷作用的影響就顯得尤為重要.這時,經典理論就不能精確地解決實際問題,需要尋求新的解決方法.Eringen[6-8]建立了系統的非局部理論.因為非局部理論既有經典連續介質理論的基礎,又精確表達了物質內部的相互作用,所以在許多問題中得到了應用,尤其在斷裂問題和小尺度材料的力學分析等方面.Shen[9]利用非局部理論對基體上薄膜進行了非線性分析.Bazant等[10-11]基于非局部理論對材料的斷裂損傷和屈服極限等問題進行了研究分析.Pradhan等[12-14]對彈性基體上單層石墨烯或者納米板的單軸、雙軸壓縮屈曲及其振動進行了研究.Wang等[15]運用非局部理論對微納尺度結構做了靜態分析.Samaei等[16]利用非局部Mindlin板理論分析了彈性基體中單層石墨烯的屈曲問題.Aghababaei等[17]在板的高階剪切非局部理論下研究了納米板的線性屈曲和振動的非局部效應.Arash等[18]在已有結果的基礎上對非局部理論在微納尺度材料上的應用做了總結.Narendar[19]通過板的一階剪切變形理論分析了非局部理論下微納尺度板的屈曲問題.此外,在現代的機械制造、航空航天、冶金建筑等國防和民用工業領域中,熱應力和熱屈曲現象普遍存在.器件在工作期間由于摩擦導致溫度的改變會引起熱應力的產生.這對器件的強度安全和使用壽命都會產生很大影響,因此結構的熱屈曲分析一直都備受關注.在小尺度材料中,Hao等[20]在分析多壁碳納米管的扭轉屈曲時就考慮了溫度對其結果的影響.結果表明,溫度升高(降低)時會導致屈曲力減小(增大). Wang等[21]討論了非局部參數影響下納米板的熱屈曲問題.Kumar等[22]分析了彈性基體中多層石墨烯的熱振動問題,溫度對材料的穩定性影響得到了廣泛的關注.

本工作從雙層完好粘接板模型出發,基于非局部理論,對模型在雙軸受壓和溫度耦合作用下的屈曲穩定性以及相關的尺度效應進行了研究討論.結果表明,非局部參數對屈曲力的影響比較顯著,尤其當屈曲波數較大時,非局部參數對屈曲力的影響更加顯著,不可忽略;同時得到了溫度變化對屈曲力的影響關系.分別討論了在3種不同溫度場下溫差對外載屈曲力的影響.本工作所得到的結果將對相關工業器件的強度設計和安全監測提供很大的參考價值.

1 模型及控制方程的建立

如圖1所示,雙層完好粘接板由不同材質的各向同性材料組成,上下板的厚度分別為h1和h2,彈性模量分別為E1和E2,泊松比分別為ν1和ν2,模型的長為a,寬為b,板在雙軸受到的軸向壓力分別為Nx1,Ny1,Nx2,Ny2.在發生屈曲前上下板保持完好粘接,不發生脫粘.

圖1 雙層粘接板雙軸受壓模型Fig.1 Double layer bonding plates under both biaxial compression

基于Eringen[6]的非局部彈性理論,連續彈性介質中某一參考點的應力不僅僅取決于這一點的應變,同時還受到相連應變域內各點對其的影響.在非局部理論中,模型內部尺寸被當作特定的材料參數,因此最通常形式的非局部理論下的本構關系涉及一個整體的積分.在忽略體重之后,有線性均勻的非局部彈性體的基本方程為

式中,σij為參考點的應力,Cijkl為四階應力張量,λ(|x-x0|,τ)為非局部系數(或者稱為本構方程的衰減函數,表示非局部理論下,x0點對參考點x的影響),|x-x0|為歐氏空間下兩點的距離,τ=e0a/l為材料參數(由內部和外部的特征長度決定,其中比較關鍵的參數e0可以通過非局部理論計算值和分子動力學結果推算得到),a和l分別為內部和外部特征長度.對于線性各向同性材料,式(1)可以簡化為如下的應力應變關系:

