基于不可分離變量的非期望SBM效率評價方法

郭 文，孫 濤，朱建軍

（1．南京航空航天大學經濟與管理學院，江蘇南京211106；2．滑鐵盧大學工程學院，安大略滑鐵盧N2L3G1）

基于不可分離變量的非期望SBM效率評價方法

郭 文1，2，孫 濤1，朱建軍1

（1．南京航空航天大學經濟與管理學院，江蘇南京211106；2．滑鐵盧大學工程學院，安大略滑鐵盧N2L3G1）

基于松弛變量度量法（slacks－based measure，SBM）評價模型，首先區分投入、期望產出和非期望產出為可分離變量和不可分離變量，構建了復雜生產系統基于不可分離變量的非期望SBM效率評價模型，該模型更加符合生產系統的實際生產過程；其次基于非期望產出總量規制目標，進一步構建了非期望產出規制視角下的不可分離變量非期望SBM模型，該模型能直接計量非期望產出規制對系統整體效率的影響程度。最后，以0．5為步長，運用實例檢驗了非期望產出規制影響生產系統整體效率的靈敏度。

不可分離變量；非期望產出規制；非期望松弛變量度量法；總量規制目標

0 引 言

數據包絡分析（data envelopment analysis，DEA）方法在擁有相同結構決策單元的復雜生產系統效率評價中具有巨大的優勢［1］，但該方法無法獲得投入、產出松弛與效率之間關系。文獻［2］提出的松弛變量度量法（slacks－based measure，SBM）模型是一種改進的DEA方法，該模型將決策單元的投入、產出松弛直接反映在評價值的計算中，很好地解決了上述問題。然而，一些復雜生產系統的生產過程不僅產生期望產出，也產生非期望產出，并且非期望產出與期望產出具有“零聯合性”，在此基礎上，很多學者構建了多種非期望產出SBM模型，并將其應用于復雜生產系統效率評價的研究中［3－6］。文獻［3－4］在商業銀行效率評價的實證研究中應用了非期望產出SBM模型，結果表明不考慮非期望產出（不良貸款）的效率評價模型明顯高估了決策單元的效率；文獻［5－6］則采用非期望SBM（un－desirable SBM，USBM）模型分析了經濟生產系統的環境效率，認為經濟生產系統的環境外部性嚴重影響了經濟發展的可持續性，SO2、CO2等污染物應考慮在效率分析模型中，從而與經濟生產系統的實際情況更加契合。隨著基于非期望產出的效率評價研究的深入，非期望產出的減少和規制也成為該領域研究的重要分支：文獻［7－8］研究了經濟生產系統的環境效率，并分析了環境規制成本問題；文獻［9－10］也從理論上闡述了減少和規制非期望產出的意義，并且非期望產出的總量控制對決策單元的效率具有顯著影響［7－10］。

雖然USBM模型將生產系統的非期望產出引入到模型中，很好地解決了生產系統的外部負效應問題，然而，大多數USBM模型仍然存在兩方面的局限。首先，傳統的USBM模型忽視了投入、期望產出和非期望產出的不可分離特性［11］。文獻［11］的研究表明，考慮投入、產出間不可分離性的SBM模型更準確地反映了生產系統的實際生產過程，評價結果更符合實際情況；然而，該文獻提出的模型中假設不可分離投入、產出同比例變化，筆者認為非期望產出的減少往往需要外部的強制規制，即不可分離非期望產出的變化比例與之不同。其次，文獻［9－10］的實證提出了對生產系統非期望產出的規制設想，然而這些研究都屬于理論研究，缺乏計量模型中的體現。鑒于此，本文基于USBM模型的建模思路，首先考慮投入、期望產出和非期望產出間的不可分離性，構建了基于不可分離變量的非期望產出SBM模型，然后在非期望產出總量規制的思路下進一步構建了基于非期望產出規制目標下的不可分離變量非期望產出SBM模型，并在應用研究中分析了規制目標的靈敏度。

1 傳統USBM模型

文獻［6］在文獻［2］提出的SBM模型的基礎上，考慮工業生產系統能源在使用過程中產生的CO2、SO2等污染物，將這些污染物定義為非期望產出，從而引出傳統USBM模型。考慮一個包含m個決策單元DMUj（j＝1，2，…，m）的生產系統。生產過程包含r個投入、s個期望產出和t個非期望產出，那么，可用xj來表示決策單元j的資源投入向量，yj表示決策單元j的產出向量，zj表示決策單元j的非期望產出向量。則生產系統生產可能集P（x）可以表示為

式中，λj∈R＋是一個正數列向量，本文用sx∈Rr、sy∈Rs和sz∈Rt來表示系統的投入松弛、期望產出和非期望產出松弛矩陣，那么USBM模型如下：

上述USBM模型基于生產系統規模報酬可變的經濟假設，文獻［12－13］的研究表明，基于規模報酬不變的經濟假設下只需將模型中的約束條件剔除即可。上述模型的求解可以借鑒文獻［14］的轉化方法，本文不再贅述。

