李歡鋒，李小虎，張燕飛，吳文武，趙宏

(西安交通大學 機械工程學院，西安 710049)

摩擦生熱和接觸疲勞壽命是角接觸球軸承設計過程中需要重點考慮的2個性能指標，不恰當的軸承幾何結構參數會直接影響軸承的生熱和疲勞壽命，故軸承設計的結構參數選取非常關鍵。文獻[1]對高速球軸承的摩擦生熱進行了計算，研究了轉速、外部軸向載荷和內溝曲率系數對軸承生熱的影響，但沒有考慮軸承接觸應力的影響。

文獻[2]根據Hertz接觸理論，認為減小滾動體與內、外圈間的最大接觸應力可以顯著提高軸承疲勞壽命。文獻[3]研究了軸承的接觸應力,并得到了軸承結構參數對疲勞壽命的影響。文獻[4]將軸承的自旋摩擦生熱作為軸承優化的目標函數，對軸承結構參數進行了分析。然而，軸承自旋摩擦生熱僅是軸承生熱的一部分，還需考慮軸承結構參數對其他摩擦生熱的影響，只有這樣才能實現最終的優化目標。

下文基于軸承擬靜力學模型和局部法生熱模型，對軸承內外圈接觸應力和生熱進行了計算，并分析了不同外載荷和轉速下，軸承結構參數對其生熱和接觸應力的綜合影響，然后以這2個性能為目標來選取角接觸球軸承的主要結構參數。

1 軸承內部載荷參數計算模型

1.1 軸承內部載荷分布計算

角接觸球軸承在軸向載荷Fa、徑向載荷Fr和彎矩M作用下，內外圈之間會產生相應的軸向位移δa、徑向位移δr和轉角θ(圖1)。

圖1 軸承受力位移示意圖

軸承在運轉時，各球體不僅受到內外圈的接觸力Qij和Qej，還會受到因球轉動所帶來的離心力Fcj和陀螺力矩Mgj，同時各球與內外圈的接觸角也由初始接觸角α0分別變為αij和αej，球的受力情況如圖2所示。

圖2 角位置ψj處球受力及接觸區示意圖

在某一給定球位置上，如果軸承轉速較高，球的離心力會使外圈上的接觸載荷劇增并導致“外溝道控制”，那么就可以假設球與外溝道接觸處球的陀螺力矩完全被摩擦力抵消，這幾乎不影響計算精度。轉速較低時則需將陀螺力矩由球與內外溝道的接觸區域平分， 因此，圖2中對外溝道控制，取λij=0，λej=2；否則取λij=λej=1。其中，λij和λej分別為內、外溝道控制系數；ψj為第j個球與第1個球之間沿順時針的夾角。為了求出δa，δr和θ的值，需要建立整個軸承內圈與外力的平衡方程[5]

(1)

(2)

cosψj=0。

(3)

1.2 軸承內外圈接觸應力計算

基于Hertz彈性接觸理論，可以對軸承接觸應力和變形進行計算，并能得到橢球形彈性體相互擠壓時接觸面形狀、大小和表面應力分布。采用軸承內部載荷計算模型，求解擬靜力學方程(1)～(3)可以計算各個方位角上球與內外圈的接觸角αij和αej，接觸載荷Qij和Qej，接觸橢圓尺寸aij，aej，bij，bej及接觸變形δij和δej等參數。根據上述計算的接觸參數，通過(4)式[5]便可得到軸承的接觸應力為

(4)

式中：a為接觸橢圓長半軸；b為橢圓短半軸；x,y為橢圓區域笛卡爾坐標系中點的位置。圖2中給出了球與內圈的接觸橢圓尺寸。由(4)式可知，對于橢圓接觸區域，軸承最大接觸應力位于球與內、外溝道的接觸橢圓中心位置處，然后從中心點到兩側接觸應力逐漸變小，最大接觸應力σmax=3Q/(2πab)。

2 軸承生熱計算模型

采用局部法計算軸承生熱，即考慮每個球與溝道之間接觸摩擦導致的生熱。根據軸承各單元的運動學關系單獨計算每個接觸單元間的局部生熱，確定軸承各熱源及接觸區域的生熱大小，其計算結果更接近實際工況。文中使用的生熱計算模型主要考慮了滾動接觸面上的差動滑動摩擦生熱HBRC和溝道接觸區的自旋摩擦生熱HS，這2部分生熱在軸承摩擦生熱中占比很大，而忽略了保持架與球之間滑動摩擦等導致的生熱。

