百變柔軟繩——質心運動定理的一個應用

郭 敏 王文濤 王慶勇

（1.東北師范大學物理學院，吉林 長春 130024 2.東北師大附中，吉林 長春 130024）

物理學致力于研究物質的基本結構及運動基本規律.在中學物理教學中，我們接觸到的多是一個個諸如物塊、小球等可視為質點的物體，對于生活中常見的繩子一般是作為某個或某幾個研究對象的連接媒介出現，常常伴隨的特點是質量可以忽略不計，一旦出現質量不能忽略的繩子，不僅學生無法解決，很多教師也對其束手無策.但是不得不承認這種有質量的繩子才是更貼合實際的，是每一個高中物理教師以及致力于物理奧賽的學生都有必要了解和掌握的.筆者結合自身經驗對有質量的柔軟繩問題設想了幾種情況，現將其整理成習題，供大家一起探討.

例.如圖1所示，一質量為m、長為l的柔軟繩兩端豎直地懸掛在天花板上，某一時刻松開右端使其自由下落.求：在右端下落x時，天花板對左端的拉力T.

圖1

圖2

方法1.質心運動定理的動量表達式.

其中

聯立（1）、（3）式，得

方法2.質心運動定理的加速度表達式.

對質心坐標求一階導數，有

對質心坐標求一階導數，有

所以

解得

可用左右兩側繩子的加速度來求解整根繩子的質心加速度，即

然而Δm和a都是不容易求出的，所以一般不選擇此方法.

但是用質心坐標來計算質心加速度時，為什么沒有考慮兩側接頭處的微小質量呢？這是因為Δm所在處的位置坐標是有限值，一個無窮小乘以一個有限值，結果一定是無窮小.所以在利用質心坐標求質心加速度時可以忽略接頭處的影響.如果繩子堆疊的形狀不規則，質心坐標無法確定，我們也不能選用方法2來求解.因此解決此類問題最好的方法就是運用質心運動定理的動量表達式來求解，我們來看下面的例題.

圖3

1 水平拉繩問題

如圖3所示，單位長度質量為λ的柔軟長繩盤在光滑水平面內，現用一水平力F作用于繩端，使繩端從靜止開始以恒定加速度a運動，求拉力F的大小.

解析：以水平向右為正方向，當繩端向右運動x時，已運動部分繩子的動量為p＝λxv.以整根繩子為研究對象，根據質點系動量定理，有

其中

聯立（1）、（3）式，得

2 豎直落繩問題

一質量為m、長為l的柔軟繩自由懸垂，下端恰與一臺秤秤盤接觸，如圖4所示.某時刻放開柔軟繩上端，求臺秤的最大讀數.

圖4

圖5

其中

聯立（1）、（3）式，得

所以盤秤的最大讀數為3mg，即出現在軟繩將要全部掉到盤秤上時.

3 豎直拋繩問題

如圖6所示，單位長度質量為λ的柔軟長繩盤成一團置于地面上，繩的一端系著一質量為m球，若將球以初速度v0豎直上拋，球能上升多高？

解析：以豎直向上為正方向，當球上升x時，空中的繩子與球速度相等，將其視為一個整體，則動量為p＝（m＋λx）v.地上繩子的速度為0，動量為0.以整根繩子為研究對象，根據質點系動量定理，有

其中

聯立（1）、（2）式，得

（3）式兩邊同時乘以（m＋λx），得

（4）式兩邊同時積分，得

其中y＝（m＋λx）v.

解得

4 斜面滑繩問題

如圖7所示，一質量為m的物體與單位長度質量為λ的柔軟繩相連.開始時，物體靜置于傾角為θ的光滑斜面的頂端，而柔軟繩則盤放在斜面頂端邊的平臺上.釋放物體，讓其沿斜面滑下.求當它下滑距離為x時的速度v.

解析：以沿斜面向下為正方向，當物體下滑距離為x時，隨物體下滑部分繩子與物塊速度相等，將其視為一個整體，則動量為p＝（m＋λx）v.斜面頂端部分繩子的速度為0，動量為0.以整根繩子為研究對象，根據質點系動量定理，有

圖7

其中

聯立（1）、（2）式，得

（3）式兩邊同時乘以（m＋λx），得

（4）式兩邊同時積分，得

其中y＝（m＋λx）v.

解得