大尺寸空間測量中轉站誤差分析與估計

金漲軍，李江雄，俞慈君，柯映林

（浙江大學 機械工程系，浙江 杭州310027）

飛機裝配是整個飛機制造過程中最重要的環節，裝配勞動量占整個飛機制造勞動量的50%以上，是決定飛機質量的關鍵工藝流程［1］.為了提高飛機裝配的精度，現代飛機裝配技術大量使用了高精度的大尺寸測量設備，比如激光跟蹤儀［2］.由于大飛機部件以及現場工裝設備的遮擋，單臺激光跟蹤儀無法在一個站位完成對整個裝配對象的測量.因此，需要采用多臺激光跟蹤儀協同工作或者單激光跟蹤儀多站位的工作方式來滿足飛機裝配現場的測量任務需求.為了便于測量結果和飛機數模直接比較，來自不同（或不同站位）激光跟蹤儀的測量數據需要轉換到統一的飛機裝配坐標系下.建立激光跟蹤儀測量坐標系到飛機裝配坐標系的轉換關系的過程稱為轉站.轉站是通過測量一組公共觀測點進行匹配實現的，目的是獲得從激光跟蹤儀測量坐標系到裝配坐標系的坐標轉換參數（轉站參數）.SVD 分解法［3-4］、正交矩陣法［5］、四元數法［6］是常用的求解 剛體匹配問題的解析算法，此外還有耿娜等［7-8］提出的基于剛體運動理論和模式搜索的坐標系匹配算法.

在轉站過程中，公共觀測點的測量誤差會導致轉站誤差，轉站誤差是決定大尺寸測量精度的最主要的因素之一.部分學者針對大尺寸測量中的轉站精度問題展開了研究.Calkins等［9-10］建立統一的空間測量網絡（USMN）模型，提出測量點綜合不確定度的加權評定算法，對大尺寸轉站測量中的轉站參數進行優化，該方法已應用到SA 軟件中.Mitchell等［11］以各測量設備的測量協方差矩陣和雅可比矩陣為依據，按照矩陣加權線性最小方差為最優融合準則，提高不同測量設備數據的坐標轉換精度.張福民等［12-14］采用蒙特卡洛仿真方法和現場實驗方法對該方法進行驗證.Predmore［15］通過建立測量點的不確定度橢球誤差模型，提出一種基于參考點馬氏距離最小的轉站方法來提高轉站精度.張春富等［16］用實驗統計方法對激光跟蹤儀的轉站測量不確定度進行分析.林嘉睿等［17］利用激光跟蹤儀極高精度的測距值作為約束，對跟蹤儀測角誤差進行優化，提高大空間三維坐標控制的精度.以上方法都是針對特定的測量系統配置通過對轉站參數值進行優化來提高轉站的精度，沒有分析轉站參數誤差的不確定度對坐標轉換精度的影響.

為了評價大尺寸測量的不確定度，筆者根據激光跟蹤儀轉站的基本原理，建立一種描述轉站參數誤差和轉站誤差的數學模型.該模型揭示了轉站參數誤差、轉站誤差與公共觀測點布局、激光跟蹤儀測量誤差之間的數學關系.基于該模型實現了對轉站參數誤差的不確定度評定和對轉站誤差的估計.采用蒙特卡洛方法對激光跟蹤儀轉站進行模擬，驗證了本文提出的轉站參數誤差不確定度評定方法和轉站誤差估計方法的合理性.

1 激光跟蹤儀轉站原理

在飛機裝配現場，由于飛機部件相對較大的尺寸和各種裝配工裝的遮擋，需要采用多臺激光跟蹤儀或單激光跟蹤儀多站位的配置方法來完成飛機裝配過程的測量任務.每臺激光跟蹤儀具有獨立的測量坐標系，因此來自不同激光跟蹤儀或者不同站位的同一臺激光跟蹤儀的測量數據需要被轉換到統一的裝配坐標系下.激光跟蹤儀轉站的目的是獲取跟蹤儀在不同工作位置時測量坐標系到裝配坐標系的轉換參數.轉站是通過測量一組空間分布的公共觀測點來完成的，如圖1所示.公共觀測點是整個裝配系統的基準，為了能夠方便地實現轉站和保證測量的精度，它需要被合理地布置以包圍整個測量空間.