2 基于不可分離變量的USBM

前文已經提及傳統USBM模型忽視了生產系統投入產出變量間的不可分離性，本文參考文獻［11］對于可分離變量和不可分離變量的定義，先假設不可分離變量呈等比例變化，并將其引入USBM模型中。為了區分可分離變量和不可分離變量，本文以上標“S”表示可分離變量，上標“NS”表示不可分離變量，則生產可能集可以進一步表示為

根據上述分析，本文建立基于不可分離變量的USBM（non－separable USBM，N－USBM），如模型式（4）所示，并采用N－USBM模型來評價考慮不可分離變量的決策單元SBM效率：

模型式（4）同時將可分離變量和不可分離變量的松弛變量引入到目標函數中，各決策單元的效率評價值由決策單元所有投入的混合效率以及所有產出的混合效率構成，其中

表示決策單元DMUo所有投入混合效率。

表示決策單元DMUo所有產出混合效率。

上述模型假設不可分離變量中不可分離投入、不可分離期望產出和不可分離非期望產出等比例變化。然而，非期望產出的減少往往需要額外的成本，即非期望產出的變化比例與期望產出不同，基于該假設，模型式（4）可以改進為

為了區分模型式（4）和模型式（5），本文將前者稱為N－USBM（I）模型，后者稱為N－USBM（Ⅱ）模型。

定理1 生產系統中的決策單元DMUo，利用上述N－USBM（Ⅱ）模型評價得到的效率

再假設

由于ρo＊是決策單元對應的N－USBM（Ⅱ）模型最優解，可得又因為是決策單元的最優解，則

證畢

定理1表明，N－USBM模型對于決策單元效率值的評價結果具有單調性，即：在所有決策單元中，投入少、期望產出高、非期望產出少的決策單元對應的效率評價值相對更高。

3 非期望產出規制視角下的N－USBM

傳統的DEA方法主要關注生產投入、產出的改進，自USBM模型被提出之后，非期望產出的減少也成為決策單元效率改進的一個重要方面。然而，正如文獻［7］的研究結論，由于區域經濟生產系統間的緊密聯系，以及環境污染物的特殊形態，諸如SO2、CO2等非期望產出在單個區域內的規制和控制非常困難，而對整個生產系統的非期望產出的規制更加符合實際，也容易實現。因此，本文借鑒模型式（5）的建模思路，基于非期望產出總量規制目標構建如下約束條件：

基于以上分析，本文將式（11）引入到N－USBM（Ⅱ）模型中，構建了基于非期望產出規制的N－USBM模型（regulated N－USBM，RN－USBM）

該可行解對應的目標函數值為

由于N－USBM模型的最優解為ρ＊o，則可知ρ＊o≤ρo，而

證畢

定理2表明，RN－USBM模型評價得到的決策單元的整體效率值不小于N－USBM（Ⅱ）模型評價得到的單個決策單元的效率均值，即非期望產出規制目標提高了各決策單元的效率均值，提高了生產系統的整體效率。

4 應用研究

為了檢驗本文模型在復雜生產系統效率評價中的優勢，本文采用文獻［15］中的生產系統實際數據進行應用研究，構建了一個包含12個決策單元、2個投入、2個期望產出和1個非期望產出的生產系統，其中投入2、期望產出2和非期望產出為不可分離變量，其余為可分離變量，具體如表1所示（部分數據來源于文獻［15］）。

采用模型式（2）、模型式（5）和模型式（12）評價上述生產系統各決策單元的生產效率，為了對比RN－USBM模型與前兩個模型的差異，本文選擇非期望產出規制總量目標（Q）取106．5，即要求非期望產出總量減少76．5。3個模型的評價結果如表2所示。

表1 生產系統投入產出數據

表2 非期望產出規制、不可分離變量USBM模型評價結果

對比USBM模型和N－USBM（Ⅱ）模型的決策單元效率評價結果可知，USBM模型高估了決策單元的效率，主要原因在于USBM模型忽視了投入產出變量的不可分離特性，即投入2、產出2和非期望產出松弛量的變動是關聯的。對比N－USBM（Ⅱ）模型和RN－USBM模型的決策單元效率評價結果發現，當Q＝106．5時，決策單元的效率值以及生產系統整體效率值均增大，表明非期望產出規制有助于生產系統效率的提升。另外，3種模型評價結果的差異也造成了決策單元效率排名的變化。

