基θ－加細空間

何兆容，石鵬飛，曹賽男，2

(1.成都理工大學 管理科學學院，四川 成都 610059;2.成都理工大學 數學地質四川省重點實驗室，四川 成都 610059)

0 引 言

緊空間是用覆蓋性質來刻畫的一類最基本的空間，比如數學分析中閉區間上的Heine-Borel 有限覆蓋定理.但是滿足這樣條件的空間很有限.對此，學者們對緊空間做了一定的推廣，如仿緊空間［1］、S－仿緊空間［2］、幾乎仿緊空間［3］等，并對這些空間相應的刻畫和性質做出了深入研究，隨著拓撲學的不斷發展，研究的內容和性質也更為豐富.例如，2003年，Porter 提出了基仿緊空間，并對其遺傳性，乘積性和拓撲不變性作了一定的研究［4］.其后，曹金文等［5］和牟磊等［6］分別提出并研究了基中緊和基亞緊空間的相關性質.在此基礎上，本研究再將基仿緊空間進一步推廣，并定義了新的空間——基θ－加細空間，對其性質做了初步探討，得出了一些結論.

1 預備知識

本研究所述的空間均為拓撲空間，表示為(X，T)，或簡記為X.| B | 表示集族B 的基數.St(W，Aj)=∪{A ∶A ∈Aj，W ∩A ≠?}.ord(x，Vn)表示集族Vn中包含點x 的集合的個數.

定義1［4］空間X 是基仿緊空間，若存在X 的一個開基B，且| B| = ω(X)，X 的每一開覆蓋U 具有由基B 中元素構成的局部有限開加細覆蓋.

定義2［1］X 和Y 是2 個空間，f ∶X →Y 稱為一個開映射(閉映射)，如果對于X 中的任何一個開集(閉集)U，像集f(U)是Y 中的一個開集(閉集).

引理1［1］設X 和Y 是2 個空間，f ∶X →Y 是一個閉映射當且僅當對任一y ∈Y 和每一個包含f－1(y)的開集U ?X，存在Y 中y 的一個鄰域V，使得f－1(V)?U.

定義3［7］空間X 到空間Y 上的連續閉映射f ∶X →Y 稱為完備映射，如果對每一y ∈Y，f－1(y)是空間X 的緊致子集.

引理2［7］設X 和Y 是2 個空間，f ∶X →Y 是一個連續映射.如果A 是X 的一個緊致子集，則f(A)是Y 的一個緊致子集.

2 主要結論

定義4 空間X 是基θ－加細空間:存在X 的一個開基B，且| B| = ω(X)，X 的每一開覆蓋U 具有由基B 中元素構成的開加細覆蓋序列，V ={Vn}n∈N，且對于每一x ∈X，存在n ∈N，使得，1 ≤ord(x，Vn)＜ω.

定義5 M 是空間X 的基θ－加細子空間:存在X的一個開基B，且| B | = ω(X)，M 的每一開覆蓋U(U 中元素為X 中的開集)具有由基B 中元素構成的開加細覆蓋序列，V = {Vn}n∈N(V 中元素為X 中的開集)，且對于每個x ∈M，存在n ∈N，使得，1 ≤ord(x，Vn)＜ω.

定理1 基θ－ 加細空間X 的每一個閉子集M都是X 的基θ－ 加細子空間.

證明 設U(U 中元素為X 中的開集)為M 的任一個開覆蓋.因為M 為閉集，所以X－ M ∈(X，T)，從而U ∪{X－M}是X 的一個開覆蓋.由假設，存在X 的一個開基B，且B = ω(X)，X 的覆蓋U ∪{X－M}具有由開基B 中元素構成的開加細覆蓋序列，V = {Vn}n∈N，對于每一x ∈X，存在n ∈N，使得，1 ≤ord(x，Vn)＜ω.顯然，V = {Vn}n∈N也是覆蓋U關于M 的由開基B 中元素構成的開加細覆蓋序列，且對于每一x ∈M，存在n ∈N，使得，1 ≤ord(x，Vn)＜ω.故M 是(X，T)的基θ－ 加細子空間.

定理2 若M 是基θ－ 加細空間X 的一個閉子集，且ω(X)= ω(M)，則M 是基θ－ 加細空間.

