球模式展開理論近遠場變換及快速算法

李南京李元新*胡楚鋒（西北工業(yè)大學無人機特種技術(shù)重點實驗室 西安 710065）（西北工業(yè)大學電子信息學院 西安 710072）

球模式展開理論近遠場變換及快速算法

李南京①李元新*①②胡楚鋒①
①（西北工業(yè)大學無人機特種技術(shù)重點實驗室 西安 710065）②（西北工業(yè)大學電子信息學院 西安 710072）

基于球模式展開理論的近遠場變換是天線球面近場測量系統(tǒng)實現(xiàn)的關(guān)鍵，它將待測天線在空間建立的場展開成球面波函數(shù)之和，由于其計算公式復雜，因而計算耗費時間長。該文在實際計算中利用快速傅里葉變換及矩陣的思想可以大幅度提高程序運行速度，節(jié)省計算時間。采用該方法對角錐喇叭天線的近遠場數(shù)據(jù)進行仿真驗證，結(jié)果表明外推遠場的結(jié)果和理論值吻合良好，說明了該方法在保證計算精度的同時，可縮短計算時間。

天線球面近場測量；球模式展開理論；近遠場變換；快速算法

1 引言

天線測量按照測試場地通常可劃分為：緊縮場測量、遠場測量和近場測量［1-3］。緊縮場借助反射鏡及陣列等所產(chǎn)生的平面波來仿真無限遠的場地，由于其對各機械系統(tǒng)的加工精度要求很高導致造價昂貴。外場測量受地面反射波的影響較大，并且容易受周圍電磁環(huán)境、氣候條件的影響，保密性不好［4］。而近場測量不受距離效應和外界環(huán)境的影響，具有測試精度高、保密性好、可全天候工作等優(yōu)點。近場測量根據(jù)掃描面形狀的不同又分為，平面測量［5］、柱面測量和球面測量。平面測量和柱面測量分別針對筆形波束和扇形波束天線，而球面測量可以適用于各種類型波束的天線，所以研究天線球面測量近遠場變換技術(shù)具有重要的工程意義。

目前球面近遠場變換常采用的算法包括散射矩陣法［6］和球模式展開法［7，8］，散射矩陣法是基于微波網(wǎng)絡分析的思想，將待測天線及探頭系統(tǒng)看成一個開放的二端口網(wǎng)絡，將激勵等效為網(wǎng)絡的輸入，將探頭接收信號等效為輸出，通過坐標旋轉(zhuǎn)，嚴格的推導出天線的傳輸方程。球模式展開法是將待測天線在空間建立的場展開成球面波函數(shù)之和，利用近場測量數(shù)據(jù)計算出加權(quán)系數(shù)，從而可以得到天線遠場方向圖。利用這兩種方法推導出的公式其結(jié)果相同，只是形式上有所差異。目前法國的SATIMO公司的球面測試系統(tǒng)無論算法處理及探頭設計［9-12］均處于領先水平。國內(nèi)方面，文獻［13］和文獻［14］利用卷積外推的方法實現(xiàn)近遠場變換，避免了球模式展開法的復雜運算，但是其計算時間長且忽略了天線的極化信息。

本文基于球模式展開法的近遠場天線測量技術(shù)，從球面模式展開理論入手，推導天線遠場方向圖表達式，利用傅里葉變換技術(shù)和矩陣處理技巧實現(xiàn)了快速計算。通過利用HFSS軟件對S波段的角錐喇叭天線進行仿真，表明外推結(jié)果與理論遠場吻合良好，計算時間從2～3 h縮短到40 s左右。

