一個(gè)“隱蔽”的力矩

涂 泓 朱炯明

（上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，上海 200234）

在討論與桿相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常容易遺漏一個(gè)“隱蔽”的力矩.這個(gè)力矩不易發(fā)現(xiàn)，卻是普遍存在、不能忽略的.正是由于這個(gè)力矩所具有的特點(diǎn)，我們很可能會(huì)由于忽略了這個(gè)力矩，從而得出錯(cuò)誤的、乃至極不合理的結(jié)論，卻還沒(méi)有發(fā)現(xiàn).其實(shí)，通過(guò)仔細(xì)的受力分析，還是不難從一些簡(jiǎn)單的模型中找出這個(gè)“隱蔽”的力矩，并且在此基礎(chǔ)上研究這個(gè)力矩的物理意義，以及它與哪些物理因素有關(guān).

1 橫梁中的“隱蔽”力矩

圖1

因此橫梁所受合力為0.

2 “隱蔽”力矩的來(lái)源

橫梁的右半段除了受到重力和支持力以外，只可能受到來(lái)自左半段橫梁的力，因此這就是那個(gè)“隱蔽”力矩的唯一來(lái)源.左半段橫梁對(duì)右半段橫梁所施加的力發(fā)生在中間O點(diǎn)處的橫截面上，可以將其分解為沿截面方向的橫向力T和沿橫梁方向的縱向力N，分別加以分析.

2.1 橫向力T

根據(jù)牛頓第三定律，橫截面兩側(cè)的橫向力T必定大小相等、方向相反.而橫梁兩側(cè)的情況完全相同，若橫截面右側(cè)有一個(gè)豎直向上的橫向力T提供平衡力矩，那么橫截面左側(cè)的橫向力必豎直向下，從而使左半段橫梁的力矩更不平衡而發(fā)生順時(shí)針旋轉(zhuǎn).這就意味著橫截面兩側(cè)的橫向力T必定都為0.

2.2 縱向力N

既然右半段橫梁在O點(diǎn)處的橫向力T為0，那么與重力和支持力的合力矩相平衡的“隱蔽”力矩就只能由縱向力N提供.但是如果以為縱向力N通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)軸，所以力臂為0，從而力矩也為0，因此也不能提供所需的平衡力矩，那就錯(cuò)了.

實(shí)際情況是，當(dāng)橫梁被擱置在兩個(gè)支架上時(shí)，會(huì)在重力的作用下略向下彎曲.圖2中顯示了橫梁中間一段的情況，靠近上邊緣一側(cè)發(fā)生壓縮形變，而靠近下邊緣一側(cè)發(fā)生拉伸形變，中性層（圖2中用虛線表示）則既不拉伸也不壓縮，只是發(fā)生形狀彎曲.

圖2 橫梁在重力作用下發(fā)生形變

3 “隱蔽”力矩的計(jì)算

為了避免不必要的繁復(fù)計(jì)算，不妨假設(shè)橫梁的橫截面為一矩形，其厚度和高度分別為a和b，并設(shè)立坐標(biāo)系，如圖3所示.

圖3 橫截面右側(cè)部分橫梁受力情況

設(shè)距離中性層z處寬度為dz的狹條（圖3中陰影部分）材料的應(yīng)變?yōu)棣牛a(chǎn)生的應(yīng)力為σ.在發(fā)生形變前，dz層與中性層長(zhǎng)度相等.形變后的狀況如圖4所示，假設(shè)中間層的曲率半徑為R，則dz層的應(yīng)變?yōu)?/p>

