孰快孰慢——論2015年高考福建理綜卷第17題

歐劍雄

（福建省莆田第一中學(xué)，福建 莆田 351100）

1 試題及其引發(fā)的爭論

圖1

題目.如圖1，在豎直平面內(nèi)，滑道ABC關(guān)于B點對稱，且A、B、C3點在同一水平線上.

若小滑塊第1次由A滑到C，所用時間為t1，第2次由C滑到A，所用的時間為t2，小滑塊兩次的初速度大小相同且運(yùn)動過程中始終沿著滑道滑行，小滑塊與滑道的動摩擦因數(shù)恒定，則

（A）t1＜t2. （B）t1＝t2.

（C）t1＞t2. （D）無法比較t1、t2的大小.

本題為2015年高考福建理綜卷第17題，參考答案為（A）選項.這道試題一出現(xiàn)，便引發(fā)了熱烈的討論.代表性的觀點主要有以下兩種.

觀點1.認(rèn)為（A）選項正確.持該觀點的教師認(rèn)為，由于AB段為凸曲面，考慮到圓周運(yùn)動所需的向心力，滑塊在該段運(yùn)動時所受的支持力和摩擦力減?。环粗瓸C段為凹曲面，滑塊在該段運(yùn)動時受到的支持力和摩擦力增大.而滑塊從A滑到C時經(jīng)過AB段任意位置的速率均大于從C滑到A時經(jīng)過該位置的速率，從A滑到C時經(jīng)過BC段任意位置的速率均小于從C滑到A時經(jīng)過該位置的速率.故滑塊從A滑到C時經(jīng)過B點、C點的速率分別大于滑塊從C滑到A時經(jīng)過B點、A點時的速率.由此有兩種解法.

解法1：由于滑塊從A滑到C時經(jīng)過B點、C點的速率分別大于滑塊從C滑到A時經(jīng)過B點、A點時的速率，故滑塊在AB段的平均速率大于CB段的平均速率，BC段的平均速率大于BA段的平均速率，因此t1＜t2，（A）選項正確.

解法2：根據(jù)滑塊通過A、B、C3點的速率大小關(guān)系，結(jié)合運(yùn)動過程的速率－時間圖像，可得t1＜t2.

觀點2.認(rèn)為（D）選項正確.持該觀點的教師認(rèn)為，僅根據(jù)幾個點的速度并不能判斷物體在整個運(yùn)動過程中的平均速率.雖然滑塊從A滑到C時經(jīng)過B點大于滑塊_從C滑到A時經(jīng)過B點時的速率.但是，＞vCB并不總是成立的.顯然，當(dāng)AB段曲面高度較高，而滑塊與滑道間的動摩擦因數(shù)較小時，故不能由此得出t1＜t2.另一方面，由于滑塊的運(yùn)動較復(fù)雜，并不能精確地畫出整個運(yùn)動過程的速率－時間圖像，而滑塊從A滑到C時是先減速后加速，從C滑到A時是先加速后減速，因此圖像法畫出來的結(jié)果也有可能是t1＞t2.而且題目中并未指明曲面為圓弧，要證明在任意曲面下均有t1＜t2這在考場上是不可完成的，故答案應(yīng)該是無法比較t1、t2的大小.

那么上述觀點究竟孰是孰非？觀點1中的兩種解法都是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，而支持觀點2的教師卻舉不出t1＞t2的反例來證明該結(jié)論的正確性.要判別兩個觀點的對錯，要么給出t1＜t2的嚴(yán)格證明，要么舉出t1＞t2的反例.為解決上述爭論，筆者在此給出“在任意曲面下均有t1＜t2”的嚴(yán)格證明，供大家探討.

2 t1＜t2的證明

2.1 3個引論

為了方便后面的敘述，先介紹以下3個引論.

引論1：對于斜面軌道，摩擦力對滑塊做功Wf＝－μmgcosθ·s＝－μmg·x（式中x為滑塊運(yùn)動始末位置的水平距離）.

引論2：對于題目所給曲面軌道，滑塊從A滑到C的末速度vt1大于滑塊從C滑到A的末速度vt2.證明過程詳見上文觀點1.

2.2 斜面軌道t1＜t2的證明

首先證明斜面軌道下，結(jié)論t1＜t2成立.

如圖2所示，在軌道上取兩點D、E關(guān)于B點對稱.滑塊從A滑到C過程中經(jīng)過這兩點的速度分別記為vD1和vE1，滑塊從C滑到A過程中經(jīng)過這兩點的速度分別記為vD2和vE2.

