MATLAB在系統穩定性分析中的應用

黨曉圓,馬冬梅,楊傳燕,李 潔（重慶郵電大學移通學院,重慶 401520）

MATLAB在系統穩定性分析中的應用

黨曉圓,馬冬梅,楊傳燕,李 潔
（重慶郵電大學移通學院,重慶 401520）

摘 要：討論了控制系統分析穩定性的必要性，闡述了系統穩定性的概念，介紹了李亞普諾夫第一法和李亞普諾夫第二法，分析了兩種方法的優缺點，給出了現代控制理論中李亞普諾夫主穩定性定理，論述了主穩定性定理在穩定性判定中的應用，最后以可控直流電源供電給直流電機傳動系統為例，利用MATLAB提供的Lyapunov函數P=lyap(A,N)對此系統穩定性進行了分析，介紹了利用MATLAB判定穩定性的方法。

關鍵詞：穩定性；李亞普諾夫第二法；MATLAB

0 引言

穩定是控制系統能夠正常工作的前提。從工程應用的角度來看，一個系統只有穩定了，研究分析系統的動態性能和靜態性能才有意義。系統運動穩定性分為基于輸入輸出描述的外部穩定性和基于狀態空間描述的內部穩定性。在一定條件下，內部穩定性和外部穩定性才存在等價關系。現代控制理論是基于狀態空間描述的，狀態空間描述不僅包含了系統外部特性的描述，而且還揭示了系統的內部特性。如何兼顧系統內部狀態的穩定性和外部特征的穩定性成為一個問題。李亞普諾夫基于狀態平衡點穩定的研究恰好統一了系統內外穩定性的討論。李亞普諾夫方法同時適用于線性系統和非線性系統，時變系統和時不變系統，連續時間系統和離散時間系統。當已知一個系統的傳遞函數或狀態空間描述時，可以對其系統的穩定性進行分析，但是當系統的階次較高時，穩定性分析和計算的工作量比較大，運用具有強大科學計算能力和可視化編程功能的MATLAB軟件，可以為控制系統穩定性分析提供很大的方便。

1　 穩定性的基本概念

一個多世紀以前，俄國力學家A.M.李亞普諾夫（A.M.Lyapunov）在1892年發表的《運動穩定性的一般問題》論文中，首先提出了運動穩定性的一般理論。這一理論把由常微分方程組描述的動力學系統的穩定性分析方法區分為本質上不同的兩種方法，現在稱為李亞普諾夫第一法和李亞普諾夫第二法。

李亞普諾夫第一法也稱為間接法，屬于小范圍穩定性分析，基本思路是通過對線性化系統特征方程根的分布情況判斷穩定性。此方法僅指出了原非線性系統和一次線性化方程之間穩定性的等價關系，沒有解決真實非線性系統的穩定性穩定，僅涉及到平衡點處小范圍的穩定性，沒有提及大范圍的穩定性問題。但是，在工程應用實際中，總是希望控制系統是大范圍漸近穩定的。

李亞普諾夫第二法也稱為直接法，屬于大范圍漸近穩定性分析，從能量的觀點對系統的穩定性進行研究。即系統運動的進程總是伴隨能量的變化，如果做到使系統能量變化的速率始終保持為負，也就是使運動進程中能量為單調減少，那么系統受擾運動最終必定會返回到平衡狀態，且在平衡點處能量減少到最小值。此法不必求解系統的狀態方程，就能對其在平衡點處的穩定性進行分析和做出判斷，給出的是真實非線性系統的穩定性結論，適用于線性系統和非線性系統。

2 李亞普諾夫主穩定性定理

在李亞普諾夫第二法的穩定性結論中，大范圍漸近穩定判別定理具有基本的重要性。由于穩定性與外界擾動無關，所以考察具有普遍性的連續時間非線性時變自由系統：

對于非線性系統主穩定性定理給出了關于在大范圍內穩定性的信息，但是只是系統大范圍漸近穩定的充分條件而非充要條件，若不能找到合適的李亞普諾夫函數就不能得出該系統穩定性方面的任何結論。對于一個給定的系統，李亞普諾夫函數不是唯一的，如果系統在平衡點漸近穩定，那么具有所要求性質的李亞普諾夫函數一定是存在的。

3　 基于MATLAB分析系統的穩定性

李亞普諾夫主穩定性定理判斷穩定性的關鍵是尋找一個滿足條件的李亞普諾夫函數，但是，一般地，尋找李亞普諾夫函數比較困難。當李亞普諾夫第二法應用于線性時不變系統時，利用李亞普諾夫方程討論穩定性更為方便適用。

設線性時不變系統為

該系統在平衡點大范圍漸近穩定的充要條件是：給定一個正定實對稱矩陣N（通常選擇為單位矩陣），存在一個正定的實對稱陣P，使得ATP+PA=-N。該方程稱為李亞普諾夫方程。標量函數V(x)=xTPx就是一個李亞普諾夫函數。此時利用MATLAB提供的Lyapunov函數P=lyap(A,N)就能找到正定實對稱陣P，進而可以判斷出系統的穩定性。

下面以可控直流電源供電給直流電機傳動系統為例，基于MATLAB進行系統穩定性分析。系統結構圖如圖1所示。

按結構圖建立系統的Simulink仿真結構圖如圖2所示。

其階躍響應如圖3所示。

由圖3可知系統是漸近穩定的。

接下來使用命令語句驗證此系統的穩定性。

程序段如下：

程序運行結果：

ans=

72.5392

ans=

0.0606

ans=

0.8254

System is stable

4　 結論

使用MATLAB對系統的穩定性進行分析，簡單方便且高效，尤其是對高階系統分析或已知系統結構圖時，大大減少了計算量，提高了系統研究分析效率。

參考文獻：

[1]趙廣元. MATLAB與控制系統仿真實踐[M].北京：北京航空航天大學出版社,2012.

[2]汪紀鋒，黨曉圓，張毅.現代控制理論[M].北京：人民郵電出版社,2013.

[3]羅斌，馮輝，唐義峰.MATLAB軟件在系統穩定性分析與仿真中的應用[J].佳木斯大學學報（自然科學版）,2010,28(04):530-533.

基金項目：重慶郵電大學移通學院校級電氣工程及其自動化特色專業建設項目（XJZY1501）

作者簡介：黨曉圓（1983-），女，甘肅張掖人，碩士，講師，從事電氣工程及自動控制教學，嵌入式系統及測控系統應用研究。