全等三角形的證明習題難度控制研究

崔路

【摘 要】通過控制習題難度，可以向不同學生提供不同水平的習題，符合因材施教與循序漸進的原則。使用習題難度模型和點數法對全等三角形的證明一節的習題進行分析，發現習題難度模型適用性不強，可以與點數法結合來控制習題難度。

【關鍵詞】全等三角形的證明；習題難度

因材施教、循序漸進，是中國傳統教學的重要思想。在教學實踐中發現，數學作業在數量、形式與難易程度上難以照顧所有學生的需求。已有研究建議教師之間可以加強合作，每個教師設計一個層次的作業，建立作業題庫，可供教師在題庫中選擇適合本班學生的作業。但沒有解決習題難度上的問題。

1.習題難度模型

鮑建生在對中英兩國的課程難度進行比較時，提出了“數學習題課程綜合難度模型”。該模型含有五個難度的因素，分別為知識含量、運算水平、背景水平、探究水平和推理水平五個因素，其中因素又分為不同的層次。吳立寶、王建波、曹一鳴認為：習題難度=0.38 知識水平+0.36 知識點個數+0.26背景。

2.點數法

點數法主要應用于幾何題，把推理的每一個條件或結果算作一點，一個條件推出多個結論或多個條件推出一個結論時，每個條件再加一點。對于圖形復雜的情況再增加點數，如：必須做輔助線加兩點，由圖可知得出條件加一點。使用最終結論處點數和作為證明難度的指標。

3.難度分析

全等三角形的證明是初中幾何的重要組成部分，是軸對稱圖形、四邊形的重要基礎。對人民教育出版社2013版八年級上第12章第二節全等三角形中例題（L）、練習（按順序分為練習1到4）和習題（X）的題號（TH）、探究水平（S）、背景（B）、運算（Y）、推理（T）、知識點數量（Z）進行分析，得出每道題的點數（D）和難度（N）。部分題目分析如下：

全等三角形的證明部分的習題各維度中的各個水平比重明顯不均，作業分層可能存在問題，在一個維度上水平明顯聚集的習題，難度計算可能存在較大誤差。

使用SPSS對點數和探究水平、背景、推理、知識點做回歸分析，發現探究水平、背景的系數均為負數，也就是探究水平、背景越高習題的點數越低，這明顯違背常識，推理與知識點數量系數為正。使用SPSS對點數和難度進行相關分析，發現存在相關性，但相關度為0.384，屬于低相關。對點數和其他各項做相關分析，點數與推理水平相關系數為0.645，與知識點個數相關系數為0.773，與探究水平相關系數為0.526，與背景相關系數為0.26，另外知識點與推理水平相關系數為0.748。點數法的計數方法主要受推理水平和知識點數量影響，全等三角形部分的背景對點數影響不足，而探究水平與推理水平的分析方法接近。吳立寶等人的習題難度模型考慮題目的探究水平、知識點數量、背景，鮑建生將證明分為3個層次并不適用于幾何證明題。習題3僅比例3，練習1.1多1步，難度卻是2.62和1.36，例4的點數是練習1.1的兩倍，比練習1.1多了知識點“三角形內角和為180°”，推理步驟“三角形內兩對角相等則第三個角也相等”。點數法中應該減少同理可得的點數，習題難度模型在幾何部分也要增加推理的層次。

4.習題難度控制

三角形部分的習題，從習題難度模型考慮，難度主要是通過知識點數量、背景的有無來控制，探究水平可能控制不夠精細，從點數法考慮，難度主要由推理的長度、知識點數量控制。幾何部分復雜的背景較少，在學習勾股定理之后的四邊形部分時，計算維度就會明顯影響習題的難度，探究水平要在高難度的綜合題出現時才會有較大的區分度。全等三角形部分，難度主要由知識點數量、推理長度、背景的有無來控制。

如例3與例4都是考察ASA，例4比例3增加了知識點“三角形內角和”和推理步驟“三角形內兩對角相等則第三個角也相等”；習題11比例3增加了知識點“兩直線平行內錯角相等”及相應的證明步驟；練習3.2比例3增加了情境。

5.小結與建議

對教材全等三角形證明部分的習題整理發現，習題難度模型并不適用于全等證明這樣的維度偏向明顯的章節，可以結合點數法來考慮幾何部分的習題難度，增加同一難度的習題數量或調整習題難度。

該研究不足在于：選擇全等三角形證明一節的教材習題，范圍較小，由于條件限制，沒有對學生進行測試以獲取實踐的正確率，來確定點數法和難度模型的效果。后續可以對點數法進行優化，修改現有難度模型以適應不同知識模塊。

【參考文獻】

[1]鮑建生.中英兩國初中數學課程綜合難度的比較研究[D].上海：華東師范大學博士學位論文，2002

[2]吳立寶，王建波，曹一鳴.初中數學教科書習題國際比較研究[J].課程教材教法，2014，02.第34卷第2期：112-117

[3]（日）中西知真紀等.幾何證明的難度分析—難度的點數化表示法[J].數學教學研究，1983，03：26-28

（作者單位：遼寧師范大學數學學院）