根據(jù)胡克定律，在彈性限度內(nèi)，物體由于形變而產(chǎn)生的應(yīng)力與其應(yīng)變成正比，即

其中的系數(shù)E為材料的彈性模量.那么dz層橫截面上的應(yīng)力對(duì)右端支點(diǎn)的力矩為

圖4 橫截面應(yīng)變計(jì)算示意圖

整個(gè)橫截面上的總力偶矩大小相當(dāng)于自上而下各狹條受到的力矩之和，即

4 “隱蔽”力矩如何使橫梁保持平衡

由（1）式可知，沿橫梁方向的縱向力所提供的“隱蔽”力偶矩的大小取決于橫梁材料的彈性模量E、橫梁的厚度a和高度b，以及橫梁的彎曲程度（曲率半徑R）.但不管橫梁是用什么材料制作的，不管橫梁的厚度和高度如何，也不管半段橫梁對(duì)支點(diǎn)的重力矩有多大，這個(gè)“隱蔽”的力偶矩總能使右半段橫梁保持力矩平衡.其中的奧秘就在于橫梁的彎曲程度的“調(diào)節(jié)功能”.常識(shí)告訴我們，對(duì)于一根材料彈性模量、厚度和高度都確定的橫梁，如果橫梁比較重，重力矩就比較大，這時(shí)候，橫梁會(huì)彎曲得比較厲害，或者說(shuō)曲率半徑R比較小，于是力偶矩就會(huì)比較大，大到恰好與重力矩平衡.同樣，在重量相同的情況下，如果材料比較“軟”（彈性模量E比較小），或者比較細(xì)（厚度a和高度b比較小），尤其是高度比較小，（1）式中表現(xiàn)為b3，橫梁也一定會(huì)彎曲得比較厲害，曲率半徑比較小，使力偶矩保持不變，能與重力矩平衡.

值得指出的是，如果研究的是一根理想化的均勻細(xì)桿，橫截面的面積趨于0，是不是那個(gè)“隱蔽”力矩就會(huì)不存在呢？顯然，答案是否定的.從（1）式不難看出，當(dāng)a，b趨于無(wú)窮小時(shí)，只要彈性模量E趨于無(wú)窮大，力偶矩的大小還是一個(gè)確定的量，恰好與重力矩平衡.由此可見(jiàn)，細(xì)桿作為一個(gè)理想模型，除了要求無(wú)窮細(xì)，不會(huì)彎曲以外，還必須是無(wú)窮“硬”的，即它的彈性模量也一定是無(wú)窮大的.

5 轉(zhuǎn)動(dòng)細(xì)桿的“隱蔽”力矩

圖5

為了說(shuō)明以上分析中所指出的縱向力產(chǎn)生的力矩是普遍存在的，再給出另一個(gè)稍復(fù)雜些的例子.2013年第30屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試卷中的第3題所給的模型為：一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞過(guò)其一端的光滑水平軸O在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿在水平狀態(tài)由靜止開(kāi)始下擺（圖5）.

由此題第1、2小題的答案得出，細(xì)桿在下擺過(guò)程中的動(dòng)能可表示為

題目的第3小題要求桿擺至與水平方向成θ角時(shí)，在桿上距O點(diǎn)為r處的橫截面兩側(cè)部分的相互作用力.這一小題用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和角動(dòng)量定理來(lái)求解，得到的答案是不同的.

解法1：用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理解答.

以細(xì)桿與地球?yàn)橄到y(tǒng)，下擺過(guò)程中機(jī)械能守恒，當(dāng)桿擺至與水平方向成θ角時(shí)，動(dòng)能為

由（2）、（3）式得

以在桿上距O點(diǎn)為r處的橫截面外側(cè)長(zhǎng)為L(zhǎng)-r的那一段細(xì)桿為研究對(duì)象，該段細(xì)桿質(zhì)量為λ（L－r），其質(zhì)心速度為

設(shè)另一段細(xì)桿對(duì)該段細(xì)桿的橫向（即垂直桿方向）力為T(mén)（以θ增大的方向?yàn)檎较颍v向（即沿桿方向）力為N（以指向O點(diǎn)方向?yàn)檎颍少|(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得

式中aτ為質(zhì)心的橫向加速度，大小為

而an為質(zhì)心的縱向加速度，大小為

由（5）～（8）式解得

解法2：用角動(dòng)量定理解答.

以橫截面外側(cè)長(zhǎng)為L(zhǎng)＋r的一段細(xì)桿為研究對(duì)象，以上方轉(zhuǎn)動(dòng)軸O為參考點(diǎn)，此時(shí)細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

根據(jù)角動(dòng)量定理有

可得

根據(jù)（4）式可知

代入（11）式可解得

將（9）式和（13）式相比較可知，兩種方法給出的橫向力是不同的.結(jié)合上文對(duì)橫梁的分析不難理解，造成這種差異的原因在于，在角動(dòng)量定理解答的力矩分析過(guò)程中，遺漏了細(xì)桿中縱向力的“隱蔽”力矩.

