Stewart并聯機構姿態奇異描述與無奇異姿態運動規劃研究

李保坤 郭永存 曹毅

摘要：以單位四元數為姿態參數，研究Stewart并聯機構位于給定位置的姿態奇異并進一步探討機構的無奇異姿態運動規劃方法。基于機構的雅可比矩陣，構建機構給定位置的以單位四元數表征的姿態奇異軌跡的一般符號解析表達式。利用四元代數理論構建剛體姿態運動學方程和時間最優姿態軌跡方程；通過分析機構姿態奇異軌跡分布并利用剛體運動的時間最優姿態軌跡方程，研究機構無奇異時間最優的姿態運動的規劃方法。研究成果進一步豐富了Stewart并聯機構的奇異規避理論。

關鍵詞：并聯機構；姿態奇異；無奇異；姿態運動規劃

中圖分類號：TP2422 文獻標志碼：A

六自由度Stewart并聯機構由于剛度大、承載能力強以及運動精度高等特點，已被廣泛應用于運動模擬器、醫療器械、工業機器人、微納操作、力/力矩傳感器、空間探測、并聯機床等多個高精技術領域[1]。奇異位形嚴重影響并聯機構的運動及力傳遞性能，對于并聯機構來說，若機構處于奇異狀態，機構將嚴重失穩并導致機構失控甚至被損壞。因此，并聯機構應位于遠離奇異位形的區域工作。得到機構的奇異軌跡是奇異規避研究的基礎[2]。PENDAR等[3]利用平面幾何中的Ceva定理研究三角平臺型Stewart并聯機構的奇異位形。文獻[4]研究了Stewart并聯機構姿態固定時的位置奇異軌跡在三維空間內的結構特性。吳洪濤等[5]以單位四元數為姿態參數，給出了Stewart并聯機構奇異軌跡的三維圖形描述。文獻[6]給出了Stewart機構的奇異軌跡，并進一步給出無奇異工作空間的確定方法。

對于并聯機構來說，規避機構的奇異位形的一個重要方法便是通過增加冗余驅動來實現[7-9]，但對于具有六自由度的Stewart機構，采用冗余驅動無疑會帶來機構控制的復雜性，并且會進一步限制機構的工作空間。王玉新等[10]通過研究并聯機構構型分岔特性，提出了一種利用擾動函數來規避并聯機構轉向點奇異的方法。文獻[11-13]提出利用運動規劃的方法避開機構的奇異位形。

由文獻[14-15]可知，六自由度并聯機器人機構動平臺的任務空間對應于剛體運動變換群SE（3），相當于三維姿態變換群和三維歐式空間的半直積，即：SE（3）=SO（3）R3。由于對機構位于整個位形參數空間內實施運動規劃具有很大的難度，而位于R3上的位置運動規劃研究已較為成熟，故本文主要對Stewart并聯機構位于SO（3）上的姿態運動規劃進行研究。

基于機構的雅可比矩陣，得出機構位于SO（3）上的姿態奇異軌跡，并給出其三維圖形描述。基于機構姿態奇異的軌跡描述，研究機構時間最優的無奇異姿態運動規劃。

1機構的三維姿態奇異軌跡描述

六自由度Stewart并聯機構的結構簡圖如圖1所示，其動定平臺為兩個非相似型的半對稱正六邊形B1B2…B6，C1C2…C6 （i=1，2，…，6），并通過六根相同的球副-移動副-球副（或萬向鉸）支鏈（BiCi）相連。Bi和Ci分別為動定平臺的六個頂點，Aj（j=1，3，5）為定平臺六邊形長邊的交點。

P、O、βm、βb、Rm、Rb的含義分別如下：

P為機構動平臺幾何中心點；O為機構定平臺幾何中心點；

βm為動平臺上邊B4B5對應中心角，0°≤βm≤120°；

βb為定平臺上邊 C1C2對應中心角，0°≤βb≤120°；

Rm為動平臺外接圓半徑；Rb為定平臺外接圓半徑。

圖1Stewart并聯機構的結構簡圖

為分析并得到機構的奇異軌跡方程，在機構動平臺上建立固連坐標系P-xyz，在定平臺上建立固定參考系O-XYZ。將動平臺中心點P作為動平臺運動的位置參考點，設點P在固定參考系O-XYZ中的位置矢量記為P=[X， Y， Z]T；記動平臺各鉸點Bi在動坐標系P-xyz中的位置矢量為bi（i=1， 2， …， 6），記Bi在固定坐標系O-XYZ中的位置矢量為Bi（i=1， 2， …， 6）；定平臺各個鉸點Ci在固定參考系O-XYZ中的位置矢量記為Ci（i=1， 2， …， 6）。

