淺談常微分方程奇解與包絡

姜 曼（西安交通工程學院,西安 710300）

淺談常微分方程奇解與包絡

姜 曼
（西安交通工程學院,西安 710300）

對常微分方程教科書中采用的不同方式來定義奇解，進行了討論，指出了用包絡定義奇解的不相容性，和用唯一性破壞定義奇解的合理性。給出了求常微分方程以已知函數求奇解的多種方法,方法和實例表明，這對有奇解的常微分方程以及同一奇解的常微分方程都是非常多的.

常微分方程；定義；奇解；包絡

0 前言

常微分方程，是一個有悠久歷史發(fā)展迅速的學科，是一個理論和實際應用都很有價值的學科，它不但自身應用十分廣泛，而且對其他學科都有非常大的幫助。許多科學家都對微分方程有了不同程度的研究。比如牛頓，萊布尼茨等。常微分方程是17世紀和微積分同時誕生的一門理論性非常強，研究應用非常廣泛的學科之一，常微分方程的發(fā)展分了四個發(fā)展階段，這四個發(fā)展階段對常微分方程非常關鍵。

牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立的微積分是不嚴格的, 18世紀的數學家們一方面努力探索微積分嚴格化的途徑, 一方面往往又不顧基礎問題的困難而大膽前進, 大大地擴展了微積分的應用范圍, 尤其是與力學的有機結合, 當時幾乎所有的數學家也是力學家.

牛頓和萊布尼茨都處理過與常微分方程有關的問題. 微積分的產生的一個重要的動因來自于人們探求物質世界運動規(guī)律的需求. 一般地, 認識規(guī)律 很難完全靠實驗觀測認識清楚,因為人們不太可能觀測到運動的全過程. 運動是服從一定的客觀規(guī)律的, 物質運動與瞬時變化率之間有著緊密的聯(lián)系, 而這種聯(lián)系, 用數學語言表述出來, 即抽象為某種數學結構, 其結果往往形成一個微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其動力學行為, 運動規(guī)律就一目了然了。

為了便于討論，現將第一種定義寫出：

1 奇解的定義

在通常教科書中對奇解的定義采用兩種方法：一種是用積分曲線族的包絡（以下簡稱包絡）定義奇解；另一種是用奇解的唯一性被破壞定義奇解.

由下面的討論可知，用第一種方法定義奇解將會產生混亂，甚至會出現不相容的情況.第二種定義則來源于微分方程本身內容，準確而不會產生歧義.

為了便于討論，現將第一種定義寫出：

1.1 定義1

微分方程的一個解稱為奇解，如果在這個解的每一點上還有方程的另外一些解存在，在它上面的每一點唯一性都不成立,奇解對應的曲線上每一點至少有方程的兩條積分曲線通過[1]。

1.2 定理1[3]

設函數F對是連續(xù)的。而且對y,p有連續(xù)的偏微商，若函數是微分方程的一個奇解，并且則奇解滿足一個稱之p-為判別式的聯(lián)立方程。

1.3 證明

因為它是微分方程有解，所以它自然滿足上述判別式的第一式，現證它也滿足第二式.假設不然，則存在使得其中注意：因此，我們可以利用隱函數定理推出，由方程在方程點附近唯一地確定了其中函數滿足：這就證明了微分方程所有滿足的解必定是這一個微分方程的解.另一方面,由于函數在點的某鄰域是連續(xù)的，而且對有連續(xù)的偏微商所以微分方程滿足初值條件的解是存在而且是唯一的。由此可見，在函數的某一鄰域內是微分方程的唯一解。

這就證明了，在點附近不能存在微分方程的其它解在該點與相切.這個結論與是奇解的假設是不能相容的。因此，反證法的假設不能成立，亦即也滿足上述p-判別式的第二式.定理從而得證. 應該強調指出，上面介紹的兩種方法，只是提供求奇解的途徑，所以p-判別曲線是不是奇解，必須進行檢驗。

2 包絡的定義

我們現在給出曲線族包絡的定義，并介紹它的求法：

2.1 定義1

設給定單參數曲線族f（x,y,c）=0及曲線，如果在曲線上的每一點都有曲線族的某一曲線與之相切，并且在曲線的每一段上都有曲線族中的無窮多條曲線與之相切，我們就把這條曲線稱為曲線族的包絡[2].把由方程組消去c所得的曲線（如果有曲線），記為，并稱之為曲線族的c-判別曲線. 但是，一般的曲線族不一定有包絡.例如同心圓族，平行直線族都沒有包絡.那么對于給定的曲線族，如何求它的包絡（如果有包絡）呢？

我們把由方程組所得的曲線（如果有曲線），記為f（x,y）=0 ，并稱之為曲線族的c-判別曲線.我們有下述定理：

2.2 定理 1

設f（x,y,c）及其各一階偏導數是它的的連續(xù)函數.若f（）x,y有=0包絡，并且該包絡是一條連續(xù)曲線，且有連續(xù)轉動的切線，則它必須包含在判別曲線f（x,y）=0中[2]。

2.3 定理 2

設微分方有通積分又設曲線族有包絡，則包絡是微分方程的奇解[3]。證明： 根據奇解和包絡的定義，我們只需證明是G微分方程的解.在G上任取一點其中則由包絡的定義可知，曲線族中有一條曲線在點與相切， 因為是微分方程的一個解，所以由xJ于是任意給定的，這后一等式就說明了是微分方程的解.定理2證完.

3 奇解與包絡的關系

由奇解與包絡的定義顯然可以知道，微分方程的積分曲線族（即通積分所對應的曲線族）的包絡，如果存在，則必定是方程的奇解.事實上，在積分曲線族的包絡上的點（x,y）處的x,y和y滿足方程.這就是說，包絡是積分曲線.其次，在包絡的每一點，積分曲線族中都至少有一條曲線與包絡相切.因此，包絡是奇解.由此可知，如果知道了微分方程的通積分，那么該通積分的包絡，也就是奇解，但請注意，奇解不一定是包絡[4]。

[1]都長青,焦寶聰，焦炳照.常微分方程[M].北京師范學院出版社，1993（01）:132-135.

[2]蔡燧淋．常微分方程[M].浙江大學出版社,1998（01）:30-37.

[3]丁同仁，李承治.常微分方程[M].高等教育出版社 ,1998（01）：94-95.

[4]王秀蘭.奇解與可分離變量方程的解[J].曲阜師范大學學報（自然科學版）,1991（02）.