基于低秩鑒別投影的軸承故障特征提取方法

梁禮明，吳武林，吳健

(江西理工大學 電氣工程與自動化學院，江西 贛州 341000)

滾動軸承的峰值因子、峭度、脈沖因子等時域參數，頻域頻譜特征和能量等包含了豐富的軸承運行狀態信息，因此可以提取這些參數作為故障診斷的高維特征[1]，但得到的高維特征空間中不可避免地存在一些與故障診斷不相關的特征和冗余特征，不利于故障診斷，因此需要提取高維特征空間中的低維特征。主成分分析(Principal Component Analysis，PCA)僅能有效地發現全局歐式結構，因而無法發現隱藏在數據中內在的非線性流形結構。為了發現位于軸承數據空間中的內在流形結構，文獻[2]等利用流形學習的方法提取故障信息，取得了不錯的效果。流形學習方法是以數據最近鄰域的個數和本質維數或降維維數已知為前提，降維效果嚴重依賴于對這些參數的選擇，但目前流形學習中最近鄰域的個數和本質維數如何確定是一個有待研究的問題，而且它們是定義在訓練樣本上的，還不能有效處理新測試樣本。

針對流形學習面臨的上述問題，提出了基于低秩鑒別投影的軸承故障特征提取方法。低秩表示同時考慮到類間的差異性和類內的同一性，因而能準確描述數據的全局結構，低秩鑒別投影算法擁有低秩表示的良好數據全局結構表達能力和一定的判別結構表達能力[3]，并且能夠得到顯示的投影矩陣，泛化能力強。

1 低秩鑒別投影

1.1 低秩表示的基本思想

假設訓練數據樣本由X=[x1,x2,…,xn]構成，低秩表示[3-5]的目的是尋求訓練集中每一個獨立的數據向量作為所有數據向量的線性組合表示，考慮到實際數據采集過程中的噪聲干擾，低秩表示模型可以表示為

(1)

式中：W為系數矩陣;‖W‖*為矩陣W的核范數，即該矩陣奇異值之和；參數a>0；E2,1為噪聲矩陣的l2,1范數，用來描述噪聲的類型，在此用來模型化受大噪聲干擾的樣本。(1)式的最優解可利用非精確增廣拉格朗日乘子法求解[6]。

1.2 低秩鑒別投影算法

低秩鑒別投影算法[7-8]的思想是：首先求出(1)式的最優解W并將其分解為類內表示、類間表示和噪聲3個部分；然后盡量使類間散度足夠大，類內散度和噪聲散度足夠?。蛔詈髮ふ乙粋€投影矩陣，使數據經過線性投影后的低秩結構保持不變，且低維空間聚類效果更好。

(2)

假設經過線性轉換后低秩結構保持不變，則

y=PTx，

(3)

(4)

式中：P為投影矩陣。

在變換空間中，類內散度可描述為

(5)

其中類內散度矩陣為

(6)

類間散度可以描述為

(7)

其中類間散度矩陣為

同時，為了使數據更好的分布，希望投影后的噪聲越小越好，因此要使(4)式中PTei,j的范數最小化，即

(9)

X(I-W)(I-W)TXT。

(10)

則最優投影的判別準則為

(11)

式中：I為單位矩陣；r為組合參數，用于平衡類內散度與噪聲散度。為了更容易地估計參數，簡便計算，定義一個聯合矩陣，令

(12)

判別準則轉化為

(13)

低秩鑒別投影算法步驟為：

1)給定c類數據集X，用非精確增廣拉格朗日乘子法計算最優相似矩陣W。

2 基于低秩鑒別投影的故障特征提取方法

2.1 高維特征空間構建

將上述時域特征和頻域特征組成N×D的故障診斷高維特征空間。每種軸承狀態數據抽取50 組樣本，則全體狀態樣本數N=200；高維特征數D=16。每種狀態下抽取25組樣本作為訓練樣本D1，其余的作為測試樣本D2。

2.2 參數a和r的確定

2.3 稀疏表示分類器

信號的稀疏表示[9-10](Sparse Representation)是指將信號在特定的原子庫中進行分解，如果原子庫中的原子與信號的主要成分相似，則僅需要少數原子的線性組合就能很好地逼近原始信號。