定義機構的初始姿態，其滿足如下條件：

① 給定機構動平臺參考點P 的位置；② 動定坐標系的相應坐標軸相互平行。

在此，以具有三個獨立參數的單位四元數Q=q0+q1i+q2 j+q3k（q20+q21+q22+q23=1）描述該機構動平臺的姿態。其表示機構動平臺以初始姿態繞通過P點且相對于固定坐標系矢量方向q1i+q2 j+q3k的軸旋轉角度θ=2arccosq0所形成的姿態。此外，規定q0≥0，這樣該單位四元數與剛體的姿態為一一對應關系，且避免了以歐拉角等描述姿態時所引起的以旋轉矩陣求解歐拉角逆問題時無全局光滑解的問題[16]。基于單位四元數的旋轉矩陣如下式所示：

R=q20+q21-q22-q232（q1q2-q0q3）2（q1q3+q0q2）

2（q1q2+q0q3）q20+q22-q21-q232（q2q3-q0q1）

2（q1q3-q0q2）2（q2q3+q0q1）q20+q23-q21-q22 （1）

由坐標變換原理不難得到Bi與bi滿足

Bi=Rbi+P （2）

將式（1）帶入機構奇異位形判別矩陣

JT=B1-C1|B1-C1|B2-C2|B2-C2|B3-C3|B3-C3|B4-C4|B4-C4|B5-C5|B5-C5|B6-C6|B6-C6|C1×B1|B1-C1|C2×B2|B2-C2|C3×B3|B3-C3|C4×B4|B4-C4|C5×B5|B5-C5|C6×B6|B6-C6| （3）

若令式（3）所示矩陣的行列式等于零，即可得到機構奇異位形關于位姿參數的解析表達式endprint

F（A， B）=0

式中：A表示機構動平臺的位置參數，B表示機構動平臺的姿態參數。

將式（1）、（2）帶入式（3），并注意到q0=1-q21-q22-q23 ，展開并化簡矩陣[JT]的行列式，并令其等于0，得到該機構位置參數P（X，Y，Z）給定時的姿態奇異軌跡一般符號解析表達式

f1q61+f2q51 q2+f3q51 q3+f4q51 1-q21-q221-q23 +

…+f69q22+f70q2q3+f711-q21-q221-q23 +f72q23+f73=0（4）

式中：fi（i=1， 2， …， 73）均是機構構型參數Rm、Rb、βm、βb以及位置參數（X， Y， Z）的顯示表示。進一步觀察發現，式中多項含有1-q21-q22-q23 ，姿態參數q1、q2最高達6次，q3的最高次達4次。

當給定機構的構型參數Rm=1、Rb=2、βm=75°、βb=105°，機構位于給定位置（0， 0， 4）時關于姿態參數（q1， q2， q3）的姿態奇異軌跡在笛卡爾坐標系中的三維圖形化描述如圖2所示。