激光跟蹤儀轉站的本質是三維點組的剛體匹配問題.假設公共觀測點在裝配坐標系下的理論坐標為yi，在激光跟蹤儀測量坐標系下為xi.轉站參數用T（x，y，z）和R（α，β，γ）來表示，其中T 表示激光跟蹤儀測量坐標系相對于裝配坐標系的平移參數，R 表示激光跟蹤儀測量坐標系相對于裝配坐標系的旋轉參數，α、β、γ為相應的RPY 角.

由于公共觀測點之間的相對位置是固定不變的，每一個公共觀測點的測量值yi和xi之間存在一個剛性的幾何變換關系，即

式中：ei為第i 個公共觀測點的測量誤差引起的轉站誤差.

為了求解最佳的轉站參數R 和T，構建所有公共觀測點的轉站誤差（RE）的最小二乘函數：

式中：N 為參與轉站的公共觀測點的數量.

對于式（2），可以使用SVD 分解法求解轉站參數.在獲得轉站參數后，裝配空間內任意檢測點的測量值均可以實現在裝配坐標系下表述：

圖1 多站位激光跟蹤儀測量原理Fig.1 Measurement principle of multiple laser trackers

轉站參數R 和T 的誤差是決定現場大尺寸測量的精度的重要因素.由于轉站的過程只能獲得一次轉站中的轉站參數，很難通過統計的方法獲得轉站參數誤差的不確定度.

2 轉站誤差和轉站參數誤差分析

由于激光跟蹤儀對公共觀測點的測量存在隨機誤差，不同的公共觀測點參與轉站會產生不同的轉站參數誤差.轉站參數誤差的不確定度是衡量現場測量精度的重要指標.在不考慮溫度、振動等環境因素的情況下，公共觀測點作為固定的參考基準，它在裝配坐標系下的參考值是固定不變的.假設yi表示公共觀測點在裝配坐標系下的理論真值，xi和Δxi分別為公共觀測點在激光跟蹤儀測量坐標系下的理論測量值和測量誤差，Δxi服從均值為零、協方差矩陣為Σxi的正態分布.于是，轉站誤差［18-19］表示為

式中：Δεi＝RΔxi，Δεi服從正態分布：

當不存在測量誤差時，兩組數據點完美匹配：

式中：R0和T0為理論的轉站參數.

將式（5）代入式（4），則轉站誤差為

式中：

其中：cx＝cos（x），sx＝sin（x），Δα、Δβ、Δγ 為旋轉參數誤差；ΔT＝T-T0＝ ［Δtx，Δty，Δtz］T是平移參數誤差，Xi＝R0xi.

由于激光跟蹤儀測量精度很高，轉站參數誤差相對于轉站參數來說是高階無窮小量，旋轉參數誤差矩陣可以表示為一階泰勒近似：

式（6）中等式右邊第1項表示由于旋轉參數誤差引起的轉站誤差，第2項表示由平移參數誤差引起的轉站誤差，第3項表示由于激光跟蹤儀測量誤差引起的轉站誤差.

式（6）的最小化問題實際上與求解下列方程組的最小二乘解是一致的.

將式（9）展開后，可以得到一共包含3 N 個方程的線性方程組：

式中：Xik為Xi的第k 個分量；Δεik為Δεi的 第k 個分量，k＝1，2，3.

定義公共觀測點配置矩陣：

式中：

方程組（10）可以通過矩陣形式來表示：

式中：q為轉站參數誤差矩陣，

e為公共觀測點測量誤差矩陣，

通過對矩陣C 進行奇異值分解可得

于是，線性方程組的有效解為

式中：

Λ＋是一個6行3 N 列的矩陣，其元素滿足

此時，轉站參數誤差和轉站誤差取得最小值.轉站誤差可以表示為如下的矩陣形式：

通過式（17）、（20）可知，轉站參數誤差和轉站誤差是由公共觀測點的布局和激光跟蹤儀對公共觀測點的測量誤差決定的.不同的公共觀測點布局、不同的測量誤差都會產生不同的轉站參數誤差.式（17）、（20）可以在測量系統設計階段用來指導優化公共觀測點的布局.