2 基于球模式展開理論的近遠場變換

假設包圍天線的最小半徑是a，那么在r ≥ a的無源區(qū)中，電場強度可以表示為矢量波函數(shù)M 和N的線性組合。

在r ≥ a區(qū)域中，標量亥姆霍茲方程在球坐標系下的解為［15］

令：

那么可知球坐標系下的矢量波函數(shù)為

式（4），式（5）中 eθ，eφ及 er為球坐標系中單位矢量。那么在r ≥ a區(qū)域中電場可以表示為

當r→∞時，利用球漢克爾函數(shù)的大宗量近似，并略去與 θ，φ無關(guān)的因子可得天線遠區(qū)電場：E（θ，φ）

利用一個已知特性的探頭分別當其為θ極化和φ極化時在包圍待測天線3 ～ 10λ的球面上進行掃描， 得到和其中 Δθ ，Δφ 滿足式（8）所示的采樣定理［17］：

利用掃描得到的近場值及式（6）可得加權(quán)系數(shù)：

通過式（6），式（7）可以發(fā)現(xiàn)近場及遠場由加權(quán)系數(shù)相關(guān)聯(lián)，那么利用式（9），式（10）求得加權(quán)系數(shù)后將其代入式（7）中，即可獲得遠場方向圖。

3 快速算法

從上一節(jié)可以看出，利用模式展開法進行天線球面近遠場變換時其計算式復雜，所需的數(shù)據(jù)量大，循環(huán)多，程序運行時間長。通過下面的處理可以減少運行時間。

在計算加權(quán)系數(shù) amn，bmn以及遠場電場的時候都會出現(xiàn)式（11），式（12）的項：

正如之前所述，已經(jīng)將這兩項分別令為 kmn和式中 Rmn如式（3）所述，從式（3）中可以看出當n= 0時，該式分母為零，出現(xiàn)錯誤。且隨著n和m的不斷增大，當n和越接近時，計算結(jié)果可以達到 10-100數(shù)量級。而（cosθ）是關(guān)于cosθ的n次多項式，當n較大時，隨著m的增加，勒讓德函數(shù)可達到 10170數(shù)量級。因此單獨計算這兩項時其結(jié)果都是不穩(wěn)定的，因此將兩項的乘積看作一項，對這一項用遞推公式進行計算，其結(jié)果是穩(wěn)定的。遞推公式［15］如式（13）所示：

式（13）為勒讓德函數(shù)的遞推公式，將該遞推公式代入式（11）中并整理可得

又因為

即

將式（16）代入式（12）中并整理可得

m，n在規(guī)定值上進行遍歷，由元素 kmn及組成的矩陣分別記為 Kmn及。將 Kmn和 Km'n采用2維矩陣運算時，在計算加權(quán)系數(shù)及遠區(qū)電場時，每個俯仰角下都需要重新計算2維矩陣的值，程序循環(huán)增多，大量時間花在解釋程序上，致使程序運行耗費大量時間。因此，若將矩陣3維化則可以使程序復雜度降低，提高程序運行速度，即將 m，n，θ分別作為矩陣的3個維。

其形式符合離散時間周期信號傅里葉級數(shù)的表示形式，編程中可以利用 FFT函數(shù)來提高程序運行速度。

4 仿真結(jié)果

由于角錐喇叭天線比較常見，并且其遠場電場強度可以通過理論計算式得到，因此本文選擇一個工作在S波段的角錐喇叭天線，利用電磁仿真軟件HFSS對天線進行建模仿真，天線模型及建模參數(shù)如下所示。

角錐喇叭的饋電點位于波導寬邊中心，距離短路板的距離為1/4波長，采用特性阻抗為50Ω的同軸線進行饋電。將HFSS設置為掃頻運行方式求解，中心頻率設為2.4 GHz，掃頻范圍設為1.5～3 GHz，掃頻間隔為0.1 GHz。天線參數(shù)如表1所示。角錐喇叭天線模型如圖1所示。

近場數(shù)據(jù)在距離坐標原點半徑為10λ的球面上采樣獲得，通過上述方法利用MATLAB編程仿真得到角錐喇叭的 E， H面仿真遠場與外推遠場的對比圖如圖2所示，計算時間對比表如表2所示。

表1 天線建模參數(shù)

