圓錐滾子超精研導輥的磨削輥形及其精密測量

高作斌，畢曉磊，馬偉

(河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471000)

圓錐滾子超精研加工中，導輥是重要的磨削輔助工具和機床主軸。導輥輥形面直接與滾子錐面接觸，在超精研過程中起到控制滾子姿態、驅動滾子自轉的重要作用，其加工精度直接影響滾子超精研后的凸度和表面質量。

要保證超精研過程中導輥與圓錐滾子處于線接觸狀態，導輥設計輥形的軸向截形理論上是輕微內凹的復雜曲線，而導輥輥形面理論上是相應的螺旋曲面[1-4]，通常采用專門的超精輥磨床進行磨削。對導輥輥形進行初次磨削或磨損后的修磨時，砂輪外圓修整成錐面，以滿足導輥輥形軸向截形對導輥軸線傾斜角度即輥形錐角的要求；砂輪軸線鉛垂面內傾斜一個小角度，以避免砂輪與導輥的螺旋擋邊發生干涉(磨削導輥擋邊時，該角度依據擋邊螺旋角進行調整)。由于磨削導輥輥形時砂輪與導輥的軸線處于空間交錯狀態，相對運動關系是砂輪自轉并繞導輥軸線作螺旋運動，因而導輥磨削輥形的軸向截形理論上并非直線。

對于導輥磨削后的輥形，迄今為止，人們主要關注的是輥形錐角[5-6]，并采用弦高法測量該角度，而忽略了其非線性問題。實際中，隨著對高精度圓錐滾子加工問題的重視[7]，輥形形狀應該引起人們的注意，因為導輥輥形面與滾子錐面之間是剛性接觸，如果磨削輥形與設計輥形形狀不一致，導輥與滾子之間就無法實現真正的線接觸，這將影響導輥對滾子的支承穩定性，也會因導輥對滾子摩擦驅動力的變化而影響滾子的自轉穩定性，從而影響超精研加工質量。此外，采用弦高法測量輥形錐角的誤差較大，生產中輥形錐角的磨削精度很大程度上依賴于操作者的經驗，因此，對導輥的磨削輥形進行理論分析，并提供了一個磨削輥形的精密測量實例。

1 磨削輥形分析

1.1 輥形解析表達式

磨削導輥輥形過程中，導輥形面與砂輪錐面構成一對共軛曲面。導輥形面與砂輪錐面構成一對線接觸共軛曲面的充分條件是：在砂輪沿導輥軸線方向移動的任意位置，導輥與砂輪接觸線上任意一點的相對運動速度方向與該接觸點處砂輪錐面的法線以及導輥形面的法線同時垂直[8]。根據導輥及砂輪的運動方式，可將砂輪相對于導輥的運動分解為2部分進行分析:一部分是導輥定軸旋轉運動和砂輪沿導輥軸線方向貫穿運動合成后形成的砂輪整體相對于導輥軸線的圓柱螺旋運動，在接觸線上任意一點相對運動的線速度方向，即導輥螺旋輥形面上過該點的圓柱螺旋線的切線方向，其必定與輥形面的法線垂直(輥形面是圓柱螺旋表面)；另一部分是砂輪的旋轉運動，在接觸線上任意一點相對運動的線速度方向必定與砂輪錐面法線相切。因此，在砂輪與導輥接觸線上任意一點，只要砂輪錐面與導輥形面共法線，則砂輪相對于導輥的運動速度方向必定與該法線垂直，從而滿足滾子錐面與導輥形面構成一對共軛曲面的充分條件。因此，以砂輪錐面與導輥形面共法線為條件，求導輥磨削輥形的解析表達式。

