灰色-權馬爾可夫的地區航空貨運量預測

潘開靈，尤佳瀅，賈向南

（武漢科技大學 管理學院，湖北 武漢 430080）

灰色-權馬爾可夫的地區航空貨運量預測

潘開靈，尤佳瀅，賈向南

（武漢科技大學 管理學院，湖北 武漢 430080）

建立了航空貨運量的灰色-權馬爾可夫預測模型，以灰色GM（1，1）對航空貨運量進行預測，并根據歷史數據的擬合結果劃分出馬爾可夫狀態，再以權馬爾可夫鏈進行短期狀態預測，進一步修正灰色預測結果。實例結果顯示，該模型較灰色GM（1，1）預測準確性更高，能反映出航空貨運量的隨機波動，適合于地區航空貨運量的預測。

灰色預測；馬爾可夫；航空貨運量；預測

1 引言

航空運輸系統是社會經濟系統的子系統，不僅受到外部經濟因素的影響，亦對經濟社會起促進作用。影響航空運輸的因素繁多，取決于經濟發展水平、對外經貿聯系程度以及旅游業的發展等眾多條件，且受地區經濟的影響明顯[1]。表現在地區航空貨運量上，呈現出明顯的波動特征（如圖1所示），進行預測時有顯著的不確定性。但就全國范圍的預測而言，航空貨運量與國家整體經濟運行有關，其時間序列表現出明顯的趨勢性，不確定性較小。

圖1 武漢市航空貨運量

目前，貨運量的定量預測方法有時間序列分析法、回歸預測法及灰色預測法等[2]。時間序列分析根據歷史數據，以時間作為自變量進行預測，割裂了航空貨運量與經濟社會因素的內在作用；回歸預測需要大量的歷史數據，而地區航空貨運量數據量較少且呈現出某種趨勢性的非平穩序列，因此，回歸預測多用于全國貨運量的預測；影響航空貨運量的因素其中很多滿足灰色系統要求，且數據多為時間序列，只需收集較少的歷史數據，就能預測出精度較高的短期數據，但由于灰色預測采用了累加生成列，對長期預測呈現一定的指數規律且對隨機波動性較大的數據數列擬合結果較差。采用灰色-馬爾可夫模型進行預測，雖然結合了灰色預測和馬爾可夫預測的優點，但通常都只考慮了單步距的概率轉移矩陣，忽視了前面若干年與預測期之間的相互關系[3-4]。

因此，本文以灰色預測對航空貨運量進行短期預測，并針對地區航空貨運量可能出現的波動狀態，運用多步距的加權馬爾可夫鏈對狀態間的轉移規律進行預測，對灰色預測結果做出修正。

2 灰色-權馬爾可夫預測模型

2.1 灰色-權馬爾可夫預測思路

灰色-權馬爾可夫預測思路如圖2所示。

圖2 灰色-權馬爾可夫預測思路

我國地區航空貨運市場起步較晚，歷史數據樣本較少，加之其波動性較大、深受地區經濟發展等多因素影響，使用數理統計方法建模預測比較困難。灰色GM（1，1）預測具有所需歷史數據較少、計算簡便、短期預測精度高等優點，不必考慮眾多的復雜因素，從自身時間序列中尋找其內在規律，可以對地區航空貨運量進行較為理想的初步預測。

灰色GM（1，1）預測對平穩序列進行有效擬合，而地區航空貨運量是一個非平穩時間序列，存在較強的隨機波動性。以灰色擬合精度（擬合值/原始數據）刻畫其隨機波動性，其結果具有非平穩隨機過程的特征。因此，可以根據偏離程度劃分出馬爾可夫狀態，結合馬爾可夫鏈的無后效性特征，得出灰色擬合精度的波動規律，對預測期的馬爾可夫狀態做出判斷。

