基于連續(xù)差聯(lián)合陣列的非等距線陣無模糊波束形成方法

黃 巖廖桂生 李 軍 李 婕

（西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071）

基于連續(xù)差聯(lián)合陣列的非等距線陣無模糊波束形成方法

黃 巖*廖桂生 李 軍 李 婕

（西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071）

該文針對非等距線陣波束形成產(chǎn)生柵瓣的問題，提出一種基于連續(xù)差聯(lián)合陣列的非等距線陣無模糊波束形成方法。該方法基于連續(xù)差聯(lián)合陣列對非等距線陣進行陣形優(yōu)化分析，利用連續(xù)差聯(lián)合陣列與連續(xù)波程差一一對應的特性，擴展得到非等距線陣Toeplitz化的協(xié)方差矩陣。根據(jù)線性約束最小方差（LCMV）準則，可以直接利用該協(xié)方差矩陣得到穩(wěn)健自適應波束形成。由于重構(gòu)的協(xié)方差矩陣與相同孔徑等距線陣的協(xié)方差矩陣相似，不會產(chǎn)生相位模糊，避免了波束形成柵瓣的影響。大量的仿真實驗證明了該文方法的穩(wěn)健性能。

信號處理；差聯(lián)合陣列；非等距線陣；無模糊波束形成

1 引言

波束形成方法一直是陣列信號處理研究的熱點問題，對期望目標方向功率增強的同時自適應抑制干擾方向的波束一直是雷達的目標和期望。陣列信號波束形成分為發(fā)射波束形成和接收波束形成，發(fā)射波束形成通過數(shù)字信號加權(quán)來形成波束指向并確認目標的方位范圍［1-3］，而接收波束形成則在接收端形成虛擬波束，可以積累多次快拍并利用超分辨方法捕獲目標的精確方位［4-8］。

對于等距線陣來說，如果陣元間距小于半波長，則協(xié)方差矩陣中產(chǎn)生的波程差變化范圍就不會超出2π，即不會產(chǎn)生2π相位模糊。而N個陣元的等距線陣可用的空間自由度為 N-1，即最多可以抑制的干擾數(shù)為 N-1。在陣元數(shù)固定的情況下，實際情況中，為了節(jié)約天線成本，現(xiàn)在逐漸考慮利用稀疏布陣的非等距線陣來擴展陣列孔徑，提高可用自由度。然而，由于陣列稀疏布陣，陣元間距可能會大于半波長，這時形成協(xié)方差矩陣中產(chǎn)生的波程差變化范圍會超出2π，產(chǎn)生2π相位模糊，由此會帶來嚴重的柵瓣現(xiàn)象，導致目標方向能量無法聚集和柵瓣干擾能量較強等問題的出現(xiàn)。同時接收的信號有效快拍數(shù)較少，快拍數(shù)也極大地限制了接收波束形成的效果。原有的文獻提出一些非等距線陣的陣形設(shè)計來避免相位模糊，文獻［9］提出一種聯(lián)合陣列的思想，其中差聯(lián)合陣列（difference coarray）表示所有陣元相對位置之差所構(gòu)成的集合；文獻［10］在差聯(lián)合陣列的基礎(chǔ)上提出一種二級嵌套陣列，可以滿足差聯(lián)合陣列是連續(xù)的；而最小冗余陣列（MinimumRedundancy Array， MRA）的提出實際上是利用最少的陣元數(shù)得到一定長度的連續(xù)差聯(lián)合陣列［11，12］。針對基于連續(xù)差聯(lián)合陣列的非等距線陣，很多學者提出一些波束形成方法：文獻［13］提出利用插值方法彌補缺少的陣元位置將非等距線陣轉(zhuǎn)化成等距線陣，可以利用得到的等距線陣作波束形成，但是該插值方法采用最小二乘擬合時對欠定方程求解會產(chǎn)生誤差；文獻［10］提出一種基于Khatri-Rao（KR）子空間［14］的空間平滑方法，將非等距線陣的協(xié)方差矩陣向量化后，利用空間平滑方法重構(gòu)信號的協(xié)方差矩陣，然而該方法只能利用非等距線陣陣元的部分信息。