2.1 滾動接觸面上的差動滑動摩擦生熱

在分析軸承各球受力與運動狀態后，分別計算每個球接觸區域的接觸力、接觸變形、接觸表面摩擦切應力以及球與內外圈的相對滑動速度，進而對球表面摩擦切應力和相對滑動速度的乘積在整個接觸區域內進行積分，便可得到各球接觸區域的局部生熱量，對所有球的局部生熱疊加后，就可得出整個軸承的差動滑動摩擦生熱HBRC。

在球與溝道接觸中，在接觸橢圓區域長軸方向，摩擦生熱率由下式計算[5]

(5)

在接觸橢圓的短軸方向

(6)

式中：J為由(N·m)/s到W的轉換常數；τnyj,τnxj為表面摩擦切應力，MPa；vnyj,vnxj為滑動速度，m/s；Anj為接觸區面積,m2；anj,bnj為接觸橢圓長、短半軸,m。下標n=i，e分別表示軸承內、外圈;j=1,2,…,Z。

接觸區內任意一點(x,y)表面摩擦切應力為

(7)

式中：μ為平均摩擦因數；Q為法向接觸載荷，N。

整個軸承差動滑動摩擦生熱為

(8)

2.2 溝道接觸區的自旋摩擦生熱

當軸承轉速較高時，球沿內外溝道繞接觸面法線的旋轉，引起球自旋摩擦，這是不可忽視的一部分摩擦生熱[6]。軸承自旋摩擦生熱為

Hsj=ωsiMij+ωseMej，

(9)

(10)

式中：ωsi，ωse為球繞接觸面法線旋轉運動(即自旋運動)的角速度；Mij和Mej為球與內、外溝道接觸區自旋摩擦力矩；μi，μe為球與內、外溝道接觸區摩擦因數；Qij，Qej為球與內、外圈法向接觸載荷；aij，aej為內、外溝道Hertz接觸橢圓長半軸；L(e)ij，L(e)ej為內、外溝道接觸區的第二類橢圓積分。

整個軸承的自旋摩擦生熱為

(11)

3 實例計算與結果分析

3.1 軸承計算程序的驗證

總結上述在外載荷作用下角接觸球軸承位移、接觸變形及摩擦生熱的計算過程，編寫相應的程序進行計算。為了說明采用擬靜力學程序計算軸承接觸參數和生熱的有效性，使用了7008C型角接觸陶瓷球軸承。軸承內徑d=40 mm；軸承外徑D=68 mm；球徑Dw=7 mm；球數Z=18；初始接觸角α0=15°，潤滑脂40 ℃時的運動黏度為20 mm2/s。在軸向載荷Fa=500～2 000 N，徑向載荷Fr=0，彎矩M=0，轉速為0 ～15 000 r/min條件下，計算了球與內、外圈之間的接觸角和軸向位移，計算結果如圖3和圖4所示。對比Harris中角接觸球軸承在軸向載荷下接觸角的變化和軸向位移的變化[5]可以看出，采用擬靜力學程序所計算的7008C軸承接觸角隨軸向載荷和軸向位移的變化趨勢與Harris對應圖中的變化趨勢相吻合，這說明文中采用的軸承擬靜力學計算程序是有效的。

圖3 球與內、外圈接觸角隨軸向載荷的變化情況

圖4 軸向位移隨軸向載荷的變化趨勢

3.2 結構參數對軸承生熱和接觸應力的影響

使用上述經驗證的程序，按表1并采用控制變量的方法，在僅改變某一種軸承結構參數，而其他結構參數保持不變的條件下，通過計算分析內溝曲率系數fi、外溝曲率系數fe、球徑和球數對軸承(在軸向載荷Fa=500 N，徑向載荷Fr=500 N，彎矩M=2.0 N·m下)生熱和接觸應力的影響。

不同轉速下，內溝曲率系數fi分別對軸承生熱和內圈接觸應力的影響規律如圖5所示(虛線表示內圈接觸應力，實線表示軸承生熱)。從中可以看出，隨著fi的增大，軸承生熱不斷減小；轉速較低時，fi對軸承生熱影響較小，但轉速較高時影響則十分明顯。

