基于滑模觀測器的磁軸承轉子不平衡擾動控制

趙萍，孫冬梅，陳紅燕

(南京工業大學 自動化與電氣學院，南京 211800)

隨著能源消費的大幅度增長和地球生態環境的惡化，可再生能源得到了越來越廣泛的重視，風能是解決能源危機的一個重要手段。與傳統軸承相比，磁懸浮軸承具有無摩擦磨損、無需潤滑、轉速高、精度高和壽命長等諸多優點，廣泛應用于機械工業、航空航天、機器人、計算機、能源交通及生命科學等領域[1]。磁軸承的支承轉子在運轉過程中存在擾動問題，最主要的是同頻不平衡擾動，擾動干擾是影響其性能的重要因素之一。

為減小轉子不平衡引起的擾動，建立了磁軸承-轉子系統的動力學模型，設計了滑模擾動觀測器。采用微分器的輸出取代系統的實際輸出，使滑模觀測器的輸入降階，對擾動進行補償，從仿真結果來看，設計的滑模變結構擾動觀測器能夠快速地跟蹤不平衡擾動，通過補償降低擾動干擾。

1 磁軸承轉子系統動力學模型

磁懸浮飛輪轉子的不平衡振動會造成飛輪系統的基頻擾動，對控制器的輸出造成干擾,影響系統的穩定性,是磁懸浮飛輪最主要的擾動源。轉子的不平衡是指轉子的幾何軸與慣性主軸不重合，而磁懸浮飛輪的工作原理是將轉子懸浮于轉子幾何軸上，因此當飛輪繞轉子幾何軸旋轉時，飛輪的慣性主軸就會繞幾何軸轉動，從而產生離心力等擾動力與擾動力矩輸出。以基于磁懸浮技術的5自由度飛輪轉子系統為對象，建立有質量偏心干擾下的系統動力學模型[2]，如圖1所示，圖中f為磁軸承的作用力；τ為旋轉軸與z軸的夾角；φ為旋轉角；ψ為傾角；(φ,ψ)用來定義飛輪參照系的方位和偏轉方向。由于此系統是一個中心對稱理想狀態下的轉子，因此慣性坐標系等同于質心坐標系。

圖1 磁軸承-轉子系統

實際系統多采用各自由度分散控制的方式，忽略推力方向對徑向的耦合，推力方向的特性可單獨用單自由度的方法來研究。因此，磁懸浮轉子模型可以用4自由度的轉子數學模型表示[3-4]。電磁線圈使飛輪懸浮并以很高的速度運行，而且沒有摩擦損耗，輸出為4個可以測量的位移。在可測量的慣性參照系中，這些距離對應于軸的兩端坐標在平衡點的位置，其中xc和yc是可測量的慣性參照系中飛輪的重心位置，4個線圈電流控制軸的磁場，每個線圈都配有位移傳感器，運動的線性化方程為

(1)

式中：m為轉子的質量；ε為離心率(靜不平衡)；ω為轉子旋轉角轉速；xc和yc初始位置都設為0；Jxx為繞質量中心的截面慣性矩；Jzz為繞質量中心的極慣性矩。輸入fi的表達式為

fi=k1yi+k2ui，i=1,2,3,4，

(2)

式中：k1為徑向磁軸承位移剛度；yi為系統的輸出；k2為徑向磁軸承電流剛度，由線圈中的電流產生的磁場決定；ui為控制量。yi的表達式為

(3)

式中：h為重心的高度。為了使系統線性化，必須使旋轉角很小，此時sin(ωt)≈ωt,cos(ωt)≈1，根據(1)式，可將系統的狀態空間表達式寫為

(4)

x(t)=[w(t)y(t)]T，

w(t)表示系統在干擾下重心位置旋轉角及傾角的參數值。狀態方程系數矩陣分別為

C=[04×8,I8×8]，

式中：I8×8為單位矩陣。

2 滑模擾動觀測器的設計

由于各種振動干擾是可觀測的，因此可根據系統的輸入u(t)和輸出y(t)設計滑模擾動觀測器。

根據降維觀測器理論，(4)式可改寫為[5]

(5)

相應的y觀測器的方程為

(6)

切換矩陣M為[6]

M=M1diag(|ey|)+M2，

(7)

則系統的估計誤差為

(8)

對于二階系統，干擾觀測器的方程為

(9)

[Msgn(ey)]eq=A21ew，

(10)

誤差系統動態方程為

(11)

將(10)式代入(11)式，可得系統在滑模面上的誤差運動方程為

(12)

若系統方程滿足(A,C)可觀測條件，那么(A11,A21)也是可觀測的，通過選擇合理的反饋矩陣L2，使ew→0。

合理選擇下列矩陣可以保證觀測器收斂，

3 控制律設計

基于滑模擾動觀測器設計磁軸承控制系統[7]，磁軸承主動控制系統框圖如圖2所示。滑模觀測器的輸出經過補償放大環節，對每個徑向磁軸承線圈提供補償量，實現對不平衡擾動的補償。該補償量和PID控制器的輸出均作為磁軸承-轉子系統的輸入。系統中的控制律采用傳統的分散PID控制，其傳遞函數為

圖2 磁軸承主動控制系統框圖

(13)

式中：Kp,Ti,TD分別為比例系數、積分常數、微分常數；s為微分算子。

磁懸浮飛輪轉子采用細長軸轉子，轉動慣量較小，轉子繞z軸的轉動慣量小于繞與之垂直的軸的轉動慣量；在進行仿真時，轉子轉速不高，因此，可以忽略陀螺效應對系統產生的影響[8]。

4 仿真分析

為了驗證文中控制方法的有效性，在MATLAB的Simulink環境下建立轉子系統的仿真模型，系統參數見表1。

表1 系統仿真參數

滑模觀測器(6)式和(9)式中的矩陣A11,A12,A21,A22,B1和B2根據(4)式確定，其他參數為

將相應的參數值與矩陣代入Simulink建立的仿真框圖中，仿真結果如圖3～圖6所示。

圖3 擾動力觀測值與期望值對比

對比圖3和圖4可知，擾動力和擾動力矩的觀測值與期望值存在一定的偏差，并且當擾動增加時，跟蹤誤差增大，這是因為滑模趨近律中參數矩陣Lx的影響，但由于實際擾動量較小，跟蹤誤差較小且在可控的范圍內，因此所選取的系統參數滿足實際的應用要求。在0.16 s時對系統擾動進行補償，但觀測值并不能直接對系統進行補償，需經過補償放大環節才能引入磁軸承執行器中。由圖5和圖6可知，系統對擾動的補償效果較好，但系統抖振較大，因此，在今后的研究中需要選擇更加合理的觀測系數，保證觀測速度不變的同時減小系統抖振。

圖4 擾動力矩觀測值與期望值對比

圖5 擾動力補償前后對比

圖6 擾動力矩補償前后對比

5 結束語

針對磁軸承轉子系統轉子不平衡擾動問題，設計了滑模擾動觀測器，對不平衡引起的擾動進行補償。仿真結果證明，所設計的滑模觀測器能很好地跟蹤擾動；補償后擾動降低了約90%，有效抑制了系統的擾動。