選取y中第i類別的訓練樣本為Ai=[ai1,ai2,…,ain]∈Rm×n，則具有共同類別屬性的測試樣本βi∈Rm就可以近似表示為第i類訓練樣本的線性組合，即

βi=xi1ai1+xi2ai2+…+xinain,

(14)

xi,j∈R;ai,j∈Rm；xi=[xi1,xi2,…,xin]。

式中：xi為樣本βi在訓練樣本Ai下的稀疏表示系數;aij為第i類別下的第j個樣本。

定義一個由y中4類訓練樣本集構成的完整樣本字典A=[A1，A2，A3，A4]，則測試樣本β在字典A下可表示為

β=Ax。

(15)

考慮數據噪聲的情況下，稀疏表示問題可以表述為

(16)

對于測試樣本β，可以通過優化目標(16)式求出其稀疏表示系數x，即得到測試樣本在全局表示下的稀疏表示。實際應用中，由于噪聲與模型錯誤，其非零元素通常會散布于較多類別間。為通過x完成分類工作，可采用分類函數

minri(y)=β-Aδi(x)2；i=1,2,3,4，

(17)

式中：函數δi表示保留第i類元素，其余元素置0。

3 實例分析

3.1 試驗對象

選擇美國凱斯西儲大學電氣工程實驗室的軸承試驗數據進行分析驗證。軸承型號SKF6205,通過電火花加工單點損傷，損傷部位直徑為0.036 mm，采樣頻率為48 kHz。試驗模擬軸承在1 797 r/min時，鋼球故障、內圈故障、外圈故障、正常工作共4種工作狀態。

3.2 特征提取的對比分析

為了驗證提出方法的提取效果，選擇PCA、等距映射(ISOMAP)流形學習方法進行對比分析。均提取前3個主分量，使提取效果可視化。

3.2.1 PCA的特征提取

經PCA提取的前3個主分量為P1～P3，軸承的4種狀態樣本在三維子空間的分布如圖1所示。

圖1 PCA特征提取效果

由圖可知，內圈故障樣本與鋼球故障樣本重疊比較嚴重，并且分布較分散。有1個鋼球故障樣本與正常故障樣本重疊，相對來說，正常樣本與外圈故障樣本聚類質量更良好。這是由于鋼球故障表現為隨機的沖擊分量，包含沖擊分量的樣本與內圈故障樣本接近。由此可見，PCA方法對軸承故障樣本的聚類效果不太理想。

3.2.2 等距映射流形學習算法特征提取

等距映射流形學習算法的主要思想是利用局部鄰域距離近似地計算數據點間的流形測地距離，并將高維數據間測地距離作為其本質低維表示間歐氏距離的不變特征量，進而完成數據降維。仿真試驗中，通過ISOMAP提取的3個主分量為L1～L3，軸承的4種故障狀態樣本在三維子空間上的分布如圖2所示，其中鄰域K=5。

圖2 ISOMAP特征提取效果

由圖可知，正常狀態樣本和外圈故障狀態樣本有較好的聚類效果，而內圈故障狀態樣本分布較遠、個別樣本與滾動體故障狀態樣本發生重疊。由于ISOMAP屬于非線性的流形學習算法，很好地揭示了高維數據的非線性結構，聚類性能相對于PCA得到了一定的提高，但ISOMAP的基本假設是全局等距映射和凸的數據空間，實際應用中難以滿足。

3.2.3 低秩鑒別投影的特征提取

設置參數尋優范圍:a為2～8，r為2-4～2-1，搜索步長為0.5。參數尋優結果如圖3所示，圖中水平面坐標分別取參數a，r的以2為底的對數，圖中顯示了低秩鑒別投影算法利用不同的參數對(a，r)所對應的軸承工作狀態識別正確率。由圖可知，當a=5.656 9，r=0.062 5時，狀態識別率最高，因此，可以選擇上述最優參數值作為LRDP的參數值提取軸承故障信息。

圖3 參數尋優3D圖

選擇參數a=5.656 9，r=0.062 5，通過LRDP提取的3個主分量為K1～K3，軸承4種狀態樣本在三維子空間中的分布如圖4所示，由圖可知，LRDP完全準確地識別了軸承的不同故障狀態，可以用于軸承故障診斷。

圖4 LRDP特征提取效果

4 結束語

提出了一種基于低秩鑒別投影的故障特征提取方法，并與網格搜索法、稀疏表示分類器組合起來對算法中參數進行尋優。經仿真表明，低秩鑒別投影算法能夠準確地描述數據的全局結構和判別結構，對于軸承故障特征提取是一種有效的特征提取算法。