為了解決上述問題，本文對非等距線陣的陣形進行優(yōu)化設(shè)計并提出適用于非等距線陣的無模糊接收波束形成方法，該方法在低快拍下也有較好的波束形成效果。實際上，差聯(lián)合陣列中的各個元素一一對應于協(xié)方差矩陣中能夠得到的所有波程差?？紤]若非等距線陣的差聯(lián)合陣列是連續(xù)的，則可得到連續(xù)的波程差，就相當于得到了同等孔徑等距線陣的波程差。理想情況下協(xié)方差矩陣具有Toeplitz的性質(zhì)，利用得到的連續(xù)波程差可以得到擴展的非等距線陣協(xié)方差矩陣。根據(jù)線性約束最小方差（LCMV）準則，可以直接利用該協(xié)方差矩陣作最小方差無畸變響應（MVDR）自適應接收波束形成器。在實際陣列信號處理時，一般可以得到的有效快拍數(shù)較少，由于本文方法擴展的協(xié)方差矩陣具有 Toeplitz結(jié)構(gòu)，故在低快拍下也能有較好的性能，大量的仿真實驗驗證了本文方法在低快拍條件下的有效性和穩(wěn)健性。

2 信號模型

假設(shè)N個陣元的非等距線陣作為接收陣列，定義第1個陣元為參考陣元，則所有陣元的相對位置為如圖1所示。假設(shè)有K個遠場窄帶信號分別從入射到該接收陣列。若信號的波長為λ，則第 k個信號對應的接收信號導向矢量為則接收信號導向矢量矩陣可以表示為

圖1 非等距線陣示意圖

假設(shè)第k個目標的反射系數(shù)為 βk，在1個脈沖重復周期（PRT）內(nèi)，接收陣列得到的回波信號為

3 非等距線陣無模糊波束形成方法

首先介紹差聯(lián)合陣列的概念并分析本文無模糊波束形成方法的基礎(chǔ)。定義如下集合：其中Ar表示接收陣元的位置集合，集合D表示接收陣列中所有陣元位置之差構(gòu)成的集合。由于集合 D中會有很多相同的位置差，定義集合D中所有不相同的元素構(gòu)成的集合為Du，該集合即為差聯(lián)合陣列（difference coarray）［9］。集合Du中的du元素在集合D中出現(xiàn)的次數(shù)定義為權(quán)重系數(shù)wd（du）。

差聯(lián)合陣列表示了該陣列所有陣元位置差值的集合，實際上差聯(lián)合陣列一一對應于該陣列可以得到的所有波程差。對于一個M陣元的等距線陣，假設(shè)其陣元間距為 d = λ/2，由式（5）可得，其協(xié)方差矩陣可以近似表示為

由此可見，波程差和差聯(lián)合陣列是一一對應關(guān)系。若非等距線陣陣元間的相對位置能得到如式（8）所示的連續(xù)差聯(lián)合陣列，則該非等距線陣的協(xié)方差矩陣中的元素就可以恢復得到表示2M - 1個不同波程差的元素，從而擴展非等距線陣的協(xié)方差矩陣。所以，非等距線陣的差聯(lián)合陣列必須是連續(xù)的，該條件是本文無模糊波束形成方法的基礎(chǔ)。實際上，該基礎(chǔ)也是設(shè)計最小冗余陣列的約束條件。最小冗余陣列的設(shè)計原理是利用最少的陣元得到給定長度的連續(xù)差聯(lián)合陣列，即求解以下優(yōu)化問題：其中，L表示給定連續(xù)差聯(lián)合陣列的最大值，最小冗余陣為式（9）條件下的最優(yōu)非等距線陣。舉個例子，假設(shè)非等距線陣陣元間的最小間距為 d = λ/2，其余陣元間距均為最小間距的整數(shù)倍。5個陣元的最小冗余陣相對陣元位置分別為｛0d，2d，5d， 8d，9d｝，根據(jù)式（8），其差聯(lián)合陣列為｛-9d，-8d ，…， 0d ，…，8d，9d｝，差聯(lián)合陣列的權(quán)重系數(shù)如圖2所示。

根據(jù)上述分析，本文提出一種基于連續(xù)差聯(lián)合陣列的無模糊波束形成方法，其具體步驟如下：若M=xN+1，非等距線陣陣元間的相對位置能得到如式（8）所示的連續(xù)差聯(lián)合陣列，則非等距線陣協(xié)方差矩陣中的元素實際上對應于式（7）中等距線陣協(xié)方差矩陣的相關(guān)元素，則可得：