3 轉站誤差和轉站參數誤差不確定度估計

激光跟蹤儀對公共觀測點的測量誤差是隨機變量，因此轉站參數誤差和轉站誤差是隨機變量.對轉站參數誤差和轉站誤差進行不確定度評估，可以定量地評價轉站精度的高低.不確定度是用來描述測量結果分散性的物理量，它通過被測量的標準差σ予以量化.不確定度定義了一個置信區間，測量真值以一定的置信概率落在該區間中.對于正態分布的隨機誤差，常用的置信區間為1σ（置信概率68%）、2σ（置信概率95%）、3σ（置信概率99%）.根據評定方式的不同，不確定度可以分為A 類和B類不確定度.A 類不確定度是通過對一組大量的測量值進行統計分析，計算得到的標準差；B類不確定度是通過查閱標定報告或數據手冊等資料中給出的被測量的標定值得到.無論是A 類不確定度還是B類不確定度，都可以通過合成得到復雜被測量的不確定度.

3.1 合成標準不確定度

假設目標被測量y 是通過一些輸入變量xi的測量而間接得到的，被測量y 和輸入變量xi之間滿足如下關系式：

若各輸入量xi（i＝1，2，…，n）無關，則y 的合成標準不確定度uc（y）可以由輸入變量的標準不確定度u（xi）通過下式合成得到：

式中：偏導數?f／?xi為靈敏度系數，表示u（xi）變化單位量時引起的合成不確定度的變化值.

當目標被測量y是一個多維向量時，

則y合成標準不確定度可以由下式計算得到：

式中：Dx和Dy為輸入變量x 和被測量y 的方差-協方差矩陣；K 為一個t行n 列的靈敏度系數矩陣，

3.2 轉站參數誤差的不確定度

由式（17）可知，轉站參數誤差是由公共觀測點配置矩陣和公共觀測點測量誤差耦合的線性函數.根據不確定度合成原理可知，轉站參數誤差的合成標準不確定度為

式中：D（e）為公共觀測點測量誤差矩陣e的方差-協方差矩陣，D（q）為轉站參數誤差q的方差-協方差矩陣.

3.3 轉站誤差估計

轉站誤差是由每一個公共觀測點的匹配誤差組成，第i個公共觀測點的匹配誤差表示為

式中：i為公共觀測點的編號，i＝1，2，…，N；j分別表示x、y、z方向的分量，j＝1，2，3.

根據式（28）可以得到每個公共觀測點匹配誤差分量之間的方差-協方差：

轉站誤差為各個公共觀測點匹配誤差不確定度的和的平均值：

4 蒙特卡洛仿真實驗

采用蒙特卡洛方法對激光跟蹤儀轉站過程進行模擬，對本文提出的轉站誤差傳遞模型和轉站參數誤差、轉站誤差的不確定度估計方法的合理性進行驗證.蒙特卡洛法是以數理統計的抽樣理論為基礎的計算機數值模擬方法.蒙特卡洛仿真的基本過程如下：首先構建激光跟蹤儀轉站過程中的誤差分布模型，然后針對該模型進行隨機取樣產生大量的樣本數據，最后用樣本的統計結果作為轉站結果的近似解.一般而言，蒙特卡洛模擬需要產生大量的樣本數據，樣本量越大，模擬結果越接近真值.

共設置13個激光跟蹤儀站位，它們分別對應不同平移參數和旋轉參數的組合，如表1所示.分別對每一個站位進行模擬轉站，檢驗不同的站位參數對于提出的不確定度估計方法的效果.

表1 激光跟蹤儀站位Tab.1 Location of laser tracker

在仿真過程中，選擇9個公共觀測點作為裝配坐標系的參考基準，它們的理論坐標列舉在表2中.