圖2機構位于給定位置的姿態奇異軌跡圖

2無奇異姿態運動規劃

21姿態運動軌跡的四元數描述

單位四元數描述剛體的旋轉變換也可表示成如下形式

Q=cosθ2+ξ sinθ2=exp（ξθ2）（5）

式中：ξ=1q21+q22+q23 （q1，q2，q3）

其共軛四元數可表示成

=cosθ2-ξ sinθ2=exp（-ξθ2）（6）

故

ΔQ（t）=exp（12ω（t+εΔt）Δt）（7）

式中：ε∈[0，1]，角速度在時間區間[t， t+.Δt]被假定為為常值ω（t+εΔt），當Δt趨向于零時，便可得到四元數增量的精確值

dQ（t）=exp（12ω（t）dt）（8）

將整個時間區間[0， T]分成N個間隔Δti

Δti=ti+1-ti， max|Δti|≤kTN （i， i+1=1， 2， …， N）

在ti+1時刻的單位四元數，將通過如式（5）所示的無限小變換四元數以及在ti時刻的數值確定

Q（ti+1）=ΔQ（ti）Q（ti）=

exp（12ω（ti+εi+1Δti+1） Δti+1）Q（ti）

εi∈[0， 1]（9）

若剛體在t=T0時刻從單位四元數Q0開始進行旋轉運動，則近似有

Q（ti+1）=ΔQ（ti）Q（ti）=

exp（12ω（ti+εi+1Δti+1） Δti+1）…

exp（12ω（t1+ε2Δt2） Δt2）exp（12ω（ε1Δt1） Δt1）Q0=

exp（ξi+1Δθi+12）…

exp（ξ2Δθ22）exp（ξ1Δθ12）Q0 （10）

上式可用圖3說明。

圖3剛體姿態運動學方程的球面弧表示

22時間最優姿態運動的四元數描述

圖4剛體時間最優姿態運動的球面描述

如圖4所示，若使剛體由姿態Λ變換到N，除經M作用的旋轉外，亦可經變換ΣP實現。但是，不難發現，由于弧長P與弧長Σ之和一定大于弧長M，也即剛體經姿態變換ΣP所轉過的角度要大于姿態變換M所轉過的角度。因此，若使剛體從姿態Λ快速變換到N，M所對應的姿態變換應是最短姿態變換路徑，由于

N=MΛ（11）

M可根據下式求解

M=NΛ-1（12）

若由式（12）計算得

M=（μ0，μ）=cos2+μsin2 （13）

不難得到剛體從姿態Λ變換到N時，相對于固定坐標系的姿態軌跡為

Q（t）=M（t）Λ（14）

式中：Μ（t）=cos∫t0ω（t）2dt+μsin∫t0ω（t）2dt， =∫t0ω（t）2dt，ω（t）為剛體在t時刻轉動的角速度大小。式（9）便是剛體從單位四元數Λ描述的姿態經快速姿態變換到姿態N的以單位四元數描述的姿態軌跡計算公式。

將上述得到的姿態軌跡表達式（14）離散化處理。將時間區間[0， T]分成N個間隔Δti，在每個等分內的角速度可以看成是定值，則有

Q（ti+1）=M（ti+1）M（ti）…M（t1）Λ（15）

其中，

M（ti+1）=cos（12∑ik=0ω（ti+εiΔt）Δti）+

μsin（12∑ik=0ω（ti+εiΔt）Δti）

（i=0， 1， 2， …）（16）

式中：t0=0，εi∈[0， 1]。若剛體從起始0時刻的姿態Λ快速旋轉到最終姿態N，由式（15）和式（16）可計算出剛體時間最優的姿態運動在ti+1時刻的姿態Q（ti+1），如圖5所示。利用歐拉公式，式（15）亦可寫成形如式（10）所示的指數積形式

Q（ti+1）=M（ti+1）Λ0=

exp（12ω（ti+εi+1Δti+1） Δti+1）…

exp（12ω（t1+ε2Δt2） Δt2）

exp（12ω（ε1Δt1） Δt1）Λ0=

exp（μΔθi+12）…exp（μΔθ22）

exp（μΔθ12）Q0（17）

若剛體起始姿態Λ=（λ0， λ1， λ2， λ3），目標姿態N=（ν0， ν1， ν2， ν3），計算得到的姿態軌跡Q（t）=（q0，q1，q2，q3），若以四元數的矢量部分作為獨立參數，可得到在三維笛卡爾坐標系中的姿態軌跡曲線qi（i=1， 2， 3），稱該軌跡曲線即是剛體時間最優姿態運功的姿態軌跡曲線。該軌跡曲線的起始點為（λ1， λ2， λ3），終點為（μ1， μ2， μ3），由四元數運算法則可知，姿態變換軌跡一般情況下應是一條曲線，當且僅當λ與μ共線或其中一個為0時，姿態軌跡為一條連接起始姿態點（λ1， λ2， λ3）到目標姿態點（ν1， ν2， ν3）的直線。endprint