結(jié)合引論1，根據(jù)動能定理有

圖2

在D點和E點各取一微小位移Δs，則滑塊從A滑到C通過這兩段微小位移的時間和為

滑塊從C滑到A通過這兩段微小位移的時間和為

根據(jù)引論3可知Δt1＜Δt2，故有t1＜t2.

（也可根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律來證明斜面軌道t1＜t2，但是這種證明方法數(shù)學(xué)過程較為繁瑣，故本文未給出詳細(xì)過程，有興趣的讀者可自行證明.）

2.3 曲面軌道t1＜t2的證明

再證明任意曲面軌道上，結(jié)論t1＜t2成立.

軌道AB段為凸曲面，故滑塊在軌道AB段運(yùn)動時，軌道對其的支持力為

軌道BC段為凹曲面，故滑塊在軌道BC段運(yùn)動時，軌道對其的支持力為

我們?nèi)栽谲壍郎先牲cD、E關(guān)于B點對稱，并將滑塊從A滑到C過程中經(jīng)過這兩點的速度分別記為vD1′和vE1′，滑塊從C滑到A過程中經(jīng)過這兩點的速度分別記為vD2′和vE2′.

考慮到滑塊摩擦力的變化，根據(jù)動能定理，我們可得到

在D點和E點各取一微小位移Δs，則滑塊從A滑到C通過這兩段微小位移的時間和為

滑塊從C滑到A通過這兩段微小位移的時間和為

即Δt2′－Δt1′＞Δt2－Δt1＞0，故有t1′＜t2′，結(jié)論得證.

3 試題評析

雖然我們能夠證明對滿足題意的任意曲面均有t1＜t2成立，但從上面的證明過程以及筆者對福建省某重點中學(xué)理科實驗班部分考生的考后訪談來看，本道試題仍存在諸多值得商榷的地方.

3.1 試題難度過大

從上面的證明過程來看，本道試題的絕對難度極大，考生根本不可能按正確的方法做出判斷.而選擇題這種題型本身存在一定的誤差，有一定猜測的概率.［1］選擇題難度過大會造成考生放棄思考而憑感覺亂猜，使試題完全喪失考試功能.

在考后訪談中，有50%的考生表示在考場上“無從入手，只能憑感覺猜個答案”.考慮到受訪對象整體能力較強(qiáng)（歷屆該班學(xué)生高考總分平均分均在全省前1%），因此實際上所有考生的猜答率肯定遠(yuǎn)高于此.

3.2 試題效度低

考試的目的是根據(jù)考生在考試中的表現(xiàn)推測考生的心理結(jié)構(gòu)或能力，進(jìn)而預(yù)測考生在非考試環(huán)境下的表現(xiàn)或行為.［2］對于高考物理而言，我們預(yù)測分?jǐn)?shù)高的考生應(yīng)該具有較強(qiáng)的物理學(xué)科能力.效度就是用來衡量這種預(yù)測的正確性和有效性的指標(biāo).高考作為一種選拔性考試，效度是評價其科學(xué)性最為主要的指標(biāo).［3］

從考后訪談中的結(jié)果來看，除了那些“憑感覺猜答案”的考生外，選擇（A）選項的考生的解題過程基本與觀點1相同，也就是說思維不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目忌炊艽饘Ρ绢}.還有部分考生也想到了觀點1的解法，但他們認(rèn)為此方法只能比較兩者末速度的大小，而不能比較兩者時間的關(guān)系，在花了大量時間不斷地嘗試其他方法仍不能做出判斷之后，就選擇了（D）選項，不難看出，這部分考生的思維更加嚴(yán)謹(jǐn)、物理學(xué)科能力更強(qiáng)，調(diào)查中也發(fā)現(xiàn)這部分考生平時的物理成績均在實驗班中名列前茅.也就是說在高分段，這道試題的得分與學(xué)生的學(xué)科能力呈負(fù)相關(guān)關(guān)系.

基于上述分析，結(jié)合文獻(xiàn)［4］提出的試題效度理論，筆者認(rèn)為本道試題為低效度試題，這類試題不宜在高考中出現(xiàn).

1 教育部考試中心.高考物理測量理論與實踐（2007年版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

2 雷新勇，周群.試題命制的理論和技術(shù)（一）［J］.考試研究，2008（4）：84－97.

3 吳根洲.高考效度問題研究［D］.廈門：廈門大學(xué)高等教育學(xué)，2007.

4 歐劍雄.高考物理試題效度證據(jù)的研究［J］.物理通報，2015（7）：85－90.