為了說(shuō)明這個(gè)縱向力的力矩，先分析一下應(yīng)力在桿的橫截面上的分布情況.題中所求在桿上距O點(diǎn)為r處的橫截面外側(cè)長(zhǎng)為L(zhǎng)－r那一段受力情況如圖6所示，將此橫截面合理簡(jiǎn)化為一個(gè)矩形.由于桿在重力和轉(zhuǎn)軸O處的支持力的共同作用下產(chǎn)生形變，截面上各處的縱向應(yīng)力大小是不同的，靠近上邊緣的縱向應(yīng)力較大，向下逐漸減小，并且其大小變化是線性的.

截面中心處的縱向應(yīng)力為

圖6 細(xì)桿橫截面受力情況示意圖

這里σ0就是桿所受縱向合力N在整個(gè)橫截面上的平均力密度，截面其余點(diǎn)處的縱向應(yīng)力為

其中k為應(yīng)力在桿橫截面上的線性分布系數(shù)，相當(dāng)于應(yīng)力沿桿橫截面的分布梯度.可見(jiàn)σ－σ0在中心線兩側(cè)大小相等、方向相反，因此縱向力可以等效看成是由一個(gè)均勻分布的力N和一對(duì)力偶構(gòu)成，這對(duì)力偶是由于桿的形變引起的，它不改變縱向合力的大小，但會(huì)產(chǎn)生力矩

而這個(gè)力矩的遺漏就導(dǎo)致了用角動(dòng)量定理計(jì)算的橫向力（見(jiàn)（13）式）不正確，因此（13）式與用質(zhì)心定理計(jì)算得到的T的正確值［見(jiàn)（9）式］之間的差值ΔT的力矩為

就應(yīng)該等于（14）式給出的力偶矩，即

（11）式的角動(dòng)量定理方程，正是缺失了這個(gè)力偶矩，從而導(dǎo)致計(jì)算出的T不正確.由圖6不難看出，這個(gè)力偶矩的作用是逆時(shí)針的，因此（11）式的正確寫(xiě)法應(yīng)該是

由（15）式第一個(gè)等號(hào)可見(jiàn)，桿中的力偶矩M的大小與兩個(gè)變量θ和r有關(guān).也就是說(shuō)，當(dāng)桿擺動(dòng)到各種不同角度時(shí)，桿上某處的縱向力力矩的大小是不同的；而當(dāng)桿擺到某一角度時(shí)，桿上各不同位置處的縱向力力矩也是不同的.根據(jù)（15）式，可以畫(huà)出桿中的力偶矩隨θ和r變化的圖像，分別如圖7（a）和（b）所示.圖7（a）是在桿上r＝0.3L處的力偶矩隨θ的變化情況；圖7（b）是當(dāng)桿擺到θ＝60°處時(shí)的力偶矩隨r的分布情況.

圖7

（2）M是r的3次函數(shù)，因此變化情況比較復(fù)雜.當(dāng)桿擺動(dòng)到某一角度θ時(shí)，在桿的兩個(gè)端點(diǎn)r＝0和r＝L處力偶矩都等于0，這就意味著在桿上某處必定存在著極值.將（15）式第1個(gè)等式對(duì)r求導(dǎo)并令其等于0，可得

由本文的分析可見(jiàn)，在研究力矩問(wèn)題時(shí)，由于物體形變而產(chǎn)生的應(yīng)力力矩是普遍存在的.但是這個(gè)力矩比較隱蔽，在計(jì)算過(guò)程中常常會(huì)被遺漏，結(jié)果就會(huì)造成不易發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)誤.而在使用力學(xué)問(wèn)題中常見(jiàn)的細(xì)桿模型時(shí)，尤其要注意這個(gè)問(wèn)題，不管桿有多細(xì)，這個(gè)“隱蔽”的力矩都是客觀存在的.

1 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2005：272－274.

2 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2008.

3 賈玉磊，賈瑞皋.剛體角動(dòng)量的定義和定義狀態(tài)量的原則［J］.物理與工程，2008，18（5）：13－16.