23機構時間最優的無奇異姿態運動規劃

Stewart并聯機構動平臺的三維姿態變換對應于剛體位于SO（3）上的姿態變換，因此，可將剛體時間最優姿態運動的姿態軌跡求解結果應用于該類型并聯機器人機構的基于任務空間描述的時間最優姿態運動規劃。但是，如前所述，該類型并聯機器人機構存在復雜的奇異位形，而機構在運動過程中應規避奇異位形。若直接將內容21～22的剛體時間最優姿態運動軌跡求解結果應用于機構的時間最優姿態運動規劃，則機構的姿態運動路徑可能存在奇異點。因此，有必要基于論文關于機構的奇異位形研究內容特別是機構位于SO（3）上的姿態奇異研究成果，結合上述剛體時間最優姿態軌跡求解方法，對機構實施時間最優的無奇異姿態運動規劃。為便于闡述，現通過數值實例來說明具體操作方法。

數值實例 給定機構構型參數Rb=2、Rm=1、βb=105°、βm=105°，不考慮機構運動副運動范圍限制，若機構動平臺位于給定位置點（0， 0， 4），若要求機構動平臺從起始姿態Λ=（1， 0， 0， 0）經快速旋轉作用到目標姿態N=（10/10， 0，-9/10， 3/10），對機構實施時間最優的姿態運動規劃。

若不考慮機構位于位置（0， 0， 4）的姿態奇異軌跡影響，由式（7）得到機構快速姿態變換對應的單位四元數為

M=ΝΛ-1=（2/2， 0，-1/2， 1/2）

機構動平臺轉過的角度為

θ=2arccos μ0=2arccos （2/2）=π/2

將姿態軌跡曲線近似無限小等分成N等份，由式（11）得到動平臺姿態軌跡

Q（ti）=[cos （i·Δθ2N）+μsin（i·Δθ2N）]（1， 0， 0， 0）

（i=0， 1， …， N）

式中：單位方向矢量μj由式（5）得到。

姿態軌跡（q1， q2， q3）中始終有q2=0。得到機構時間最優的姿態運動軌跡Q如圖5所示。

圖5剛體姿態軌跡離散化的球面描述

有文獻[1]可知，機構力雅可比矩陣的條件數可以定量描述矩陣求逆的精確度和穩定性，也是反映機構位于相應位形時的運動及力傳遞性能的一個重要指標，可反映機構遠離奇異位形的程度。故此處用雅可比矩陣的條件數來描述機構的操作性能隨姿態軌跡的變化情況。圖6描述了機構雅可比矩陣條件數隨圖5所示姿態軌跡的變化趨勢。

q2

圖6不考慮奇異時的機構時間最優姿態軌跡

q2

圖7不考慮奇異的機構雅可比矩陣條件數變化

從圖6與圖7可以看出，若根據機構運動起始姿態和目標姿態直接求解時間最優的姿態運動軌跡，機構在運動過程中可能會通過奇異點，而并聯機器人機構在實際工作過程中應避開奇異點，因此，有必要使機構在不發生奇異位形的情況下，對機構實施無奇異的姿態運動規劃。

綜合機構姿態奇異軌跡分布情況，可將機構的姿態運動分為兩步：第一步，機構從起始姿態Λ=（1， 0， 0， 0）快速旋轉到Qmid=（2/2， 0，-1/2， 1/2）；第二步，機構從姿態Qmid快速作用到目標姿態N=（10/10， 0，-9/10， 3/10）。由式（7）得到這兩步姿態變換對應的單位四元數分別為

M1=QmidΛ-1=（2/2， 0，-1/2， 1/2）

M2=NQ-1mid=（20/20，3/10，10/20-92/20，32/20-10/20）機構動平臺轉過的角度分別為

θ1=2arccos （2/2）=π/2

θ2=2arccos （20/20）

對應于動平臺的姿態軌跡為

Q1=[cos （i·Δθ12N1）+μ1sin （i·Δθ12N1）]（1， 0， 0， 0）

（i=0， 1， …， N1）

Q2=[cos（i·Δθ22N2）+μ1sin （i·Δθ22N2）]（2/2， 0，-1/2， 1/2）

（i=0， 1， …， N2）

重新規劃的無奇異時間最優姿態運動軌跡如圖8所示，圖9描述了機構雅可比矩陣條件數大小隨重新規劃后的姿態軌跡的變化趨勢。

q2

圖8機構旋轉運動的無奇異時間最優姿態軌跡

q2

圖9無奇異時間最優姿態運動時的雅可比矩陣條件數隨時間變化

從圖8與圖9可以看出，重新規劃的機構姿態運動軌跡不包含奇異點，該姿態運動軌跡是機構由起始姿態Λ=（1， 0， 0， 0）經快速旋轉作用到目標姿態N=（10/10， 0，.-9/10， 3/10）的無奇異時間最優姿態運動軌跡。

