淺談常微分方程奇解與包絡(luò)

姜 曼（西安交通工程學(xué)院,西安 710300）

淺談常微分方程奇解與包絡(luò)

姜 曼
（西安交通工程學(xué)院,西安 710300）

對常微分方程教科書中采用的不同方式來定義奇解，進(jìn)行了討論，指出了用包絡(luò)定義奇解的不相容性，和用唯一性破壞定義奇解的合理性。給出了求常微分方程以已知函數(shù)求奇解的多種方法,方法和實例表明，這對有奇解的常微分方程以及同一奇解的常微分方程都是非常多的.

常微分方程；定義；奇解；包絡(luò)

0 前言

常微分方程，是一個有悠久歷史發(fā)展迅速的學(xué)科，是一個理論和實際應(yīng)用都很有價值的學(xué)科，它不但自身應(yīng)用十分廣泛，而且對其他學(xué)科都有非常大的幫助。許多科學(xué)家都對微分方程有了不同程度的研究。比如牛頓，萊布尼茨等。常微分方程是17世紀(jì)和微積分同時誕生的一門理論性非常強，研究應(yīng)用非常廣泛的學(xué)科之一，常微分方程的發(fā)展分了四個發(fā)展階段，這四個發(fā)展階段對常微分方程非常關(guān)鍵。

牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立的微積分是不嚴(yán)格的, 18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們一方面努力探索微積分嚴(yán)格化的途徑, 一方面往往又不顧基礎(chǔ)問題的困難而大膽前進(jìn), 大大地擴(kuò)展了微積分的應(yīng)用范圍, 尤其是與力學(xué)的有機結(jié)合, 當(dāng)時幾乎所有的數(shù)學(xué)家也是力學(xué)家.

牛頓和萊布尼茨都處理過與常微分方程有關(guān)的問題. 微積分的產(chǎn)生的一個重要的動因來自于人們探求物質(zhì)世界運動規(guī)律的需求. 一般地, 認(rèn)識規(guī)律 很難完全靠實驗觀測認(rèn)識清楚,因為人們不太可能觀測到運動的全過程. 運動是服從一定的客觀規(guī)律的, 物質(zhì)運動與瞬時變化率之間有著緊密的聯(lián)系, 而這種聯(lián)系, 用數(shù)學(xué)語言表述出來, 即抽象為某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu), 其結(jié)果往往形成一個微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其動力學(xué)行為, 運動規(guī)律就一目了然了。

為了便于討論，現(xiàn)將第一種定義寫出：

1 奇解的定義

在通常教科書中對奇解的定義采用兩種方法：一種是用積分曲線族的包絡(luò)（以下簡稱包絡(luò)）定義奇解；另一種是用奇解的唯一性被破壞定義奇解.

由下面的討論可知，用第一種方法定義奇解將會產(chǎn)生混亂，甚至?xí)霈F(xiàn)不相容的情況.第二種定義則來源于微分方程本身內(nèi)容，準(zhǔn)確而不會產(chǎn)生歧義.

為了便于討論，現(xiàn)將第一種定義寫出：

1.1 定義1

微分方程的一個解稱為奇解，如果在這個解的每一點上還有方程的另外一些解存在，在它上面的每一點唯一性都不成立,奇解對應(yīng)的曲線上每一點至少有方程的兩條積分曲線通過[1]。

1.2 定理1[3]

設(shè)函數(shù)F對是連續(xù)的。而且對y,p有連續(xù)的偏微商，若函數(shù)是微分方程的一個奇解，并且則奇解滿足一個稱之p-為判別式的聯(lián)立方程。

1.3 證明

因為它是微分方程有解，所以它自然滿足上述判別式的第一式，現(xiàn)證它也滿足第二式.假設(shè)不然，則存在使得其中注意：因此，我們可以利用隱函數(shù)定理推出，由方程在方程點附近唯一地確定了其中函數(shù)滿足：這就證明了微分方程所有滿足的解必定是這一個微分方程的解.另一方面,由于函數(shù)在點的某鄰域是連續(xù)的，而且對有連續(xù)的偏微商所以微分方程滿足初值條件的解是存在而且是唯一的。由此可見，在函數(shù)的某一鄰域內(nèi)是微分方程的唯一解。

這就證明了，在點附近不能存在微分方程的其它解在該點與相切.這個結(jié)論與是奇解的假設(shè)是不能相容的。因此，反證法的假設(shè)不能成立，亦即也滿足上述p-判別式的第二式.定理從而得證. 應(yīng)該強調(diào)指出，上面介紹的兩種方法，只是提供求奇解的途徑，所以p-判別曲線是不是奇解，必須進(jìn)行檢驗。

2 包絡(luò)的定義

我們現(xiàn)在給出曲線族包絡(luò)的定義，并介紹它的求法：

2.1 定義1

設(shè)給定單參數(shù)曲線族f（x,y,c）=0及曲線，如果在曲線上的每一點都有曲線族的某一曲線與之相切，并且在曲線的每一段上都有曲線族中的無窮多條曲線與之相切，我們就把這條曲線稱為曲線族的包絡(luò)[2].把由方程組消去c所得的曲線（如果有曲線），記為，并稱之為曲線族的c-判別曲線. 但是，一般的曲線族不一定有包絡(luò).例如同心圓族，平行直線族都沒有包絡(luò).那么對于給定的曲線族，如何求它的包絡(luò)（如果有包絡(luò)）呢？

我們把由方程組所得的曲線（如果有曲線），記為f（x,y）=0 ，并稱之為曲線族的c-判別曲線.我們有下述定理：

2.2 定理 1

設(shè)f（x,y,c）及其各一階偏導(dǎo)數(shù)是它的的連續(xù)函數(shù).若f（）x,y有=0包絡(luò)，并且該包絡(luò)是一條連續(xù)曲線，且有連續(xù)轉(zhuǎn)動的切線，則它必須包含在判別曲線f（x,y）=0中[2]。

2.3 定理 2

設(shè)微分方有通積分又設(shè)曲線族有包絡(luò)，則包絡(luò)是微分方程的奇解[3]。證明： 根據(jù)奇解和包絡(luò)的定義，我們只需證明是G微分方程的解.在G上任取一點其中則由包絡(luò)的定義可知，曲線族中有一條曲線在點與相切， 因為是微分方程的一個解，所以由xJ于是任意給定的，這后一等式就說明了是微分方程的解.定理2證完.

3 奇解與包絡(luò)的關(guān)系

由奇解與包絡(luò)的定義顯然可以知道，微分方程的積分曲線族（即通積分所對應(yīng)的曲線族）的包絡(luò)，如果存在，則必定是方程的奇解.事實上，在積分曲線族的包絡(luò)上的點（x,y）處的x,y和y滿足方程.這就是說，包絡(luò)是積分曲線.其次，在包絡(luò)的每一點，積分曲線族中都至少有一條曲線與包絡(luò)相切.因此，包絡(luò)是奇解.由此可知，如果知道了微分方程的通積分，那么該通積分的包絡(luò)，也就是奇解，但請注意，奇解不一定是包絡(luò)[4]。

[1]都長青,焦寶聰，焦炳照.常微分方程[M].北京師范學(xué)院出版社，1993（01）:132-135.

[2]蔡燧淋．常微分方程[M].浙江大學(xué)出版社,1998（01）:30-37.

[3]丁同仁，李承治.常微分方程[M].高等教育出版社 ,1998（01）：94-95.

[4]王秀蘭.奇解與可分離變量方程的解[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）,1991（02）.