快速分析非均勻介質體寬帶散射特性的算法

趙 博,龔書喜,王 興,董海林

(西安電子科技大學天線與微波技術重點實驗室,陜西西安 710071)

快速分析非均勻介質體寬帶散射特性的算法

趙 博,龔書喜,王 興,董海林

(西安電子科技大學天線與微波技術重點實驗室,陜西西安 710071)

應用漸近波形估計技術,快速分析了基于體積分方程的任意非均勻介質體的寬帶電磁散射特性.對于任意非均勻介質體的散射分析,需要考慮介質分界面兩側體電流的法向不連續性,采用體積分方程并對電通量密度進行SWG基函數展開,很好地解決了這個問題.而對于非均勻介質體的寬帶散射分析,逐個頻點計算雷達散射截面是非常耗時的,文中首先采用漸近波形估計技術,推導和計算阻抗矩陣和激勵矢量的高階導數,然后在給定頻點對電通量密度進行展開,用padé逼近進一步展開帶寬,可以快速預估頻帶內任意頻點的電通量密度,進而獲得非均勻介質體的寬帶散射特性,大大減少了計算時間.最后通過數值算例驗證了該方法的準確性與高效性.

體積分方程;漸近波形估計;寬帶散射

現代電子科學技術的發展,對寬頻帶系統性能的要求越來越高.非均勻介質體的寬帶電磁散射在目標識別、復雜環境的波傳播和資源探測等方面具有重要意義.在電磁計算中,矩量法(Method of Moment, Mo M)[1-3]作為一種對積分方程的精確分析方法,對介質體的計算通常采用PMCHWT[4]方程或體積分方程(Volume Integral Equation,VIE)[5-6]來描述.然而,PMCHWT方程通常用來計算均勻介質體的散射,對于非均勻介質體需要處理在不同介質分界面處的復雜邊界條件,并且隨著非均勻程度的增加,關于邊界條件的處理也更加復雜[7].而采用體積分方程則可以很好地解決關于復雜邊界條件處理的問題.該算法對任意非均勻介質體進行四面體元剖分(也可以用曲面四面體元,六面體元或者曲面六面體元),可以充分采集其內部的非均勻信息,同時很好地擬合其物理結構,此外,用SWG基函數能夠很好地模擬四面體元內的電通量密度的密度,使得計算結果可以達到很高的精度.

然而,對于非均勻介質體的寬帶散射計算,需要在給定頻段的不同頻點進行重復計算,這不僅需要重復填充阻抗矩陣,還需要重復求解線性方程組,使得整個分析過程非常的耗時.從20世紀80年代末以來,基于梅利逼近[8-10]、漸近波形估計(Asymptotic Waveform Evaluation,AWE)[11-14]和柯西逼近[15]等的快速掃頻技術得到了深入研究和廣泛應用.上述方法中,AWE因易于與積分方程的數值方法相結合,在電磁領域越來越受到重視.筆者將其與VIE結合來分析任意非均勻介質體的寬帶散射特性,在給定的頻點對電通量密度進行泰勒展開,然后通過padé逼近得到任意頻點的電通量密度,從而實現快速寬帶散射特性分析.在保證計算精度的前提下,相比于VIE逐點計算,該方法大大提高了計算效率.

1 理論分析

1.1 體積分方程矩量法(VIE-MoM)

考慮自由空間中一個三維任意非均勻介質體在平面波Ei照射下,其所在區域感應出的電通量密度產生散射場Es.目標的體積為V,表面積為S,介電常數ε(r)=ε0εr(r),磁導率為μ0.文中的時間因子均采用exp(-jωt).

VIE可以表示為

其中,Etot和Es代表總電場和散射場,

其中,

其中,r和r′分別為場點和源點,Jv(r′)和ρv(r′)分別為體電流密度和體電荷密度,根據電流連續性公式可以將兩者聯系起來,

因為在非均勻介質體的介質分界面兩側,電通量密度之密度Jv(r)法向分量并不連續,而電通量密度D(r)法向分量在介質分界面兩側相等,為方便起見,一般采用電通量密度作為體積分方程的未知量,

將式(2)～(7)代入式(1)中,可得

其中,?′· (κ(r′)D(r′))根據矢量恒等式得

其中,

式(9)中等號右邊第2項涉及非均勻介質分界面兩側的介電常數,正是因此使得VIE對于非均勻介質體的分析不需要處理復雜的邊界條件.

