回歸分析及其初步應用中的思想方法

李志勤

回歸分析是最常用的統計方法，它是研究一個變量與另一個變量之間的相關關系的一種方法，所以兩個變量具有相關關系是回歸分析的前提。學習回歸分析就是要學習回歸分析的思想和方法，下面通過實際應用問題進行分析。

一、數形結合思想

對兩個變量作相關性檢驗時，作出散點圖，并觀察所給的數據是否在一條直線附近，這體現了數形結合的數學思想。

側，研究某設備的使用年限x與維修費用y之間的關系，測得一組數據如表1（y值為觀察值）。

由數據可知y與x有明顯的線性相關關系，可以用一條直線的方程來反映這種關系。

（1）將表1中的數據畫成散點圖。

（2）如果直線l過散點圖中的最左側點和最右側點，求m直線l的方程。

（3）如果直線l'過散點圖中的中間點（即點（4，5）），且使維修費用的每一個觀察值與直線l'上對應點的縱坐標的差的絕對值之和最小，求出直線l'的方程。

分析：（1）將數據在平面坐標系中標出，即可得到散點圖；（2）確定散點圖中的最左側點和最右側點的坐標，即可求出直線l的方程；（3）根據絕對值函數的性質，求出函數的最值，即可求出直線l'的方程。

利用最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程。在解決具體問題時，要先進行相關性檢驗，通過檢驗判斷兩個變量是否具有線性相關關系。若它們之間具有線性相關關系，再求回歸方程，否則，即使求出回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計和預測的量也是不可信的。

二、回歸分析法

這是一種從事物因果關系出發進行預測的方法。在操作中，根據統計資料求得因果關系的相關系數，相關系數越大，因果關系越密切。通過相關系數就可確定回歸方程，預測今后事物發展的趨勢。

分析：（1）分別求出數學和物理成績的平均數，利用公式求出b值和a值，寫出線性回歸方程；（2）利用公式求出殘差和，根據所給的殘差和的范圍，判斷所求的線性回歸方程是否為優擬方程。

三、轉化思想

實際問題中，研究的兩個變量是否具有相關關系.可通過散點圖或有關函數的圖像，來選取合適的轉化函數。

側了某興趣小組研究某城市霧霾等極端天氣發生次數與患呼吸道疾病人數之間的關系，他們分別到氣象局和某醫院抄錄了1至6月的霧霾等極端天氣發生次數情況與患呼吸道疾病而就診的人數，得到如表3所示的數據。

該興趣小組確定的研究方案是：先從6組數據中選取2組，用剩下的4組數據求線性回歸方程，再用被選取的2組數據檢驗線性回歸方程是否理想。（2）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2人，則認為得到的線性回歸方程是理想的。該小組所得線性回歸方程是否理想？請寫出具體判斷過程。分析：（1）根據所給的數據，求出x，y的平均數，根據求線性回歸方程系數的方法，求出系數b，再求a的值，即可得到線性回歸方程；（2）根據所求的線性回歸方程，預報當自變量為10和6時的y的值，把預報的值同原來表中所給的10和6對應的值作差，若差的絕對值不超過2，則得到的線性回歸方程是理想的。