對于 5個陣元的最小冗余陣，根據(jù)式（10）可得其未擴展的協(xié)方差矩陣 RYY為

圖2 5個陣元最小冗余陣的差聯(lián)合陣列示意圖

由于M=xN+1，則非等距線陣與等距線陣的孔徑相同（例如，5個陣元的最小冗余陣最后一個陣元的位置為x5=9d，則M=10）；同時式（10）中得到了該孔徑下所有波程差對應的元素，那么式（10）的協(xié)方差矩陣可以擴展為一個像 RULA一樣的M × M維協(xié)方差矩陣：

因為非等距線陣的差聯(lián)合陣列是連續(xù)的，即能得到式（7）中全部2M - 1個波程差，則在R︿YY中每個對角線至少有1個非零元素存在，而對角線上非零元素的個數(shù)等于上文定義的權(quán)重系數(shù) wd（du）。故YY可以被填滿成一個如下Toeplitz矩陣：

其中，由于快拍數(shù)和信噪比的影響，式（11）中協(xié)方差矩陣同一波程差對角線上的非零元素不是全都相等的；Ri（du）表示對應于波程差 R（du）對角線上的第i個非零元素，這些非零元素就是擴展未填充協(xié)方差矩陣YY中的非零元素。由于故是一個正定Toeplitz矩陣。同時是一個滿秩協(xié)方差矩陣，根據(jù)線性約束最小方差（LCMV）準則，故可以利用該協(xié)方差矩陣進行有效的約束作穩(wěn)健 MVDR波束形成器。假設(shè)目標方向為 θ0，則MVDR波束形成器可以用下面的優(yōu)化問題表示：

則式（14）中MVDR最優(yōu)權(quán)向量［15］可以表示為

根據(jù)以上分析，就可以根據(jù)滿秩協(xié)方差矩陣得到無模糊的MVDR波束形成。以上本文提出的波束形成方法與文獻［7］中的基于KR子空間的空間平滑方法應用基礎(chǔ)是相同的，但是對樣本的利用上有以下不同：文獻［7］中的空間平滑方法是將協(xié)方差矩陣向量化，得到差聯(lián)合陣列的導向矢量再作空間平滑重構(gòu)信號協(xié)方差矩陣，該方法實質(zhì)上只利用了式（11）協(xié)方差矩陣對角線上的一個非零元素（即差聯(lián)合陣列每個位置的一個元素），這樣會損失一部分樣本信息，樣本冗余越多則誤差越大；而本文提出的方法可以充分利用波程差對角線上的所有元素（如式（11），式（12）所示），即利用非等距線陣所能提供的全部樣本信息，并且由于是一個正定Toeplitz矩陣，則波束形成在低樣本采樣數(shù)下仍然能得到較好的效果。

實際上，對具有連續(xù)差聯(lián)合陣列的非等距線陣，若不進行Toeplitz預處理，則可利用的自由度僅為實際陣元數(shù)目；為了擴展其可用的自由度，本文基于連續(xù)差聯(lián)合陣列（difference coarray）與連續(xù)波程差一一對應的原理，將原有的協(xié)方差矩陣擴展成滿秩協(xié)方差矩陣，理論上擴展后的協(xié)方差矩陣等同于相同孔徑等距線陣的協(xié)方差矩陣，因此，利用擴展的自由度可以抑制比陣元數(shù)多的干擾方向。本文所提方法與等距線陣中Toeplitz化的不同之處在于，等距線陣的Toeplitz化只會影響零陷深度和旁瓣高度，提高波束形成穩(wěn)健性，并沒有擴展自由度。下一節(jié)將對比給出具體的仿真結(jié)果。

4 波束形成仿真實驗

根據(jù)以上分析，本文仿真實驗采用5個陣元的最小冗余陣列作為仿真的非等距線陣，陣元位置分別位于｛0d，2d，5d，8d，9d｝，則其差聯(lián)合陣列的示意圖如圖2所示。由圖2可以看出，該最小冗余陣列的差聯(lián)合陣列為與陣元位置位于的等距線陣的差聯(lián)合陣列相同，故本部分仿真實驗對5個陣元最小冗余陣和10個陣元等距線陣作對比來驗證本文波束形成方法的正確性。

4.1 本文方法的波束形成

利用第2節(jié)的陣列模型，對上述5個陣元的最小冗余陣作波束形成，假設(shè)期望目標方向為10°， 5個非相干干擾方向分別為信噪比和干噪比均為10 dB。在快拍數(shù)為1000的情況下，根據(jù)式（14）和式（15）作波束形成如圖3所示。從圖3中可以看出，由于陣元間距超過半波長，帶來了嚴重的柵瓣影響。雖然在干擾方向形成較深的零陷，但是期望目標方向受到嚴重干擾，這樣就不利于約束期望信號方向并形成較好的波束指向。

