高中數學教學中數形結合方法的原則和策略

◆王麗杰

(吉林省四平市梨樹實驗中學)

一、研究意義

按照新課標的要求，數學教學應該“讓學生了解概念、結論等產生的背景、應用，體會其中所蘊涵的數學思想方法，以及它們在后續學習中的作用”。在高中數學課堂上合理地應用數形結合方法，可以使學生充分地了解知識的本質，有助于學生把學到的知識聯系融會貫通。通過學生在學習過程中的感受、體驗和思考，來加強學生的思維能力，提高學生的解題能力。通過高中課堂中數形結合方法的廣泛應用，有利于培養學生的創新意識和創造能力。

二、相關理論概述

1.數形結合

數學的兩大重要研究對象是現實世界的數量關系和空間形式。數和形不可分割，數量關系往往抽象難懂，但再難理解的抽象關系也有其直觀的幾何意義，而直觀的圖形的本質也可以用數量關系的語言準確的描述。在數學中，研究數量關系的研究，需要借助于直觀圖形;研究圖形的性質，需要借助數量關系為理論基礎。

數形結合是高中數學學習上最重要的解決問題的方法，數形結合根據數學問題的條件和結論之間的關系，解析出問題的代數含義的同時，又揭示了直觀層面上的集合幾何含義。數形結合方法在解題中作用非凡，它能給我們一個全新的思路去解決問題，如果在數的層面無法突破問題，就可以轉到直觀圖形上來思考，反之依然，這樣就能從全新的角度來培養學生思維的靈活性，簡化解題過程的能力。

2.中學生數形結合思想的形成過程

按照中學生對新事物的認知規律，數形結合思想的形成過程分為四個階段，即感受、理解、運用、內化。感受是指對某一事實發生的感覺，以數學課堂為載體，以教師的指導為側重點，意識主要集中在解決問題的思路上，主要是記憶方法。理解是初步的建立了數形結合思想，是建立在感受基礎上的一個層面。運用是指在實際的解題過程中運用數形結合方法，形成自己的觀點，并且充分地認識到數形結合方法的實用特點和在什么問題上可以使用這一方法。內化是指將數形結合方法在自己的思想意識里轉變成為一種成熟的數學思想，成為在腦中的一個獨一無二的特有思想。

三、數形結合方法在教學中應用的原則

1.等價性

等價性原則是指形的直觀幾何意義應該與“數”的抽象代數意義是可以相互轉化的等價量，即問題的幾何表示與代數數量關系應具有一致性。用圖形解題有著重大的局限，不同的人對題目的理解不盡相同，所以所構造的圖形就會受到自己理解的影響而出現和實際問題之間的誤差。因此不可避免的會出現解題失誤。如果加以代數思想來精確的構造圖形，就可以避免這種情況的出現。

2.雙向性

雙向性原則是指數形集合的方法既對問題的代數性質做研究，又對直觀幾何圖形進行分析，代數運算可以讓數在圖的基礎上形成有信服度的結果，且這個結果比單純幾何構圖更具有優越性，相反，幾何圖形的表示形式更直觀，這就充分地體現了數形集合方法的和諧之處。

3.簡潔性

簡潔性原則是指數轉換為圖形的同時，一定要使所構造的圖形簡單且充分符合題意，這樣既能通過簡單明了的圖形直觀地分析出問題主旨，又因為所構圖形的簡單，可以充分避免繁瑣的運算過程，大大縮短解題時間，同時也可使復雜的問題變的簡單化。符合數學解題簡潔美的根本要求，也體現了數學解決實際問題的藝術性與創新性。

四、數形結合方法在教學中應用的策略

1.針對等價性的策略

教師在課堂講授時一定要著重強調數形結合方法中“數”與“形”的轉換是必須等價的。要知道學生在遇到問題的時候，先考慮這個問題是用代數方法簡單還是用幾何方法簡單，然后才可以開始數與形的等價轉換過程。例如，畫在平面直角坐標系下一個圖象，圖象上的每一個點，都對應著相應的一個函數的任意一個結果，即函數圖象的表示與數量關系要一致。而由圖象確定數量關系的問題中，要找到函數圖象中的一些具有代表性的點，將它們通過等價轉換，然后列出等價的函數關系式，從而快速解出問題。

2.針對雙向性的策略

教師可以在課堂講解中以同一個題目為例，從兩個不同的層面分別展示數與形的解題方法，然后再闡述這兩種方法的等價性。這樣學生也會逐漸培養用數形結合解題的習慣。教師在帶領學生研究時應對代數的抽象特點與幾何圖形直觀特點分別進行學習，讓學生明白它們在解題時的優缺點。若所做的題計算比較簡便，畫圖比較麻煩時，我們就擇優選取代數計算的方法，可以縮短做題時間，而且也可以得出更準確的結果。反之依然。活用數形結合方法，可以達到優勢互補。但是熟練掌握并非一朝一夕，這需要一個長期積累的過程。

3.針對簡潔性的策略

在解決數學問題時，我們一定要力求解決問題的簡潔明快，考試中有著多種題型，所以針對題型的不同，所用的方法也就大為不同。做填空選擇題時，我們完全沒有必要畫出準確的圖像，如有需要，畫一個簡單圖像大致表示出代數關系就可以了。做解答題時就要精確的畫出圖形，并且要明確畫圖的步驟，這樣可以為作圖縮短時間，也可以保證所畫圖形的準確性。教師在上課時也要構造簡潔明了的圖形，讓學生養成良好的解題習慣。

五、結語

通過數形結合方法引導學生思維方式的由靜態到動態的變化，就是以運動、變化的觀點考慮問題。通過本文的講述我們知道數形結合方法，可以增強解決問題的靈活性。在課堂教學中應用數形結合方法，可以提高學生分析問題、解決問題的能力，成為今后解決問題能力形成的關鍵要素。所以，數形結合方法在高中數學教學中有著重要的地位。它是數學思想方法的核心。

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［3］王元，陳德泉，計雷等.華羅庚科普著作選集［M］.上海:上海教育出版社，1984.

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