證明 設U = {Uα}α∈A(Uα為M 中的開集)為M 的任一開覆蓋.因為M 是X 的子空間，所以存在U'α∈(X，T)，使得，Uα= U'α∩M，顯然，U ' ={U'α}α∈A∪{X－ M}是X 的一個開覆蓋.因為X 是基θ－ 加細空間，所以存在X 的一個開基B，且| B| = ω(X)，U ' 具有由基B 中元素構成的開加細覆蓋序列，V = {Vn}n∈N，且對每一x ∈X，存在n ∈N，使得，1 ≤ord(x，Vn)＜ω.令B|M= {B ∩M ∶B ∈B}，則是子空間M 的一個開基.顯然，| B |M|≤|B| = ω(X)，根據文獻［7］可知，| B|M|≥ω(M)，又根據假設ω(X)= ω(M)，所以| B|M| = ω(M).取Wn= {Bni∩M ∶Bni∈Vn?B}，n ∈N，W ={Wn}n×N是由M 的基| B|M| 中元素構成的M 的開加細覆蓋序列.對每一Bni∩M ∈Wn，有Bni∩M ?Bni∈Vn，所以，對每一x ∈M，存在n ∈N，使得，1 ≤ord(x，Wn)＜ω.故M 是基θ－ 加細空間.

定理3 X 是X 的可數個基θ－ 加細閉子集并，則X 是基θ－ 加細空間.

證明 令X =∪i∈NFi，Fi是X 的基θ－加細閉子集.令U 是X 的任一開覆蓋，則U 是Fi(i ∈N)的開覆蓋.對于每一i ∈N，存在X 的一個基Bi，| Bi| =ω(X)，Fi的開覆蓋U 具有開加細覆蓋序列{Vi，n}n∈N，其中，Vi，n?Bi，Vi，n是Fi的覆蓋;且對任一x ∈Fi，存在n ∈N 使得，1 ≤ord(x，Vi，n)＜ω.令A0= B0，i ＞0 時.取A =∪Ai，顯然A 是X 的一個基，且| A| = ω(X).

下證A 是說明X 是基θ－ 加細空間的那個基.令W0，n= V0，n(n ∈N)，Wi，n= {B－∪j＜iFi，B ∈Vi，n，n ∈N}(i ＞0).令W*= {∪n∈NWn，jn}jn∈N，jn∈N，顯然∪n∈NWn，jn?A.取i(x)= min{i ∈N，x ∈Fn}，x ∈X.

1)每一個∪n∈NWn，jn覆蓋X.對于任一x ∈X，若i(x)= 0，則存在一個B 使得，x ∈B ?V0，j0?W0，j0;若i(x)＞0，則存在一個B 使得，x ∈B ?Vi(x)，ji(x)?∪n∈NWn，jn，所以x ∈B－∪j＜i(x)Fj?Wi(x)，ji(x)?∪n∈NWn，jn.因此每一∪n∈NWn，jn覆蓋X.

推論1 X 是基θ－加細空間，M 是X 的一個Fσ集且ω(M)= ω(X)，則M 是一個基θ－ 加細空間.

證明 因為M 是X 的一個Fσ集，可令M =∪i∈NMi，其中，Mi(i ∈N)是基θ－加細空間X 的閉子集.由定理1，Mi是X 的基θ－ 加細子空間.U ={Uα}α∈A(Uα為M 中的開集)是M 的任一開覆蓋，則存在U'α∈(X，T)，使得，Uα= U'α∩M，顯然，U '= {U'α}α∈A∪{X－M}是X 的一個開覆蓋.顯然，U' 也是Mi的開覆蓋.對于每一i ∈N，存在X 的一個基Bi，| Bi| = ω(X)，Mi的開覆蓋U 具有開加細覆蓋序列{Vi，n}n∈N，其中，Vi，n?Bi，Vi，n是Fi的覆蓋;且對任一x ∈Fi，存在n ∈N 使得，1 ≤ord(x，Vi，n)＜ω.令A0= B0，i ＞0 時Ai= {B－∪j＜iFi，B ∈Bi}.取A =∪Ai，顯然A 是M 的一個基，且| A| = ω(X)= ω(M).類似于定理1，可證A 是說明X是基θ－加細空間的那個基，故M 是一個基θ－加細空間.

定理4 f 是空間X 到空間Y 的一個完備映射.若Y 是基θ－ 加細空間，則X 是基θ－ 加細空間.