圖1 喇叭天線仿真模型

圖2 喇叭天線E面、H面外推算法與HFSS仿真結(jié)果對比

表2 計算時間對比

通常按離開待測天線的距離將輻射區(qū)分為近場區(qū)和遠場區(qū)，在近場區(qū)內(nèi)，電場的分布與距離有關(guān)，電場幅度是離開天線距離的函數(shù)。圖2中在半徑為10λ的球面上采樣得到的電場具有明顯的近場特性，通過與外推后的遠場數(shù)據(jù)對比，可以看出外推算法的有效性。經(jīng)過球模式展開的近遠場外推及快速算法變換后獲得的遠場方向圖和HFSS仿真得到的遠場方向圖在主瓣和第一副瓣吻合良好可以體現(xiàn)算法的準確性。表2中未使用快速算法包括式（9），式（10）內(nèi)積分未使用FFT。比較指僅采用循環(huán)累加的方式和采用FFT結(jié)合運算矩陣3維化的方式。從對比可看出使用快速算法后在保證外推遠場和理論遠場方向圖吻合的基礎上，可以較大幅度的減少計算時間，提高算法運行效率。

5 結(jié)束語

對球模式展開理論的近遠場外推技術(shù)及其快速算法的研究在天線近場測量技術(shù)領域中具有重要應用價值。本文基于球模式展開法的近遠場外推方法，結(jié)合傅里葉變換技術(shù)和算法處理技巧實現(xiàn)了快速計算，縮短了計算時間。通過對角錐喇叭天線驗證，結(jié)果表明基于球模式展開法的快速近遠場外推技術(shù)結(jié)果正確有效，具有很強的工程實用價值。

［1］ Quan Shao-hui. Compact range performance evaluation using aperture near-field angular spectrums［J］. IEEE Transactions on Antennas and Propagation， 2013， 61（5）: 2741-2481.

［2］ Castaner M S， Facila F C， Foged L J， et al.. A reflection suppression technique for far field antenna measurements［C］. 7th European Conference on Antennas and Propagation，Gothenburg， 2013: 3894-3898.

［3］ Agostino F D， Ferrara F， Fordham J A， et al.. An experimental validation of the near-field far-field transformation with spherical spiral scan［J］. IEEE Transactions on Antennas and Propagation， 2013， 55（3）: 228-235.

［4］ 張福順， 焦永昌， 馬金平. 輻射、散射近場測量及近場成像技術(shù)的研究進展［J］. 西安電子科技大學學報（自然科學版）， 1999，26（5）: 651-656. Zhang Fu-shun， Jiao Yong-chang， and Ma Jin-ping， The state of art of near field techniques for radiation， targets scattering measurements and object imaging［J］. Journal of Xi’an Electronic and Science University（Natural Science），1999， 26（5）: 651-656.

［5］ 王加瑩， 高本慶， 劉瑞祥， 時域平面近場測量的數(shù)值分析方法［J］. 電子與信息學報， 2000， 22（3）: 478-484. Wang Jia-ying， Gao Ben-qing， and Liu Rui-xiang. Numerical analysis method for planar near field measurement in time domain［J］. Journal of Electronics & Information Technology，2000， 22（3）: 478-484.

［6］ Wasylkiwskyj W and Kahn W K. Scattering properties and mutual coupling of antennas with prescribed radiation pattern［J］. IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1970， 18（6）: 741-752.

［7］ Belmkaddem K， Rudant L， and Vuong T P. Small antenna radiation properties analysis using spherical wave expansion［C］. 15th International Symposium on Antenna Technology and Applied Electromagnetics， Toulouse， 2012: 1-5.

［8］ Belmkaddem K， Rudant L， and Vuong T P. Investigation on antenna’s miniaturization using spherical wave expansion［C］. 7th European Conference on Antennas and Propagation，Gothenburg， 2013: 1887-1890.