同樣采用5個陣元的最小冗余陣，干擾與期望目標方向不變，則在快拍數(shù)為1000的情況下，利用本文方法作波束形成如圖4所示。從圖4中可以看出，由于對最小冗余陣的協(xié)方差矩陣做了 Toeplitz預處理，波程差不會產(chǎn)生2π相位模糊，波束的功率在期望信號方向得到很好地聚集，其余的旁瓣也都在-10 dB以下，沒有產(chǎn)生柵瓣現(xiàn)象。并且充分利用了最小冗余陣擴展的空間自由度，在干擾方向形成很深的零陷，很好地抑制了5個干擾方向。

4.2 與相同孔徑等距線陣作對比

采用與 4.1節(jié)中相同的陣列模型，為了更好地驗證本文所提方法可以擴展自由度，增加為9個干擾方向 -5 5°，- 40°，-25°，-10°，0°，20°，35°，50°，65°，期望方向為10°，信噪比和干噪比均為10 dB。為了更好地分析本文所提波束形成方法的效果，將最小冗余陣（MRA）與同等孔徑的等距線陣（ULA）作對比，對角加載5 dB，其波束形成如圖5所示。最小冗余陣采用本文提出的方法，等距線陣采用上文所述的適用于等距線陣的Toeplitz方法。從圖5中可以看出，由于孔徑相同，經(jīng)過本文方法處理的波束形成主瓣寬度與等距線陣基本相同；同時由于在本文方法預處理中，將協(xié)方差矩陣擴展并Toeplitz化，雖然只有5個陣元但是能夠很好地抑制9個干擾方向；理論上，理想情況下相同孔徑的兩種陣列在滿足空間不模糊時，其波束方向圖相同。因此，對于孔徑相同的最小冗余陣與等距線陣來說，其波束方向圖應該是基本一致的，但是由于兩種陣列的協(xié)方差矩陣Toeplitz化后的噪聲統(tǒng)計略有差異，導致波束方向圖的旁瓣互有高低。

為了說明本文方法在低快拍下也有很好的波束形成效果，在快拍數(shù)為100的情況下，同樣對角加載5 dB，對比分析最小冗余陣與等距線陣的波束形成效果如圖6所示。從圖6可以看出，由于兩種陣列在協(xié)方差矩陣的構(gòu)建中都采用了 Toeplitz的方法，雖然快拍數(shù)下降，但是仍然能夠在干擾方向形成較深的零陷，實現(xiàn)干擾抑制。因此，本文所提方法能夠利用更少的陣元數(shù)達到相同孔徑 ULA所達到的性能。

圖3 對最小冗余陣直接做波束形成結(jié)果

圖4 應用本文方法后最小 冗余陣波束形成結(jié)果

圖5 相同孔徑最小冗余 陣和等距線陣對比

4.3 與文獻［10］中空間平滑方法對比

根據(jù)上文分析，本部分對本文方法與文獻［10］中基于KR子空間的空間平滑方法進行對比分析。期望方向，干擾方向及信號模型與4.1節(jié)仿真相同。用5個陣元的最小冗余陣作為接收陣列，在快拍數(shù)為1000的情況下，對角加載5 dB，得到兩種方法的波束形成如圖7所示。從圖7中可以看出，本文方法和空間平滑方法都能很好地在期望方向形成波束主瓣，且主瓣寬度基本相同，但是空間平滑方法在某些干擾方向未能形成較深的零陷，干擾抑制能力會減弱。同樣對比在低快拍下兩種方法的效果，快拍數(shù)為100時兩種方法的對比圖如圖8所示。從圖8中可以看出，本文方法在低快拍下雖然旁瓣升高，但仍能較好地在期望方向形成波束指向，而空間平滑方法則形成了很高的柵瓣，因此，本文方法在低快拍條件下更加穩(wěn)健。

4.4 同等陣元數(shù)最小冗余陣與等距線陣對比

在陣元數(shù)固定的前提下，非等距線陣擴展了孔徑，獲得了更多的空間自由度。采用 4.1節(jié)中的信號模型，在快拍數(shù)為1000的情況下，對角加載5 dB，對比5個陣元的最小冗余陣和5個陣元的等距線陣波束形成如圖9所示。從圖9中可以看出，最小冗余陣擴展了孔徑，故其主瓣較窄；同時擴展了空間自由度，利用5個陣元很好地抑制7個干擾，而等距線陣則不能做到，這充分體現(xiàn)了非等距線陣在陣元數(shù)固定條件下的優(yōu)勢。

