利用拓撲優化法解決設計優化問題

黃自豪，陳勁杰，田紹興

（上海理工大學 機械工程學院，上海 200093）

1 拓撲優化

拓撲優化技術是結構優化技術中非常有創新性，有前景的一項技術。具體是指：在給定空間內找到最佳的材料分布或者傳力的路徑，在滿足各種性能的前提下可以得到重量最輕的設計，從而得到最優化方法中需求的最優解。

產品設計分為三個層次：結構尺寸優化。形狀優化和拓撲優化，尺寸優化與形狀優化已經得到充分的發展，但它們卻存在著不能變更結構拓撲的缺陷，在這樣的背景下，人們開始研究拓撲優化。拓撲優化的基本思想是將尋求結構的最優拓撲問題轉化為在給定的設計區域內尋求最有材料分布的問題，拓撲優化的基本原理是在滿足結構體積縮減量的前提下使結構柔度最小，極小化的柔度換言之就是結構的最大剛度。尋求一個最佳的拓撲結構形式有兩種基本意愿：一種是退化原理，另一種是進化原理。退化原理的基本思想是在優化前將結構所有桿單元或所有材料都加上，然后構造適當的優化模型，通過一定的優化方法逐步刪減那些不必要的結構元素，直至最終得到一個最優化的拓撲結構形式。進化原理的基本思想是適者生存的生物進化原理的基本思想，即把適者生存的生物進化論思想引入結構拓撲優化，它通過模擬適者生存、物競天擇、優勝劣汰等自然機理來獲得最優的拓撲結構。

相比結構優化，拓撲優化具有不需要人工定義優化參數，而是自動將材料分布當著優化參數，在應用中我們只需要給出結構的參數（材料特性、模型、載荷等）和要省去的材料百分比的特點。在進行拓撲優化分析時，同其他分析一樣定義幾何結構、有限元模型、載荷與邊界條件等，然后定義優化的目標函數，從定義約束參數。拓撲優化的目標即目標函數是在滿足給定的實際約束條件下（如體積減小）需要極大或極小化的參數，通常采用的目標函數是結構柔度能量極小化和基頻最大等。目前常使用的拓撲優化設計方法可以分為兩大類：退化法和進化法。退化法即傳統的拓撲優化方法，一般通過求目標函數導數的零點或一系列迭代計算過程求最優的拓撲結構。目前常用于拓撲優化的退化法有基結構方法、均勻化方法、變密度法等，需要強調的是本次研究運用變密度法以機床頭架為例來分析優化。

變密度法的基本算法及相關解釋：

式中，V為優化后的結構體積；V0為結構的初始體積；f為體積約束參數；K、C（x）、C′（x）分別為 RAMP模型的剛度矩陣、柔度函數和靈敏度函數。

在目標函數以及約束條件中，x是設計變量，N為劃分的單元數目，C為結構的柔度，C′為結構的靈敏度，［K］為結構的總剛度矩陣，［Ki］為第i個單元的單元剛度矩陣，｛U｝為結構的位移向量，｛Ui｝為第i個單元的位移向量，｛F｝為載荷向量。

在RAMP模型中，x和p是每個結構單元的彈性模量的控制參數。當x取不同值的時侯，中間密度單元不同會導致單元彈性模量參數有逼近0或E0的趨勢。

2 拓撲優化實例解決優化設計問題

下面將以機床頭架上的后蓋板零件為例解決優化設計問題。對于機床來說，頭架是非常重要的部件，頭架的靜、動態性能直接影響著機床加工精度，因此提高機床頭架的特性，對機床的加工精度，加工效率和加工質量都有著十分重要的意義。由于頭架的設計都是根據經驗設計，因此頭架的性能并沒有得到充分地開發，使得頭架在設計時并沒有考慮材料的分布，結構的合理性。通過計算分析，頭架的設計趨于保守，有著很大的優化空間，在滿足加工所需要的強度、剛度和精度的條件下，對頭架進行輕量化設計。材料的減少雖然會降低頭架的剛度，但會使得立柱的應力分布均勻，工作中更加地穩定，精度也得到了提高。這也是我們在解決最優化問題時的局部最優解。

首先對零件進行前處理，將后蓋板零件的Solidworks中得到的三維模型導入HyperMesh軟件中得到圖1所示的效果。

圖1 后蓋板模型圖

在HyperMesh軟件中完成單元網格的劃分如圖2所示，并且完成網格質量的檢測如圖3所示，需要強調的是此軟件中可自動檢測單元網格的質量，顯示綠色為合格。

圖2 后蓋板單元網格劃分圖

圖3 后蓋板零件網格質量檢測圖

在得到已經劃分好單元網格的零件后，對其賦予密度，材料，泊松比以及楊氏彈性模量等材料特性。接著依據零件的受力計算得到圖4所示的集中力作用值，同時確定其約束情況；在完成拓撲參數的創建后，進行體積響應與位移響應的創建，其中前者為拓撲優化計算中的目標，而后者為拓撲優化計算中的約束。

圖4 后蓋板零件施加約束載荷圖

然后進行后處理，即為計算部分，由于此部分可由計算機自動完成，因此可以直接得到計算結果如圖5，圖6，圖7所示。其中圖5是由ABAQUS軟件得到應力應變云圖，用于與拓撲優化結果的對比分析。

圖5 后蓋板零件應力應變云圖

圖6 后蓋板零件拓撲優化結果1

圖7 后蓋板零件拓撲優化結果2

由應力應變云圖和拓撲優化結果圖可以分析出，在應力應變較大的地方即施加載荷的圓孔周圍，其相應材料密度也是較大的，因此顯示為紅色部分，為需要加強區域；而在應力應變較小的部分云圖也顯示為藍色部分，為可以去除部分。最終得到分析優化后的效果圖如圖7所示，注：四周紅色為施加約束區域，為不可去除的區域，所得到結果是優化計算的最優解。

3 總結與討論

經濟的高速發展導致了各行各業競爭越來越激烈，所以在產品的研發和設計中，最優化方法運用越來越廣泛。因此，多種新的設計優化方法應運而生。

本文將最優化方法中的有限元法應用于機床頭架零件，對其進行拓撲優化，從而達到減輕頭架質量的目的。主要做了一下幾個方面的工作：

（1）介紹了拓撲優化的定、產生背景及特點；（2）利用Solideworks軟件與HyperMesh軟件的無縫連接，將三維實體導入后者中，在從HyperMesh完成網格劃分的工作，變成網格模型完成前處理的工作。（3）運用HyperMesh軟件與ABAQUS軟件的無縫連接，將網格模型導入后者，在應用ABAQUS軟件得到應力應變圖。在HyperMesh中對頭架零件模型零件進行拓補優化工作：以降低零件重量為總體目標，且能滿足頭架的強度、剛度和耐磨性，使頭架零件的材料分布更加合理，最終得到頭架零件的優化模型，從而最終解決了最優設計的問題，為電子產品、重型機械、微機電系統、汽車工業、航空航天等工業領域的零部件設計優化提供了依據。

［1］ 王鈺棟，金 磊.HyperMesh＆HyperView應用技巧與高級實例［M］.北京：機械工業出版社，2010.

［2］ 洪清泉，趙 康.OptiStruct＆HyperStudy理論基礎與工程應用［M］.北京：機械工業出版社，2010.

［3］ 劉鴻文.簡明材料力學［M］.北京：高等教育出版社，2007.