借助函數(shù)形態(tài)作圖之淺見

張美花

（廈門華天涉外職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部）

一、函數(shù)現(xiàn)代概念

若對(duì)集合M 的任意元素x，總有集合N 確定的元素y 與之對(duì)應(yīng)，則稱在集合M 上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f（x）。元素x 稱為自變量，元素y 稱為因變量。

二、函數(shù)的形態(tài)

1.單調(diào)性

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間I 包含于D。如果對(duì)于區(qū)間上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有f（x1＜x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I 上是單調(diào)遞增的；如果對(duì)于區(qū)間I 上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有f（x1＞x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I 上是單調(diào)遞減的。單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。

2.奇偶性

設(shè)f（x）為一個(gè)實(shí)變量實(shí)值函數(shù)，若下列的方程對(duì)所有實(shí)數(shù)x都成立：f（x）=-f（-x）則f（x）為奇函數(shù)。幾何上，一個(gè)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

設(shè)f（x）為一實(shí)變量實(shí)值函數(shù)，則f（x）為偶函數(shù)，若下列的方程對(duì)所有實(shí)數(shù)x 都成立：f（x）=f（-x）。幾何上，一個(gè)偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱。

3.周期性

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈。如果存在一個(gè)正數(shù)T，使得對(duì)于任意x∈D 有（x±T）∈D，且f（x+T）=f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數(shù)，T 稱為f（x）的周期，通常我們說周期函數(shù)的周期是指最小正周期。周期函數(shù)的定義域D 為至少一邊的無界區(qū)間，若D 為有界的，則該函數(shù)不具周期性。并非每個(gè)周期函數(shù)都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)。

4.有界性

設(shè)I 為函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)的某一區(qū)間，若存在正數(shù)M，使得對(duì)一切x∈I，都有≤M，則稱f（x）為區(qū)間I 上有界，否則稱f（x）為區(qū)間I 上無界。

5.連續(xù)性

在數(shù)學(xué)中，連續(xù)是函數(shù)的一種屬性。直觀圖象上說，連續(xù)的函數(shù)是連綿不斷的一條線，也就是一筆可以畫完無需間斷的曲線。

函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)可定義：如果函數(shù)y=f（x）在x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且，則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)。不用極限的概念，也可以這樣表達(dá)：對(duì)任意給定的ε＞0，總存在δ＞0，當(dāng)＜δ 時(shí)有

6.凹凸性

設(shè)函數(shù)f（x）在I 上連續(xù)。如果對(duì)于I 上的兩點(diǎn)x1≠x2，恒有那么稱f（x）是區(qū)間I上的（嚴(yán)格）凸函數(shù)；如果恒有那么稱f（x）是區(qū)間I 上的（嚴(yán)格）凹函數(shù)。

三、函數(shù)的基本作圖方法

討論了函數(shù)的各種形態(tài)，綜合討論就可以做出函數(shù)圖象的一般步驟如下：

（1）確定函數(shù)的定義域，找出間斷點(diǎn)。

（2）求出曲線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。

（3）確定曲線關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱性。

（4）令一階導(dǎo)數(shù)等于0，求出函數(shù)的駐點(diǎn)，并算出各駐點(diǎn)的函數(shù)值。判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并求出極值。

（5）確定函數(shù)的凹向區(qū)間和拐點(diǎn)。

（6）求出曲線的漸近線。

（7）列出x、f′（x）、f ′′（x）、f（x）的關(guān)系圖。

（8）根據(jù)關(guān)系圖和函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，描繪函數(shù)大致圖象。

四、實(shí)例解析

解：（1）定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）。

（2）函數(shù)不具有奇偶性，因此曲線無對(duì)稱性。有助于合理的語言輸出，這是語言學(xué)習(xí)的普遍規(guī)律。先通過聽力部分引起學(xué)生對(duì)情景的了解，再通過對(duì)話，讓學(xué)生進(jìn)行口語練習(xí)，語言和情景相交融，最大限度地還原語言活動(dòng)的真實(shí)場景。

此外，Songs in each unit部分，每一個(gè)單元的歌曲都對(duì)應(yīng)該單元的內(nèi)容主題。小學(xué)生在聽歌的過程中非常容易記住所學(xué)知識(shí)，因?yàn)樾W(xué)生愛說、愛唱，這些歌曲富有節(jié)奏感，朗朗上口，他們的學(xué)習(xí)熱情很快就能被調(diào)動(dòng)起來，而且這也是寓樂于學(xué)，勞逸結(jié)合的方式，學(xué)生既可以快樂地學(xué)習(xí)，又可以在歌曲中得到放松。

在Read and Write和Story Time部分涉及一些中外文化對(duì)比和有關(guān)國外文化特色和風(fēng)俗習(xí)慣類的知識(shí)，如第二單元Story Time部分涉及中外飲食和交通規(guī)則的不同。這樣既能開闊學(xué)生的眼界，增長知識(shí)，又能激發(fā)他們學(xué)習(xí)英語的興趣和對(duì)外國文化的探索欲望，有助于對(duì)中外文化形成正確、全面的認(rèn)識(shí)，增加人文情懷。

小學(xué)英語教材對(duì)小學(xué)生英語學(xué)習(xí)具有深遠(yuǎn)的影響，因此，必須在認(rèn)真研究小學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的基礎(chǔ)上，結(jié)合英語教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行編寫。由于英語是一門外語，我國小學(xué)生在學(xué)習(xí)英語時(shí)缺乏必要的語言環(huán)境，使英語學(xué)習(xí)嚴(yán)重依賴于課堂教學(xué)和教科書的使用。因此，英語教材應(yīng)該提供大量的語音資料，這樣能盡量為學(xué)生還原英語的實(shí)際應(yīng)用情境，也符合語言學(xué)習(xí)“先聽后說”的認(rèn)知規(guī)律。

從語言學(xué)習(xí)的角度看，教材應(yīng)該為學(xué)生提供各種各樣的活動(dòng)和任務(wù)，使學(xué)生能夠使有現(xiàn)有的知識(shí)（包括語言水平，與年齡有關(guān)的心理特征，認(rèn)知能力和先前的學(xué)習(xí)經(jīng)歷）進(jìn)行語言學(xué)習(xí)和溝通交流。這些活動(dòng)有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。只有學(xué)生感興趣，他們才愿意投入時(shí)間和精力學(xué)習(xí)。激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是使他們變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。同時(shí)具有極強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的學(xué)生能夠激活英語學(xué)習(xí)潛能，使學(xué)生取得優(yōu)秀的成績，這樣學(xué)生將對(duì)英語學(xué)習(xí)充滿信心。