在三維理想導體的數值計算中,一般采用RWG基函數[16]來展開電場積分方程的未知量.與此類似,文中采用SWG基函數fn(r)[5]來展開體積分方程的未知量D(r),即為

SWG基函數的表達式為

N為未知量D(r)的維數.用伽略金法檢驗式(8),可得到矩陣方程,即

其中,Z為N×N維的阻抗矩陣,V為N維的激勵矢量,D為待求解的N維電通量密度矢量.阻抗矩陣Z和激勵矢量V的元素表達式為

其中,fm和fn分別代表檢驗函數和基函數,Tm和Tn是第m個和第n個基函數對應的四面體元對,Sn為第n個基函數中兩個四面體的公共面,R是場點和源點之間的距離.

1.2 漸近波形估計

利用矩量法求解體積分方程,通過四面體元剖分非均勻介質體所在區域,未知電通量密度矢量D(k)用SWG基函數fn(r)展開,得到矩陣方程如式(13)所示,不難發現Z、V和D均為波數k的函數,k表示頻點f對應的波數,因此式(13)可以寫為

為了得到一定頻域內的寬帶散射特性,必須重復求解式(16),這將耗費大量的時間.而應用AWE技術實現快速掃頻則很好地解決了這個問題.AWE將未知電通量密度D(k)在給定中心頻率f0展開成泰勒級數

其中,k0表示頻點f0對應的波數,mq表示未知量的系數,Q表示泰勒級數的截斷階數.在求解Q+1個未知量系數mq(q=0,1,2,…,Q)時,根據以下遞推式:

其中,V(q)(k0)是激勵矢量V(k)關于波數k在k0點的q階導數,Z(i)(k0)是阻抗矩陣Z(k)關于波數k在k0點的i階導數,它們的元素表達式為

其中,

其中,Ei,(q)(r)是入射電場關于k在k0點的q階導數,和分別是GA(r,r′)和Gφ(r,r′)關于k在k0點的i階導數.

由于未知電通量密度的泰勒展開會受到帶寬的限制,為了展寬帶寬,應用padé逼近將泰勒級數轉化為有理函數,即

其中,L+M=Q.式(25)中對比等號兩邊(k-k0)q的系數,bn,j可以由式(26)求得

進一步根據式(27),可以計算得到

確定了an,i和bn,j之后,將其帶入式(25),得到一定頻域內任意頻點的電通量密度,進而得到非均勻介質體的寬帶雷達散射截面(Radar Cross-Section,RCS).

2 數值結果與分析

為了驗證VIE-AWE算法在任意非均勻介質體寬帶散射計算中的準確性與高效性,這里給出3個算例的數值結果,所有算例均在主頻2.4 GHz、內存4 GB的個人電腦上完成,數據類型都采用雙精度類型存儲.由于算例涉及逐點計算非常耗時,為方便起見,求解線性方程組采用MKL庫函數中的并行LU分解法.

算例1計算圖1所示的3層非均勻介質球在1～19 GHz的寬帶單站RCS.目標的物理尺寸R1=1.5 mm,R2=2.5 m m,R3=3.5 mm,對應的相對介電常數分別為ε1=7.0,ε2=4.0,ε3=9.0.

圖1 非均勻介質球的剖面圖

圖2 非均勻介質球的寬帶單站RCS

在頻點10 GHz處對目標進行剖分,得到820個四面體元,形成1 742個未知量.圖2對比了用仿真軟件FEKO、逐點法和AWE掃頻算法得到的寬帶RCS.FEKO的計算結果與逐點法相比較,可以看出VIE計算的準確性.在給定頻點10 GHz處,用AWE對電通量密度進行Q階(Q=8,6,4,2)泰勒展開,以逐點法為標準,AWE結果與之吻合的帶寬分別為:當Q=8時,為1.0～17.01 GHz;當Q=6時,為1.97～15.75 GHz;當Q=4時,為2.57～13.41 GHz;當Q=2時,為1.00～12.57 GHz.可以看出,在保證結果精確的前提下,隨著AWE階數的增加,帶寬趨于更寬.逐點法計算頻帶寬度為1～17.01 GHz的RCS,頻率間隔的步長取0.1 GHz需要7 728.65 s,AWE取Q=8計算同樣帶寬和步長的RCS需要440.72 s,計算時間減少了94.30%.因此,在保證精度的前提下,應用AWE結合VIE算法可以大幅度減少計算時間.表1給出了AWE取不同階數Q時的計算特性對比.