4.5 輸出信干噪比

圖6 低快拍下最小冗余陣和等距線陣對比

圖7 本文方法與空間 平滑方法對比

圖8 低快拍下本文方法與 空間平滑方法對比

圖9 相同陣元數(shù)最小冗余陣與等距線陣對比

圖10 輸出信干噪比隨輸入信噪比和快拍數(shù)的變化

為了驗證本文波束形成方法的有效性，采用4.1節(jié)中的信號模型，通過200次蒙特卡羅實驗對比本文方法和空間平滑方法的輸出信干噪比，同時用相同孔徑的等距線陣和最優(yōu)情況作對比，所有結(jié)果均對角加載5 dB。固定快拍數(shù)為1000，輸入信噪比由-15 dB變化到30 dB，則輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化如圖 10（a）所示。同樣固定輸入信噪比為10 dB，快拍數(shù)從100變化到1000，可得輸出信干噪比隨快拍數(shù)的變化如圖10（b）所示。從圖10可以看出，經(jīng)過200次的蒙特卡洛實驗，本文方法與最優(yōu)情況更為接近，整體穩(wěn)健性能要優(yōu)于其他兩種情況。另由圖10（a）可以看出，空間平滑方法隨著輸入信噪比的升高，輸出信干噪比下降了，這是因為產(chǎn)生了嚴重的信號相消現(xiàn)象，而本文方法受此影響較小。從圖10（b）可以看出，在低快拍數(shù)下，如4.3節(jié)中所述，空間平滑方法在低信噪比下的效果較差，故曲線位于最下方，而本文方法則能在低快拍下較好地工作。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于連續(xù)差聯(lián)合陣列的非等距線陣接收波束形成方法，能夠避免由非等距線陣陣元間距超過半波長導致的相位模糊問題，波束形成不會受到柵瓣影響，能夠在期望方向形成較好的主瓣波束。本文方法與已有的基于KR子空間的空間平滑方法相比，能夠在低快拍條件下得到有效的波束方向圖，這對于快拍數(shù)有限情況下的穩(wěn)健波束形成具有實際意義。同時在陣元數(shù)固定的情況下，由非等距線陣帶來的孔徑擴大，能夠獲得更多的空間自由度，對干擾的抑制和減小主瓣寬度有很大優(yōu)勢，對于天線稀疏布陣波束綜合也有借鑒意義。

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黃 巖： 男，1991年生，博士，研究方向為陣列信號處理、動目標檢測、SAR成像及運動目標參數(shù)估計.

廖桂生： 男，1963年生，教授，博士生導師，主要研究方向為陣列信號處理、動目標檢測、空時自適應處理.

李 軍： 男，1973年生，副教授，碩士生導師，主要研究方向為雙基MIMO技術(shù)、陣列信號處理、空時自適應處理.

李 婕： 女，1992年生，博士，研究方向為陣列信號處理.

Non-ambiguity Beamforming of Nonuniform Linear Array Based on Consecutive Difference Coarray

Huang Yan Liao Gui-sheng Li Jun Li Jie
（National Laboratory of Radar Signal Processing， Xidian University， Xi’an 710071，China）

As the beamforming of Nonuniform Linear Array （NLA） may occur grating lobes phenomenon， a beamforming method is proposed for working on the NLA with consecutive difference coarray. Firstly， this method analyzes the array optimization of the NLA based on consecutive difference coarray. Additionally， it can be concluded that the consecutive difference coarray is corresponding to the consecutive wavepath difference， which is applied to reconstruct the Toeplitz covariance matrix of the NLA. According to the Least Constraint Mean Variance （LCMV） rule， the reconstructed covariance matrix can directly be used for robust adaptive beamforming. Due to the similarity between the reconstructed covariance matrix and the covariance matrix of Uniform Linear Array （ULA） with the same aperture， the phase ambiguity will not happen and the grating lobes phenomenon will not occur. Extensive simulations show the robust effectiveness of the proposed method.

Signal processing； Difference coarray； Nonuniform linear array； Non-ambiguity beamforming

TN911.7

A

1009-5896（2015）12-2891-07

10.11999/JEIT150321

2015-03-17；改回日期：2015-08-21；網(wǎng)絡(luò)出版：2015-11-01

*通信作者：黃巖 yellowstone0636@hotmail.com