［9］ Giacomini A， Potenza A， Morbidini R， et al.. Quad-ridge dualpolarized antenna for use in the 2～32 GHz band［C］. 6th European Conference on Antennas and Propagation， Prague，2012: 769-772.

［10］ Noren P， Foged L J， and Garreau P. State of art spherical near-field antenna test systems for full vehicle testing［C］. 6th European Conference on Antennas and Propagation， Prague，2012: 2244-2248.

［11］ Foged L J， Scialacqua L， Noren P， et al.. Fast measurements and diagnostics on radar antennas using compact cylindrical NF range［C］. 7th European Conference on Antennas and Propagation， Gothenburg， 2013: 2930-2933.

［12］ Foged L J， Scialacqua L， Herbiniere F， et al.. Comparative measurements and inverse source technique for validation of compact cylindrical NF ranges［C］. 2012 Loughborough Antenna and Propagation Conference， Loughborough， 2012: 1-4.

［13］ Zhou Yang， Li Nan-jing， and Xu Jia-dong. A novel algorithm based on stepped-frequence about extrapolating near-field to far-field［C］. 8th IEEE International Symposium on Communication Systems， Networks and Digital Signal Processing， Poznan， 2012: 1-4.

［14］ 張麟兮， 魯新建， 李南京， 天線在近場測量中的卷積外推算法研究［J］. 計算機仿真， 2010， 27（8）: 359-362. Zhang Lin-xi， Lu Xin-jian， and Li Nan-jing. A lgorithm of antenna in near field measurement［J］. Computer Simulation，2010， 27（8）: 359-362.

［15］ Hansen J E. Spherical Near-Field Antenna Measurements［M］. London: United Kingdom， 1988: 90-144.

［16］ Thal H L Jr and Manges J B. Theory and practice for a spherical-scan near-field antenna range［J］. IEEE Transactions on Antennas and Propagation， 1988， 36（6）: 815-821.

［17］ 曾江燕， 魯述. 應用球模展開實現(xiàn)近遠場變換［J］. 電子與信息學報， 1991， 13（1）: 102-107. Zeng Jiang-yan and Lu Shu. Near-field far-field transformations using spherical-wave expansions［J］. Journal of Electronics & Information Technology， 1991， 13（1）: 102-107.

李南京： 男，1976年生，副教授，研究領域為應用微波技術(shù)、輻射及散射測量等.

李元新： 女，1991年生，碩士生，研究領域為應用微波技術(shù)及天線測量.

胡楚鋒： 男，1982年生，副教授，研究方向為微波遙感、散射測試與成像技術(shù).

Near-field to Far-field Transformations Based on Spherical Wave Expansions and Fast Algorithm

Li Nan-jing①Li Yuan-xin①②Hu Chu-feng①①
①（National Key Laboratory of Science and Technology on Unmanned Aerial Vehicle，Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710065， China）
②（Institute of Electronics and Information， Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710072， China）

The theory of near-field to far-field transformation using spherical-wave expansions is the key to implement the spherical near-field antenna measurement system. It can develop the field in the space which is built by antenna expanding into the sum of spherical wave functions. Because of its complex formula， it will consume a long time to compute. The FFT transformation and the ideas of matrix are put into used in this paper， so the compute speed can be improved and the compute time can be saved. Using this method to testify the near-field data and the far-field data of a horn antenna， the results show that the far-field pattern computed from near-field date and the far-field pattern from theoretical integral equations are compared very well. It is approved that this method can guarantee the calculation precision and shortens the compute time at the same time.

Spherical near-field antenna measurements； Spherical-wave expansion； Near-field to far-field transformation； Fast algorithm

s: The National Natural Science Foundation of China （61201320， 61371023）

TN82

A

1009-5896（2015）12-3025-05

10.11999/JEIT150203

2015-02-03；改回日期：2015-07-13；網(wǎng)絡出版：2015-10-16

*通信作者：李元新 1263387806@qq.com

國家自然科學基金（61201320， 61371023）