4.1 激光跟蹤儀測量誤差模型

為了實現激光跟蹤儀轉站的蒙特卡洛仿真，必須建立激光跟蹤儀的測量誤差模型.激光跟蹤儀是一個典型的球坐標測量系統，它的三坐標測量值是跟蹤儀傳感器變量θ＝［α ，β，d ］T的復合函數：

表2 公共觀測點理論坐標值Tab.2 Nominal coordinates of ERS points

式中：α和β 為激光跟蹤儀的水平角傳感器和垂直角傳感器的讀數，d 為測量點的激光干涉距離.

激光跟蹤儀工作時，無論是角度傳感器還是激光干涉儀都存在一定的誤差.當傳感器變量存在較小的測量誤差δθ 時，激光跟蹤儀的測量誤差［12］可以近似表示為

式中：J（θ）為雅各比矩陣，

根據Leica公司的激光跟蹤儀AT901-LR的技術參數可知，距離測量精度為±0.5×10-6，角度傳感器的測量精度為±（15×10-6m＋6×10-6）.

4.2 仿真實驗步驟

對每個激光跟蹤儀站位執行如下實驗步驟.

1）構建當前跟蹤儀站位下對應的轉站參數的理論旋轉矩陣和平移矩陣分別為R 和T，計算公共觀測點在跟蹤儀坐標系下的理論測量值.

2）模擬激光跟蹤儀轉站過程10 000次.

a）根據式（31）反向求解每個公共觀測點對應的激光跟蹤儀的傳感器變量θ，計算J（θ）.

b）使用隨機噪聲δθ模擬每個公共觀測點的激光跟蹤儀傳感器測量誤差，其中角度傳感器誤差δα和δβ服從均值為0、標準差為u（α）和u（β）的正態分布；距離誤差δd 服從均值為0、標準差為u（d）的正態分布.

c）根據式（32）計算每個公共觀測點的測量誤差Δx.

d）計算公共觀測點的實際測量值：

e）對帶有測量誤差的測量值x′和理論值y 進行匹配運算，用SVD 法求解轉站參數，并計算轉站誤差.

3）對10 000次轉站數據進行統計，計算轉站參數誤差的標準不確定度s和轉站誤差的平均值.

4）根據式（26）和（30），計算每一個站位的轉站參數誤差不確定度估計值和轉站誤差估計值.

5）對每個站位的估計結果和仿真結果進行比較，檢驗本文提出的轉站誤差估計和轉站參數誤差不確定度估計方法的準確性.

4.3 實驗結果

通過蒙特卡洛仿真實驗，分別對本文提出的轉站參數誤差不確定度估計方法和轉站誤差估計方法的合理性進行驗證.

圖2 轉站參數誤差不確定度估計的相對誤差Fig.2 Relative estimation errors of transformation parameter errors

如圖2所示為激光跟蹤儀在每個站位轉站過程中平移參數誤差和旋轉參數誤差的不確定度的相對估計誤差.可以看出，本文方法對平移參數誤差的平均估計誤差為0.53%，最大估計誤差為1.37%；對旋轉參數誤差的平均估計誤差為2.02%，最大估計誤差為4.38%.從結果來看，平移參數誤差的估計精度高于角度參數誤差的估計精度.

如圖3所示為每個站位的激光跟蹤儀轉站誤差的相對估計誤差.從圖3可知，本文方法對轉站誤差的估計是非常準確的，平均估計誤差為0.34%，最大估計誤差僅為0.71%.

圖3 轉站誤差估計的相對誤差Fig.3 Relative estimation error of registration error

5 結 語

針對激光跟蹤儀的轉站測量原理，本文建立一種描述轉站參數誤差和轉站誤差的數學模型.該模型揭示了公共觀測點布局和激光跟蹤儀測量誤差對轉站精度的影響.基于該模型，提出一種轉站參數誤差不確定度的評價方法和轉站誤差的估計方法.通過蒙特卡洛仿真實驗對本文方法進行驗證.實驗結果證明，本文方法對平移參數誤差的最大估計誤差為1.37%，對旋轉參數的最大估計誤差為4.38%，對轉站誤差的最大估計誤差為0.71%.

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