二維的雙層粘接板的非局部本構方程為

由應力可得外載荷和彎矩的表達式為

在非局部理論下,非局部參數的確定至關重要,而非局部參數與材料內部相互作用的尺度相關聯,且非局部參數的量綱為長度的平方.在控制方程(14)下,本工作設定模型材料參數時所取的模型尺寸為無量綱下的尺寸.假設b=10,h2=1,μ=0.4,本工作對雙軸受壓和溫度耦合作用下的系統的臨界屈曲波數進行了討論分析.可以發現,在均勻溫度場中,當ΔT=100K, Γ=5,ξ=0.1,Λ=10,ψ=1,δ=1,e0a=1.0時,隨著屈曲波數m,n的增大,所需的屈曲外載荷也逐漸變大;當波數m=n=1時,所需的屈曲外載荷的值最小,即為屈曲臨界值(見圖2).在討論溫度場變化對屈曲力的影響時,取屈曲臨界波數m=n=1進行計算分析.

圖2 波數m,n對屈曲力的影響Fig.2 E ff ects of wave numbers on buckling loads

由圖2可知,波數m,n對屈曲力的影響較大.為了觀察非局部理論下,非局部參數對屈曲力的影響,本工作選取了不同的非局部參數(e0a=0,0.5,1.0,2.0)進行計算.當e0a=0時,即為經典連續介質理論下的計算結果.分析計算結果可以看出,當非局部參數逐漸增大,即系統的內部結構對屈曲外載荷的影響更大時,屈曲力逐漸減小,且在波數較大時非局部參數對屈曲力的影響更加顯著(見圖3,此時ΔT=100K,Γ=1,ξ=0.1,Λ=10,ψ=1,δ=1).因此,當屈曲波數逐漸增大時,系統自身內部的結構對屈曲力的影響效果也會增加,導致非局部理論下的屈曲力比經典彈性理論下的屈曲力更顯著地減小.結果表明,非局部理論下該系統內部結構之間的相互作用使得材料的彎曲剛度降低,系統所需屈曲力有所減小,同時在非局部理論下系統更容易發生后屈曲現象.

圖3 當波數m,n逐漸增大時,非局部參數對屈曲力的影響Fig.3 E ff ects of scale coefficients on buckling loads

當屈曲波數和非局部參數取定時,本工作分析了厚度比、彈性模量比以及溫度變化對屈曲力的影響.當取波數m=n=1,非局部參數e0a=0.5時,屈曲力會隨著厚度比和彈性模量比的增大而增大,且厚度比對屈曲力的影響更為明顯(見圖4和5,此時Γ=1,Λ=10,ψ= 1,δ=1,ΔT1=100,ξ=0.1).

圖4 厚度比變化對屈曲力的影響Fig.4 E ff ects of thickness ratios on buckling loads

從圖6的結果可以看出,當溫度變化ΔT的取值為0～200K時,當溫度場的溫度降低時,隨著溫度變化值的逐漸增大,所需的屈曲力也逐漸增大;當溫度場的溫度升高時,隨著溫度變化值的逐漸增大,所需的屈曲力逐漸減小(此時Γ=1,ξ=0.1,Λ=10,ψ=1,δ=1,e0a=0.5).

圖5 彈性模量比變化對屈曲力的影響Fig.5 E ff ects of elastic modular ratios on buckling loads

圖6 均勻溫度場下,溫度變化值對屈曲力的影響Fig.6 E ff ects of changes in temperature on buckling loads

3 非均勻溫度場下的結果分析

在實際工程背景中,器件所處溫度場在通常情況下不是均勻變化的,即當器件在工作過程中受到周圍溫度場的影響時,可能是邊界上的溫度變化后沿著器件線性傳遞下去,也就是說器件所受溫度場的變化是非均勻膨脹的.本工作對模型邊界受熱后,沿著長寬方向線性變化的非均勻溫度場進行了分析,研究了溫度沿x軸線性變化和沿x,y軸線性變化的兩種情況.取ΔT2=xT0(0≤x≤a)和ΔT3=(x+y)T0(0≤x≤a,0≤y≤b).當在模型的一條寬度方向的邊界上受到溫度變化,產生線性變化的溫度場時,有

當在模型的一條長和一條寬的邊界上受到溫度變化,產生長寬方向的線性變化的溫度場時,有

在不同的溫度場下,溫度變化對屈曲力的影響也有很大差別,而且當沿著模型的長寬線性變化時,模型的尺度對溫度影響的結果起到了決定性的作用.由圖7可知,當a=b=10時, ΔT3對屈曲力的影響最為顯著,其次是ΔT2,影響最小的是均勻溫度場的情況(此時Γ=1,ξ= 0.1,Λ=10,ψ=1,δ=1,e0a=1).3種溫度場下非局部理論值都有所減小.