基于砂輪與導輥的空間幾何關系，建立空間正交坐標系如圖1所示。圖中，O為導輥軸線上磨削長度范圍內任意一點;z軸與導輥軸線重合處于水平面內;y軸也處于水平面內;Oxyz為固定坐標系；O1x1y1z1為沿導輥軸線方向移動的動坐標系;O1為砂輪大端圓心，其初始位置在Oxyz坐標系中的坐標為O1(0，A，0);z1軸與砂輪軸線重合;y1軸與y軸重合；λ為z1軸和z軸在鉛垂平面內的夾角;β為砂輪半錐角；φ為坐標系Oxyz中的轉角參變量；θ為O1x1y1z1坐標系中的轉角參變量。為了便于區分，在Oxyz坐標系表達的矢量用上標0，在O1x1y1z1坐標系表達的矢量用上標1(下同)。

圖1 砂輪與導輥的空間幾何關系及坐標系

在固定坐標系Oxyz中，導輥形面是螺旋面，從機械加工表面形成的角度看，形成該螺旋面的導線是導輥的圓柱螺旋線，而素線既可以看作是導輥與砂輪的接觸線，也可以看作是導輥形面在xOz平面內的軸向截形。導輥形面在xOz平面內軸向截形的矢量表達式為

C0={R,0,z}，

(1)

式中：R為導輥軸向截形任意點半徑；z為導輥軸向截形任意點的z軸坐標。

導輥軸向截形C0繞z軸作定軸圓柱螺旋運動，可得導輥的輥形面，因此，在坐標系Oxyz中，輥形面的矢量表達式為

(2)

p=s/2π，

式中：p為導輥的螺旋參數；s為導程。

將 (1) 式代入 (2) 式得

R0={Rcosφ,Rsinφ,z+pφ} 。

(3)

在O1x1y1z1坐標系中，砂輪錐面的矢量表達式為

r1={rcosθ,rsinθ,(re-r)cotβ},

(4)

式中：r為砂輪半徑參變量；re為砂輪大端半徑。

對于砂輪與導輥接觸線上任意一點E，應同時滿足(3)，(4)式。因此，將(3)，(4)式中相關參數加下標E，可得

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：I為矢量從坐標系O1x1y1z1變換到坐標系O2x2y2z2時的變換矩陣；坐標系O2x2y2z2為坐標系O1x1y1z繞y1軸旋轉λ角得到，與Oxyz坐標系平行，僅用于坐標變換(圖1未標出)。

將(5)，(6)和(8)式代入(7)式整理得

(9)

(10)

式中：i，j和k分別為x,y和z坐標軸的單位矢量。

(11)

式中：i1，j1和k1分別是x1，y1和z1坐標軸的單位矢量。

(12)

將(8),(11)式代入(12)式得

(13)

在接觸點E，導輥形面與滾子錐面共法線的條件為

(14)

。(15)

由于E是任意點，接觸線上的點均滿足(9)，(15)式，將其去下標E得

Rcosφ=rcosθcosλ+(re-r)cotβsinλ,

(16)

Rsinφ=rsinθ+A,

(17)

z+pφ=-rcosθsinλ+(re-r)cotβcosλ,

(18)

(19)

將(17)式除以(16)式得

(20)

(19)式變形可得

(21)

(22)

由(21)，(22)式又可得到

(23)

將(23)式代入(17)式整理后，再利用(3)～(20)式消去與φ有關的項,則

Esinθ+Fcosθ-G=0，

(24)

(25)

式中：E，F和G是為了書寫和計算方便使用的代數符號，沒有明確的幾何意義。

由圖1可知，砂輪與導輥接觸線位于O1x1y1z1坐標系的第3象限，θ為第3象限的角，cosθ的值為負，故在(24)式中

(26)

將(25),(26)式代入(24)式整理后可得

(27)

為了確定(27)式中“±”號如何選取，令λ=0，且p=0，將其代入(25)式得E=0，F=A，G=0；再將E，F和G的值代入(27)式得sinθ=±1。θ為第3象限的角，sinθ的值為負,所以(27)式中根號前應取“-”號。因此，(27)式改寫為

(28)

(18)式變形為

z=(re-r)cotβcosλ-rcosθsinλ-pφ,

(29)

(17)式變形為

(30)