文獻[3]和[4]在灰色預測的基礎上，對預測期的馬爾可夫狀態做出了預測。但其均采用單步距概率轉移矩陣進行狀態預測。地區航空貨運量這一隨機變量具有相依性[1]，僅使用單步距概率轉移矩陣考察最近一年對預測期的影響缺乏嚴謹性。灰色擬合精度的各自階相關系數能夠描述各步距之間的相關關系及其強弱，因此，本文在進行預測期的狀態預測時，考察多個年份對預測期的影響，將其馬爾可夫概率轉移矩陣作為權值，各步距的自相關系數的強弱關系作為權重，進行加權求和，以加權和的最大值所對應的狀態為預測年份的權馬爾可夫狀態。

地區航空貨運量的原始序列中，某個馬爾可夫狀態的殘差平均值反映了該狀態下灰色擬合值對原始數據的偏離情況。根據預測期馬爾可夫狀態所對應歷史狀態的殘差平均值，就可以對預測期的GM（1，1）結果做出有效修正。

2.2 建立GM（1，1）模型，進行灰色預測[5]

考慮地區航空貨運量的連續歷史數據作為原始生成序列X(0)：

對X(0)進行一次累加生成變化（1-AGO）得X(1)：

上標“0”表示原始序列，上標“1”表示一次累加生成序列。其中：

令Z(1)為X(1)的緊鄰值生成（MEAN）序列，那么:

2.3 權馬爾可夫預測的步驟

（1）馬爾可夫狀態的劃分。各年航空貨運量隨時間變化呈增長趨勢，且具有明顯的隨機波動性，不同年份的狀態邊界與內涵均是變化的。灰色擬合精度Y（k）反映了預測值和原始數據之間的動態變化，具有非平穩隨機過程的特征。因此根據灰色擬合精度Y（k）劃分出n個馬爾可夫狀態。

其中Ei為第i種狀態⊕1i，⊕2i分別為第i種狀態的上下界。

進行狀態劃分時，可以根據歷史數據的多寡來決定狀態數量。歷史數據少時，用較少的狀態數量來客觀反映狀態間的轉移規律；歷史數據多時，可以多劃分些狀態數目，以便挖掘出更多的信息，預測精度也會更準。狀態劃分的方法有樣本均方差和聚類分析[6]，本文選擇聚類分析中的K均值聚類進行狀態劃分。

（2）構建多步距轉移概率矩陣。設由狀態Ei經過步距m到達狀態Ej的概率為 pijm。

mijm為狀態Ei經過m步轉移達到Ej的次數；Mi為狀態Ei出現的次數。鑒于歷史數據狀態列變化趨勢的不穩定，在計算步距為m的轉移概率矩陣時，需要去掉數據序列中最末的m-1年。

則步距為m的轉移概率矩陣為：

（3）計算各步距轉移概率矩陣的自相關系數rk和權重Wk。為準確反映各步距（滯后期）轉移矩陣對馬爾可夫鏈預測的權重影響，用灰色擬合精度Y(k)的各階自相關系數rm反映。

對各步距權值進行歸一化處理，得各步距權重。

（4）預測期的馬爾可夫狀態預測，權馬爾可夫鏈預測是對預測年份的馬爾可夫狀態做出預測。采用多步距的轉移概率矩陣加權的方式進行。設某年灰預測精度指標的馬爾可夫狀態為Ei，距預測年份k年，轉移概率矩陣為Pik，可以預測出該年份預測精度指標的狀態轉移概率向量。考慮距預測年份的步距為小于m的所有年份，即得預測年份馬爾可夫狀態的概率向量。

取max{Pi}所對應的狀態為預測年份灰色擬合精度的權馬爾可夫狀態。

2.4 灰色預測結果的進一步修正

確定了預測年份的權馬爾可夫狀態Ei后，對灰色GM（1，1）預測結果做出進一步修正。

ii

取能見度為1 km，平流霧和輻射霧的譜分布如圖1所示.由圖1可知，當能見度為1 km時，隨著粒子半徑的增加，兩種霧的譜分布曲線均先增加后減小，且兩種霧的濃度在半徑較小一側迅速增大，在半徑大的一側則緩慢減小.其中平流霧的霧滴粒子半徑較集中在2～5 μm，輻射霧的霧滴粒子半徑較集中在0.1～2 μm，且輻射霧粒子濃度約大于平流霧粒子濃度兩個數量級.