表1 AWE取不同階數Q時的計算特性

圖3 非均勻介質長方體的物理結構

算例2計算了圖3所示的非均勻介質長方體在平面波照射下2～42 GHz的寬頻帶單站RCS.入射波沿θ=45°、φ=0°方向入射.目標由7個同樣的小長方體無間隙地排列在一起,每個小長方體的大小L=2 mm、H=0.5 mm,相對介電常數ε1=2.0和ε2=4.0.在頻點20 GHz對目標進行剖分,得到1 704個四面體,形成未知量個數為3996.圖4同樣對比了FEKO仿真軟件、逐點法和AWE掃頻算法計算的寬帶RCS.對比FEKO和逐點法計算結果,證明了VIE計算的精確性.AWE在20 GHz對電通量密度進行泰勒展開,展開階數分別取Q=8,6,4,2.以逐點法為參考標準,AWE的計算結果與之吻合的帶寬分別為:當Q=8和6時,為2.0～42.0 GHz;當Q=4時,為2.0～32.49 GHz;當Q=2時,為13.32～26.07 GHz.可以看出,隨著AWE階數的增加,帶寬趨于更寬.隨著階數Q的增長,計算結果逐漸收斂.采用逐點法計算2.0～42.0 GHz帶寬的RCS,步長取0.2 GHz需要44 823.54 s.應用AWE計算同樣帶寬和步長間隔的RCS,當Q=8和Q=6時,需要的時間分別為2 224.51 s和1 739.7 s,計算時間分別減少了95.04%和96.12%.由此證明了AWE結合VIE算法的準確性和高效性.表2給出了AWE取不同階數Q時的計算特性對比.

圖4 非均勻介質長方體的寬帶單站RCS

表2 AWE取不同階數Q時的計算特性

3 結束語

結合VIE和AWE分析了任意非均勻介質體的寬帶散射特性.對于介質體的非均勻結構,VIE采用四面體元進行剖分可以獲取介質體內部的非均勻信息,并通過Mo M進行了精確的計算.對于寬帶散射特性的計算,必須在帶寬內各頻點重復計算,為了提高計算效率,筆者結合AWE大大減少了所需時間.通過算例分析,驗證了VIE-AWE在非均勻介質體情況下計算的準確性與高效性.

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(編輯:王 瑞)

Fast analysis of wide-band scattering properties of inhomogeneous dielectric bodies

ZHAO Bo,GONG Shuxi,WANG Xing,DONG Hailin
(Science and Technology on Antenna and Microwave Lab.,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

The asymptotic waveform evaluation(AWE)based on the volume integral equation(VIE)is applied to accelerate wide-band electromagnetic scattering properties of arbitrarily shaped inhomogeneous dielectric bodies.For the analysis over a single frequency,the discontinuity of the normal component of the volume current on both sides of the medium interface should be considered.Nevertheless,the problem can be solved well by adoption of VIE and expansion of the electric flux density with SWG basis functions. However,the wide-band analysis requires repeated radar cross section(RCS)calculations over different frequencies,which takes excessively much time.To acquire the prediction of wide-band RCS rapidly,in this paper,AWE greatly reduces the computation time by deducing and computing the high derivatives of the impedance matrix and excitation vector,expanding the electric flux density with the Taylor series and further broadening the bandwidth using padéapproximation.Finally,numerical examples are displayed to demonstrate the accuracy and efficiency of this method.

volume integral equation;asymptotic waveform evaluation;wide-band scattering

O441.6;TN011

A

1001-2400(2015)05-0080-06

2014-09-30< class="emphasis_bold">網絡出版時間:

時間:2014-12-23

國家高技術研究發展計劃(863計劃)資助項目(2012AA01A308);國家自然科學基金資助項目(61301069,61072019);教育部新世紀優秀人才支持計劃資助項目(NCET-13-0949);陜西省青年科技新星資助項目(2013KJXX-67);中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(JB140224)

趙 博(1987-),男,西安電子科技大學博士研究生,E-mail:m15991342657@163.com.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20141223.0946.014.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2015.05.014