證明 因為Y 是基θ－ 加細空間，不妨設開基BY(BY是說明Y 是基θ－加細空間的那個開基)，由文獻［1］知，ω(X)≥ω(Y).令BX是X 的任一開基且| BX| = ω(X).令B 'X= BX∪{f－1(B)∶B ∈BY}∪{f－1(B')∩B ∶B'∈BY，B ∈BX}.顯然| B'X| = ω(X).令U = {Uα}α∈Λ是X 的任一開覆蓋，則每個Uα可表示成BX中一些元素的并，不妨設U' = {U ∶U ?Uα∈U，U ∈BX}.因為f 是完備映射，所以f－1(y)是X 的一個緊子集，從而存在有限個元素，U1，U2，…，Ut，使得，f－1(y)?∪ti=1Ui.因為f 是閉映射，∪ti=1Ui是X 中的開集，由引理1 存在Y 中點y 的一個開集Vy使得，f－1(y)?f－1(Vy)?∪ti=1Ui.{Vy}y∈Y 是Y 的一個開覆蓋，所以存在由BY中元素構成的加細覆蓋序列，A = {An}n∈N，且對任一y ∈Y，存在n ∈N 使得，1 ≤ord(y，An)＜ω.對于任一n∈N，因為Y ∈An，顯然f 是滿的連續映射，根據文獻［8］，

所以，每一{f－1(A)∶A ∈An}都是X 的開覆蓋.令，f(x)= y.對于滿足Ny＞ord(y，An)的自然數Ny，當i ＞Ny時有yAni∈An，從而f－1(y)∩f－1(Ani)= ?，xf－1(Ani)，因此，1 ≤ord(x，f－1(A))＜ω.

對任一n ∈N，A ∈An，存在一點，y(A)∈A，f－1(y(A))是X 的一個緊子集，從而存在有限個元素U1，U2，…，UNy(A)，使得，f－1(y(A))由引理1，存在y 的一個開鄰域Vy(A)，使得，f(y(A))?f－1(Vy(A))

令，Vn= {f－1(A)∩Ui∶A ∈An，i ∈1，2，…，Ny(A)}，顯然，V = {Vn}n∈N是由B 'X中元素構成的U 的加細覆蓋序列.任一x ∈X，存在n ∈N，An中至多有限個f－1(A)包含點x，而Ui(i = 1，2，…，Ny(A))為有限個，所以至多有有限個，f－1(B)∩Ut= ?，即，1 ≤ord(x，Vn)＜ω.故X 是基θ－ 加細空間.

推論2 X 是緊空間，Y 是基θ－ 加細空間，則X× Y 是基θ－ 加細空間.

證明 令f 是X × Y 到Y 的一個投射.由文獻［8］知，f 是一個滿的連續開映射.再由文獻［7］知，f是一個閉映射.因為對每一y ∈Y，f－1(y)= X ×{y}與緊空間X 同胚，且f－1(y)是X × Y 的子空間，由引理2 知，f－1(y)是X ×Y 的緊子空間.所以f ∶X ×Y →Y 是完備映射.又因為Y 是基θ－加細空間，由定理4知X × Y 是基θ－ 加細空間.

定理5 令X 是基θ－加細空間，Y 是σ 緊空間，則X × Y 是基θ－ 加細空間.

證明 令Y =∪i∈NCi，每一個Ci都是Y 的緊致子集.令BX是說明X 是基θ－ 加細空間的那個基，令BY是Y 的一個基，且| BY| = ω(Y).由文獻［8］知BX× BY= {B1× B2∶B1∈BX，B2∈BY}是空間X × Y 的一個基，且| BX× BY| = ω(X × Y).令U是X×Y 中元素構成的X×Ci的任一開覆蓋，則U 可表示成BX×BY中一些元素的并.不妨設，U ' = {U× V ∶U ×V ?U ∈U，U ×V ∈BX×BY}.因為{x}× Ci是緊致的，所以存在U ' 中有限個元素，U1×V1，U2× V2，…，Unx× Vnx(Ui× Vi∩{x}× Ci≠?，i = 1，2，…，nx)覆蓋{x}× Ci，顯然x ∈Ui.記Vx={V1，V2，…，Vnx}，Wx= {U1∩U2∩…∩Unx}，則W= {Wx∶x ∈X}是X 的一個開覆蓋.因為X 是基θ－加細空間，可令A = {An}n∈N是由BX中一些元素構成的W 的加細覆蓋序列，且任一x ∈X，存在n(x)∈N 使得，1 ≤ord(x，An(x))＜ω.對任一A ∈An，存在WA∈W，使得A ?WA.令{A × VA∶V ∈VA}，B = {Bn}n∈N，則每一個Bn都是X ×C1的覆蓋，加細U ' 和U，因為VA中元素是有限的，所以，任一x ∈X，1 ≤ord(x，An(x))＜ω.故，X ×Ci是X × Y 的基θ－ 加細子空間.由定理1 知，X × Y 是基θ－ 加細空間.

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