3 實例研究

本文以武漢市航空貨運量為例進行預測。首先基于1995-2010年歷史數據對2011年航空貨運量進行預測，以灰色GM（1，1）擬合歷史數據進行初步預測，然后用權馬爾可夫對預測年份的狀態進行預測，最后修正初步預測值，與實際觀測值進行對照。對2012年和2013年用同樣的方法進行遞推預測。

3.1 武漢市航空貨運量的灰色預測

根據2013年武漢市統計年鑒中1995-2011年航空貨運量觀測值，建立灰色GM（1，1）預測模型（見式（1）-（3）），使用matlab編程計算出1995-2011年航空貨運量預測值（見表1）。依據預測值與觀測值的比值及差求得1995-2010年的灰色擬合精度和各年度的殘差值（見表1）。

表1 武漢市1995-2013年航空貨運量觀測值及GM（1，1）預測值

注：數據來自《武漢市統計年鑒2013》。

從歷史數據的擬合結果看出，由于武漢航空貨運量的實際波動較大，需進一步使用權馬爾可夫鏈對2011年的馬爾可夫狀態進行預測，在此基礎上對預測結果做出修正。

3.2 武漢市航空貨運量的權馬爾可夫預測

3.2.1 馬爾可夫狀態的劃分。對1995-2010年擬合精度指標使用K均值聚類方法，將擬合精度值均分化為四類，從而劃分為四種馬爾可夫狀態，各預測期擬合精度的狀態見表2。

表2 武漢市1995-2010年航空貨運量預測期擬合精度的狀態

（1）E1強高估年份，Y(k)＞109.30%，表示預測值遠大于實際值，實際貨運量可能出現了負增長或增長遠低預期，該狀態出現了4次。

（2）E2高估年份，100%＜Y(k)≤109.30%，表示航空貨運量一定程度被低估，實際增長幅度低于預期，該狀態出現了5次。

（3）E3低估年份，87.12%＜Y(k)≤100%，表示航空貨運量一定程度被高估，實際增長高于預期，該狀態出現了6次。

（4）E4強低估年份，Y(k)≤87.12%，表示預測值遠小于實際值，實際貨運量增長遠超預期，該狀態出現了1次。

3.2.2 多步距馬爾可夫轉移矩陣的獲取。根據表2中航空貨運量預測期擬合精度的狀態，統計出1995-2010年依次年份順序每個狀態到另一狀態的次數，依據式（4），計算一步矩陣P1時，統計得出狀態1到1,2,3,4的狀態次數分別為1,2,1,0次，由此得出矩陣第一行，依次類推出狀態2,3,4分別到各狀態的概率，最終得出一步矩陣P1。依次類推，得出P2，P3，P4，P5，需注意的是，多步矩陣的計算中，應統計跨m步的年份的各狀態轉換的對應值。

因此計算得出，步距為1，2，3，4，5的一步馬爾可夫概率轉移矩陣，分別為：

3.2.3 自相關系數及權重。根據表1中得出的精度擬合指標，結合式（5）和式（6）可以計算精度擬合指標的各階自相關系數和權重（對于貨運量序列，通常只考慮前5階）。自相關系數為r1=0.152,r2=-0.428,r3=-0.091,r4=0.105,r5=-0.058，權重為 w1= 0.182 3，w2=0.513 2，w3=0.109 1，w4=0.125 9，w5=0.069 5。