表1 7008C軸承計算工況及結構參數表

圖5 fi對軸承生熱和內圈接觸應力的影響

然而，隨著fi增大，球與內圈接觸應力亦不斷增大，這主要是因為增大fi相當于降低了球與內溝道接觸的密合度，減小了內圈接觸面積，使得軸承自旋生熱與總生熱減小，但也使內圈的表面接觸應力增大。當fi=0.53時, 球與內圈接觸應力約為1 430 MPa；當fi=0.62時, 球與內圈接觸應力高達1 950 MPa。顯然，過大的接觸應力會直接影響軸承內圈的接觸疲勞壽命。因此，通過設定軸承生熱和內圈接觸應力的變化范圍，就能得到較優取值的fi。

fi對球與外圈接觸應力的影響如圖6所示，可以看出，改變fi對外圈接觸應力的影響不大。

圖6 fi對外圈接觸應力的影響

不同轉速下外溝曲率系數fe對軸承生熱和外圈接觸應力的影響如圖7所示(虛線表示外圈接觸應力，實線表示軸承生熱)。從中可以看出，隨著fe的增大，軸承生熱逐漸減小，但不是很明顯。然而，球與外圈的接觸應力隨著fe的增大卻顯著增大。當fe=0.59時，軸承外圈接觸應力高達約1 650 MPa，約是fe=0.5時的1.7倍。但由圖8可知，fe對軸承內圈接觸應力影響比較小，因此，綜合考慮fe對軸承生熱和外圈接觸應力的影響，應盡量選取較小的fe，并且要與fi相匹配。

圖7 fe對生熱和外圈接觸應力的影響

圖8 fe對內圈接觸應力的影響

球徑Dw和球數Z對軸承生熱的影響分別如圖9和圖10所示。可以看出，隨Dw增大，軸承生熱略有增加；隨Z增大，軸承生熱略有減少，不過在轉速較低時這種趨勢并不明顯。

圖9 球徑對軸承生熱的影響

圖10 球數對軸承生熱的影響

3.3 外載荷和fi對軸承性能的影響

上述結果表明，相對于其他結構參數，fi對軸承生熱有很大影響，故下面僅在某一轉速下，研究不同的fi和載荷對軸承生熱和接觸應力的影響。轉速為9 000 r/min條件下，fi為0.57～0.63時，軸承生熱和內圈接觸應力隨軸向載荷Fa、徑向載荷Fr和彎矩M的變化規律分別如圖11～圖13所示(虛線表示接觸應力，實線表示軸承生熱)。

圖11 軸承生熱和內圈接觸應力隨Fa的變化

圖12 軸承生熱和內圈接觸應力隨Fr的變化

圖13 軸承生熱和內圈接觸應力隨M的變化

從圖11可以看出，當fi為定值時，隨著Fa的增大，軸承生熱和內圈接觸應力均會逐漸增加。在圖12和圖13中，fi為定值時，隨著Fr或M的增大，內圈接觸應力逐漸增加，而軸承生熱則是略有增加。同外載荷作用相比，fi的變化使軸承生熱和內部接觸應力變化比較顯著。從3個圖中均可看出，當fi選擇較大值，如0.63時，軸承生熱較小，而內圈接觸應力卻顯著增大；然而，當fi取值為0.57時，均可使軸承生熱和內圈接觸應力比較低，且在許可的范圍內變化較小，這與檢測7008C軸承得到的內溝曲率系數相一致。因此，通過計算軸承的生熱和接觸應力并確定其取值范圍，便可以求出較優的內溝曲率系數。

4 結論

(1)較大的內溝曲率系數能減小軸承的生熱，但會使球與內圈的接觸應力顯著增大，這將降低軸承的接觸疲勞壽命。因此，綜合考慮軸承的生熱和接觸應力，可以選定一個較優的內溝曲率系數，使得生熱和接觸應力都較小。

(2)外溝曲率系數對軸承生熱影響不大，但較大的取值會使球與外圈的接觸應力顯著增大，故應該選取較小的外溝曲率系數，且應與內溝曲率系數相匹配。

(3)在軸承主要的結構參數中，與外溝曲率系數、球徑及球數相比，內溝曲率系數對軸承生熱的影響最為顯著。