為了進一步分析決策單元無效率的主要原因，本文測算了USBM模型和N－USBM（Ⅱ）模型中的投入產出松弛量，測算結果如表3所示。

表3 USBM模型、N－USBM（Ⅱ）模型投入產出松弛量

以決策單元C為例，無效率的主要原因是產出2小于前沿面25．162 5，而非期望產出高于前沿面5．977 6。表3的結果還表明，N－USBM（Ⅱ）模型改變了決策單元的效率優化路徑，以決策單元C為例，其USBM模型評價的投入產出松弛矩陣為［12．300 0，44．400 0，0．0000，9．900 0，6．000 0］T，而其N－USBM（Ⅱ）模型評價的投入產出松弛矩陣為［12．300 0，0．0000，0．0000，25．162 5，5．977 6］T，原因在于N－USBM（Ⅱ）模型中投入2、產出2和非期望產出是不可分離的，投入2與產出2的變化比例為0．907 5，非期望產出的變化比例為0．998 5（見表2），其松弛量的變動也是關聯的。

圖1 非期望產出規制靈敏度分析

為了進一步分析非期望產出規制總量目標影響生產系統整體效率的靈敏度，本文設置步長為0．5，Q從總量183開始遞減，發現當Q＝108時，生產系統整體效率開始上升。限于篇幅，本文圖1僅以非期望產出規制總量目標Q＝108前后15個步長的生產系統整體效率變動情況來反映其靈敏度。

由圖1可以發現，Q的取值與生產系統整體效率呈負向關系，隨著Q的取值減小，系統效率值緩慢提升，這表明非期望產出規制能夠改善系統整體效率。然而，當Q≥108．5時，系統整體效率值不變，說明非期望產出規制具有門檻值，高于門檻值的非期望產出規制總量目標不能發揮改善系統整體效率的作用。通過進一步細化步長取值，本文得到案例中的非期望產出規制總量目標門檻值為108．287，即Q≤108．287時，生產系統整體效率開始升高。顯然，圖1的結果驗證了定理2的結論，即適當的非期望產出規制總量目標能夠提高生產系統的整體效率。

5 結 論

針對實踐中存在不可分離投入產出的復雜生產系統的生產效率評價問題，本文首先提出了基于不可分離投入產出變量的USBM效率評價模型，該模型改進了傳統USBM模型忽視生產系統投入、期望產出和非期望產出變量的不可分離特性的缺陷，更加契合此類生產系統的實際生產過程。但在實際應用中，需要根據復雜生產系統不可分離投入產出變量的特性來選擇N－USBM（I）模型或N－USBM（Ⅱ）模型。其次，從非期望產出規制的研究視角進一步將上述模型拓展為非期望產出規制視角下的N－USBM模型，該模型將非期望產出規制總量目標引入模型的約束中，能夠直接計量非期望產出規制對系統整體效率的影響程度（靈敏度），并且可通過細化步長的方式探尋非期望產出規制總量目標的門檻值。本文的研究對于存在不可分離投入產出的復雜生產系統效率評價具有顯著優勢，也為復雜生產系統非期望產出規制總量目標的設定政策提供了一種定量分析手段，但決策單元非期望產出規制具體目標對系統整體效率、決策單元效率的影響尚待進一步討論。

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E－mail：guowen＿870608＠163．com

孫 濤（1959－），男，教授，博士，主要研究方向為管理科學與工程。E－mail：nuaastao＠163．com

朱建軍（1976－），男，教授，博士，主要研究方向為系統工程理論與方法。

E－mail：zhujianjun＠nuaa．edu．cn

Undesirable SBM system efficiency evaluation methods based on non－separable variables

GUO Wen1，2，SUN Tao1，ZHU Jian－jun1
（1．College of Economic and Management，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 211106，China；2．College of Engineering，University of Waterloo，Waterloo N2L3G1，Canada）

On the basis of slacks－based measure（SBM）model，firstly，divide the inputs，desirable outputs and undesirable outputs into separable and non－separable variables，build the undesirable SBM efficiency evaluation model based on non－separable variables to the complex production system．This model is more suitable to the actual production process of the production system．Then，on the basis of total regulation target of undesirable outputs，build the non－separable variables undesirable SBM model according to the perspective of regulation of undesirable outputs，this model measures the impact of regulation of undesirable outputs on the efficiency of the whole system．Finally，take 0．5as the step length，use an example to test the sensitivity of its impact．

non－separable variables；regulation of undesirable outputs；undesirable slacks－based measure（SBM）；total regulation target

O 224

A

10．3969／j．issn．1001－506X．2015．06．17

郭 文（1987－），男，博士研究生，主要研究方向為系統工程和系統效率。

1001－506X（2015）06－1331－07

2014－06－03；

2014－10－31；網絡優先出版日期：2014－12－09。

網絡優先出版地址：http：／／www．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141209．0118．004．html

國家自然科學基金（71171112）；教育部人文社科基金（11YJA790133）；江蘇省研究生培養創新工程（KYZZ＿0107）；國家留學基金委2014年國家建設高水平大學公派研究生項目資助課題