3.2.4 航空貨運量預測。根據以上概率轉移矩陣和權重可以預測2011年的擬合精度狀態。考察2006-2010年的擬合精度狀態，分別為E3，E1，E3，E4，E3，確定對應的概率轉移向量、步距和權重，由式（7）得表3。

表3 2011年擬合精度狀態預測

因此，根據表3的數據顯示2011年航空貨運量的擬合精度最有可能處于E3。由灰色GM（1，1）計算的2011年預測值為9.312 2，訓練樣本中擬合精度為E3的平均殘差 -δ3= -0.392 5，由式（8）得到2011年的航空貨運量有可能為：

同理可以預測2012-2013年武漢市航空貨運量，結果見表4。

3.3 兩種方法預測結果的比較

將灰色GM（1，1）預測模型與灰色-權馬爾可夫預測得到的2011-2013年結果進行比較，結果見表4。

表4 兩種方法預測結果比較

從表4兩種預測方法結果比較中可以看出，灰色-權馬爾可夫模型的各項預測誤差均小于灰色預測，其主要原因是對各預測期的灰色擬合精度的權馬爾可夫狀態做出了預測，并根據歷史狀態的殘差平均值對灰色預測結果做出了修正，較單獨運用GM（1，1）模型精度有了進一步提高，說明該模型的預測結果是有效可靠的。

4 結論

影響航空貨運量的因素非常多，較之全國性預測，地區航空貨運量受地區經濟影響更大，具有明顯的趨勢性，且隨機波動性更強、歷史數據更少。對于這類對象的預測，目前主流預測方法的預測精度都有待提高。灰色GM（1，1）預測對歷史數據進行較好的擬合后再進行預測，但在對地區航空貨運量這類隨機波動性較強數據進行預測時，直接預測結果準確性不高。針對這一特點，本文結合灰色理論和馬爾可夫預測方法，以灰色擬合精度劃分馬爾可夫狀態，采用多步距狀態轉移概率矩陣加權求和的方式對預測期的馬爾可夫狀態做出了預測，并根據歷史狀態的殘差平均值對灰色預測結果進行修正。實證分析結果表明：

灰色GM（1，1）預測與馬爾可夫預測方法相結合，能充分利用歷史數據給予的信息。在考慮多步距狀態轉移概率矩陣的基礎上，加權求和來判斷預測期馬爾可夫狀態可以更合理地捕捉地區航空貨運量的隨機波動性，提高了預測精度并增強了預測結果的可靠性，擬合和預測結果具有明顯優勢。此外，本預測方法不僅適用于地區航空貨運量，稍加推理也可應用于其他具有明顯趨勢性和波動性對象的預測研究。

值得指出的是，在進行馬爾可夫狀態劃分時，至少應劃分出4個馬爾可夫狀態，以提高預測的準確性。同時也要注意應避免狀態劃分導致多步距狀態轉移概率矩陣中出現某狀態概率過高的情況，影響預測期馬爾可夫狀態的判斷。因此，如何更加合理的、科學的劃分馬爾可夫狀態需要進一步研究。

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Forecasting of Regional Airway Freight Transportation Volume Based on Grey Weighted Markov Model

Pan Kailing,You Jiaying,Jia Xiangnan
(School of Management,Wuhan University of Science&Technology,Wuhan 430080,China)

In this paper,we established the grey weighted Markov model to forecast the airway freight transportation volume:first we forecast the airway freight transportation volume using the GM(1,1),then further modified the result using the weighted Markov chain,and at the end,through an empirical case,proved the accuracy of the model over the GM(1,1).

grey forecasting;Markov;airway freight transportation volume;forecasting

F562；F224

A

1005-152X(2015)10-0127-04

2015-08-25

潘開靈（1961-），男，湖北武漢人，教授，博士生導師，博士，研究方向：管理協同理論及其應用、企業戰略管理、生產組織管理；尤佳瀅（1989-），女，湖北武漢人，武漢科技大學研究生，研究方向：物流技術與管理。

10.3969/j.issn.1005-152X.2015.10.035