圖7 3種溫度場下,溫度變化對屈曲力的影響關系對比Fig.7 E ff ects of temperature changes on buckling loads

除了直觀的溫度場差異對屈曲力有所影響外,不同的模型的尺度參數也是不同溫度場影響屈曲力的決定性因素.如圖8所示,在均勻溫度場下,溫度變化對屈曲力的影響不因模型尺度的變化而改變(此時T0=100,ξ=0.1,Λ=10,ψ=1,δ=1,e0a=1.0,b=5);但在非均勻溫度場下,當模型的長寬比逐漸增大時,沿軸向線性變化的溫度場對屈曲力的影響也會有所增加.當寬度為固定值時,隨著長寬比的增大,即長度a逐漸增大,在x軸向上的溫度應變也逐漸增加,從而使得溫度應力逐漸變大,導致非均勻溫度場對屈曲力的影響進一步顯著.因此在不同的溫度場下,溫度場的作用結果和系統的尺度有很大的關系,在非均勻溫度場下分析溫度變化對屈曲力的影響時應該認真考慮模型的尺度大小.

圖8 隨著長寬比的變化,3種溫度變化值對屈曲力的影響關系對比Fig.8 E ff ects of length-width ratios on buckling loads in di ff erent temperature changes

4 結束語

本工作基于非局部理論,對雙層完好粘接板在受雙軸壓縮和溫度耦合作用下的屈曲穩定性進行了研究分析,主要討論了如下兩點內容:①非局部理論下屈曲力的變化;非局部參數的影響結果與波數的關系;在均勻溫度場下,溫度變化、彈性模量比和厚度比對屈曲力的影響;②非均勻溫度場下,兩種沿軸向線性變化溫度場對屈曲力的影響,以及3種溫度場作用結果的對比.通過計算分析得到,厚度比和彈性模量比的增大都會導致屈曲力的增大,并且厚度比的變化對屈曲力的影響更大.在非局部理論下,由于系統內部自身結構之間的相互作用,使得系統的屈曲力有所減小,尤其是在小尺度及較大屈曲波數下,非局部參數對屈曲力的影響尤為顯著.這一結果表明,系統內部結構之間相互作用會導致系統的彎曲剛度有所減小,導致屈曲力的降低,且在系統尺度較小和屈曲波數增大使得內部相互作用域收縮時,外部尺度更接近內部相互作用結構的尺度,導致非局部參數對屈曲力的影響更大.在雙軸壓縮和溫度場耦合作用下,當溫度降低(升高)時會導致屈曲力增大(減小).在均勻溫度場下,溫度變化對屈曲力的影響不受系統大小的影響,但在非均勻溫度場下,系統的尺寸也與溫度場對屈曲力的影響結果有關.

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Scale e ff ect on buckling of bonding materials under biaxial compression with temperature changes

LIU Liang,PENG Xiang-wu,WANG Qing-zhan,GUO Xing-ming
(Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics,Shanghai University, Shanghai 200072,China)

The scale e ff ect on buckling of bonding materials under biaxial compression coupled with temperature changes is studied.A developed nonlocal plate theory is applied to study the buckling behavior of the nonlocal multiple-plate model.The Navier’s approach is used to obtain exact solutions for buckling loads under simply supported boundary conditions.The e ff ects of the scale coefficient,wave number,thickness ratio,elastic modular ratio and temperature changes on the buckling loads are investigated.It is shown that the critical buckling force may be overestimated with the classical continuum theory.The nonlocal e ff ect is proved to be more prominent for higher buckling modes.In addition, three kinds of temperature changes are taken into account.The in fl uence of temperature changes on the buckling loads and the relationship with the system size are analyzed.

nonlocal elastic theory;bonding material;buckling;biaxial compression; temperature change

O 34

A

1007-2861(2015)04-0422-10

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.02.007

2014-03-04

國家自然科學基金資助項目(10972128,11472163)

郭興明(1964—),男,教授,博士生導師,研究方向為微納米力學、材料的多尺度力學建模、連續介質力學. E-mail:xmguo@shu.edu.cn