以r為自變量，由(28)式可計算參變量θ；由(20)式可計算參變量φ；再由(29)，(30)式可分別計算變量z和R；從而得到導輥的軸向截形。

為明確取值范圍和計算方便，改用砂輪與導輥任意接觸點在O1x1y1z1坐標系中z1軸的坐標值z1為自變量，替換砂輪半徑參變量r，2個變量之間的關系為

r=re-z1tanβ；0

(31)

式中：B為砂輪寬度。

需要說明的是，相關算式中的A值可由砂輪大端半徑和導輥小端半徑Rmin進行計算，即

A=re+Rmin。

(32)

(20)，(25)，(28)～(31)式共同構成導輥磨削輥形軸向截形曲線的解析表達式。

1.2 輥形特征

文中建立的輥形解析表達式十分復雜，因此，通過數值計算分析導輥磨削輥形的特征。計算條件為：β=2.5°，λ=4°，B=48 mm，re=150 mm，Rmin=80 mm，s=54 mm。導輥磨削輥形軸向截形解析表達式數值計算結果實例如圖2所示。

圖2 導輥磨削輥形軸向截形曲線計算實例

由圖2可知，輥形軸向截形幾乎是一條傾斜的直線，表明截形曲線的非線性程度與其傾斜程度相比很小。

為了準確表達導輥磨削輥形的特征，將軸向截形的傾斜性和非線性分別進行描述。以軸向截形兩端點連線作為基準線；以基準直線相對于導輥軸線的傾斜角度表示截形的整體傾斜程度，稱為導輥的輥形錐角，用μ表示；用截形曲線各點與基準直線對應點的半徑差描述截形的非線性，并將這個半徑差稱為導輥的輥形凹度，用ΔR表示。

導輥輥形錐角計算式為

(32)

圖2所示算例的輥形錐角μ=2.520 5°。

設基準直線任意一點半徑為Rj，則其計算公式為

(33)

式中：Rmax為截形大端端點半徑；zmax為截形大端端點軸向坐標；Rmin為截形小端端點半徑；zmin為截形小端端點軸向坐標。

導輥輥形凹度計算式為

ΔR=R-Rj。

(34)

圖2所示算例的截形曲線非線性特征即輥形凹度，如圖3所示。由圖可知，除2個端點數值為零外，其余各點的輥形凹度均為負值，曲線最大內凹量ΔRmax=6.2 μm。表明截形曲線是內凹的，這也是將描述截形曲線非線性特征的指標稱為輥形凹度的原因。由此可知，導輥磨削輥形軸向截形具有傾斜和內凹2種特征。

圖3 導輥磨削輥形軸向截形曲線的非線性特征

1.3 影響輥形的因素

在磨削導輥輥形時，砂輪可以修整成不同的半錐角；砂輪架可以在鉛垂平面內以擺動方式調整到不同角度位置，即砂輪架垂直擺角(λ角)；砂輪大端半徑re會隨著修整次數的增加而不斷減小。因此，通過數值計算分析這些因素對導輥輥形錐角和輥形凹度的影響，其中，除有專門說明外，計算條件均為：β=2°，λ=6°，B=48 mm，re=150 mm，Rmin=80 mm，s=54 mm。

1.3.1 砂輪半錐角β

使砂輪半錐角β在1°～5°范圍內變化，其他計算條件不變，β變化對導輥磨削輥形錐角和凹度的影響分別如圖4和圖5所示。

圖4 砂輪半錐角對導輥磨削輥形錐角的影響

圖5 砂輪半錐角對導輥磨削輥形凹度的影響

由圖可知，當β增大時，輥形錐角μ呈近似線性增大趨勢，而輥形凹度ΔR幾乎沒有變化。由計算數據可知，β在1°～5°范圍內變化時，β每增大1°，μ約增大0.995 0°，μ的總變化量為3.978°，最大內凹量ΔRmax的總變化量為0.2 μm，可見，輥形錐角μ受β的影響很大，而輥形凹度ΔR幾乎不受β的影響。