3結論

1） 以單位四元數為姿態參數，描述了Stewart并聯機構位于給定位置的姿態奇異軌跡，對機構的位于給定位置時的奇異規避研究奠定了前期基礎。

2） 基于四元代數運算法則，構建剛體姿態運動學方程，得到剛體運動的時間最優姿態軌跡方程。

3） 綜合（1）和（2）研究內容得到Stewart并聯機構基于任務空間描述的時間最優的無奇異姿態運動規劃方法，其能夠確保機構在不會出現奇異位形的條件下，以時間最優為目標運動到目標姿態。

4） 上述無奇異姿態運動規劃很大程度上依賴于對機構姿態奇異軌跡分布情況的觀察，作者下一步將集中于研究三維姿態空間內的自動搜尋并得到時間最優無奇異姿態運動規劃方法。

參考文獻：

[1]黃 真，趙永生，趙鐵石. 高等空間機構學[M]. 北京： 高等教育出版社，2006.

[2]JIANG Qimi， GOSSELIN C M. Determination of the maximal singularity-free orientation workspace for the Gough-Stewart platform[J]. Mechanism and Machine Theory，2009，44（6）：1 281-1 293.endprint

[3]PENDAR H， MAHNAMA M， ZOHOOR H. Singularity analysis of parallel manipulators using constraint plane method[J]. Mechanism and Machine Theory， 2011， 1（46）：33-43.

[4]李保坤，曹 毅，張秋菊，等. Stewart并聯機構位置奇異研究[J]. 機械工程學報，2012，48（9）：33-4.

[5]程世利，吳洪濤，王超群，等. 平面平臺型Stewart 并聯機構的奇異性分析[J]. 機械工程學報，2011，47（9）：1-7.

[6]LI Baokun，CAO Yi，ZHANG Qiuju，et al. Singularity representation and workspace determination of a special class of the Gough-Stewart platforms[J]. International Journal of Advanced Robotic Systems，2013，10（12）： 1-13.

[7]SAGLIA J， DAI J S， CALDWELL D G. Geometry and kinematic analysis of a redundantly actuated parallel mechanism that Eliminates Singularity and Improves Dexterity. ASME， Journal of Mechanical Design， 2008， 130（12）： 124501-1-5.

[8]楊建新，余躍慶. 平面三自由度冗余并聯機構的驅動奇異性分析[J]. 中國機械工程，2006，17（6）：629-632.

[9]張彥斐，宮金良，高峰. 冗余驅動消除并聯機構位形奇異原理[J]. 中國機械工程，2006，17（5）：445-448.

[10]王玉新，李雨桐，潘雙夏. 一種規避并聯機構轉向點奇異問題的新方法[J]. 中國科學E輯：技術科學，2008，38（1）： 125-136.

[11]DASH A K， CHEN I， YEO S H， et al. Workspace generation and planning singularity-free path for parallel manipulators. Mechanism and Machine Theory， 2005， 40（7）： 776-805.

[12]ARAKELIAN V， BRIOT S， GLAZUNOV V. Improvement of functional performance of spatial parallel manipulators using mechanisms of variable structure[C]//Proceedings of the Twelfth World Congress in Mechanism and Machine Science IFToMM， Besancon， France， June 18-21， 2007： 159-164.

[13]白志富，陳五一. 并聯機構不同正解間無奇異轉換問題探討[J]. 機器人，2006，28（5）：463-469.

[14]于靖軍，劉辛軍，丁希侖，等. 機器人機構學的數學基礎[M]. 北京：機械工業出版社，2008.

[15]（英）SELIG J M. 機器人學的幾何基礎[M]. 楊向東 譯. 北京：清華大學出版社，2008.

[16]MURRAY R M， LI Z， SASTRY S S. A Mathematical introduction to robotic manipulation[M]. Boca Raton： CRC Press， 1994.

[17]（蘇）B. H. 勃拉涅茨，И. Π. 什梅列夫斯基著. 梁振和 譯. 汪朝群 校. 四元數在剛體定位問題中的應用[M]. 北京：國防工業出版社，1977.

（責任編輯：）endprint