1.3.2 砂輪架垂直擺角λ

在2°～6°范圍內對λ取值(由于導輥螺旋角的制約，λ不會取太小的值)，其他計算條件不變，λ變化對導輥磨削輥形錐角和凹度的影響分別如圖6和圖7所示。

由圖可知，當λ增大時，輥形錐角μ呈非線性增大趨勢，輥形凹度ΔR也呈增大趨勢。根據計算數據可知，λ在2°～6°范圍內變化時，μ的總變化量為0.05°，最大內凹量ΔRmax的總變化量為12.5 μm，可見，輥形錐角μ受λ的影響并不大，而輥形凹度ΔR受λ的影響很大。

圖6 砂輪架垂直擺角對導輥磨削輥形錐角的影響

圖7 砂輪架垂直擺角對導輥磨削輥形凹度的影響

1.3.3 砂輪大端半徑re

結合生產實際，在120～200 mm范圍內對re取值，其他計算條件不變，re變化對導輥磨削輥形錐角和凹度的影響分別如圖8和圖9所示。

圖8 砂輪大端半徑對導輥磨削輥形錐角的影響

圖9 砂輪大端半徑對導輥磨削輥形凹度的影響

由圖可知，當re增大時，輥形錐角μ呈近似線性減小趨勢，輥形凹度ΔR也呈減小趨勢。根據計算數據可知，re在120～200 mm范圍內變化時，re每增大10 mm，μ約減小0.004°，μ的總變化量為0.022°，最大內凹量ΔRmax的總變化量為5.1 μm，可見，輥形錐角μ受re的影響很小，而輥形凹度ΔR受re的影響相對較大。

2 磨削輥形精密測量實例

導輥尺寸較大，其輥形難以在計量室進行測量，而現場測量受測量設備限制精度較低。為實現導輥磨削輥形的精密測量，設計制作了一種特殊導輥，其由一個環形輥套裝在一根長軸上構成，環形輥具有與正常導輥完全相同的螺旋工作面，只是長度僅有2個螺距；長軸的長度以及長軸兩端的軸承座均與正常導輥完全相同，使特殊導輥可以方便地安裝在導輥磨床上與正常導輥一樣進行輥形磨削(圖10)。特殊導輥磨削后，環形輥可以很方便地拆下，在計量室進行磨削輥形的精密測量(圖11)。

圖10 特殊導輥及其輥形磨削

圖11 特殊導輥環形輥輥形的精密測量

特殊導輥螺旋工作面參數以及相關磨削參數為：β=5.23°，λ=6.5°，B=22.5 mm，re=150 mm，Re=80 mm，s=54 mm。磨削后測量儀器為FORM TALYSURF系列BEARING MEASUREMENT SYSTEM PGI 1220型測量儀，其水平移動的直線度達0.1 μm，觸針在垂直方向的分辨率達0.8 nm。特殊導輥磨削輥形軸向輪廓測量結果如圖12所示,最大凹度約3.5 μm。根據特殊導輥參數和磨削參數計算的輥形軸向截形曲線如圖13所示，對比可知，測量結果與計算結果一致性良好。

圖12 特殊導輥磨削輥形軸向廓形測量結果

圖13 特殊導輥磨削輥形軸向截形曲線內凹量計算結果

在正常導輥磨削之前先磨削特殊導輥，通過其環形輥的精密測量來選擇和調整相關磨削參數，然后磨削正常導輥保證其加工精度。

3 結論

1)磨削輥形軸向截形解析表達式由(20)，(25)，(28)～(31)式共同構成。

2)磨削輥形軸向截形不僅具有傾斜特征，還具有內凹的非線性種特征，這2種特征可分別用輥形錐角和輥形凹度來表征。輥形錐角受砂輪錐角的影響最大，而受砂輪直徑和砂輪架垂直擺角的影響不大；輥形凹度受砂輪架垂直擺角的影響最大，受砂輪直徑的影響較大，而受砂輪錐角的影響極小。