微機械諧振器可變錨點結構能量耗散特性分析

張　廈，張文明

（上海交通大學　機械系統與振動國家重點實驗室，上海200240）

微機械諧振器可變錨點結構能量耗散特性分析

張廈1，張文明2

（上海交通大學機械系統與振動國家重點實驗室，上海200240）

微機械諧振器在振動過程中總會產生能量耗散，并且具有諸如空氣阻尼耗散、熱彈性阻尼耗散、錨點結構耗散、表面耗散等諸多耗散機制，其中錨點結構耗散是一種主要的能量耗散機制。應用完美匹配層方法，將無限大區域入射波的吸收問題轉化到有限區域內進行。針對中心支撐圓盤體模態諧振器，設計兩種不同的錨點支撐結構，并分別討論其幾何結構的變化對諧振器固有頻率和錨點損耗品質因子的影響。結果證明通過調整錨點結構，可以大幅度提高諧振器的錨點耗散品質因子，提高能量的利用效率。

振動與波；微機械諧振器；錨點耗散；完美匹配層；結構優化

錨點結構能量耗散［1］又可以稱作支撐結構能量耗散，是微機電系統［2］（Micro-Electro-Mechanical System，MEMS）中主要的能量耗散機制之一。對于微機械諧振器來說，錨點結構耗散的能量是通過諧振體與支撐結構相互耦合而耗散掉的機械能。當彈性諧振體振動時，會在其固支端產生振動剪切力和彎矩，隨后作為激勵源在基底上激發出彈性波，并通過基底傳播到無窮遠處耗散掉，即支撐結構吸收了諧振器的部分振動能量。

錨點結構能量耗散被認為是外部能量耗散，因為可以通過改變錨點的幾何結構來改善其性能。本文應用完美匹配層（Perfectly Matched Layers，PML）方法，針對錨點結構引起的能量耗散進行一定的分析，討論錨點結構的變化對圓盤體模態諧振器固有頻率和錨點耗散品質因子的影響。

1　完美匹配層方法

完美匹配層方法最早是由Berenger［3］在研究電磁波傳播問題時提出的，其思路是設置一定厚度的吸收邊界域，不同于前人的地方是，沒有設置邊界域的材料屬性，而是從坐標的復值變換來考慮。后來又經過一些學者的演化與推進，逐漸發展為一種通用的方法，使得任意入射角、頻率的波都可以無反射地入射到吸收域，并且可以應用于任何線性波動方程［4-6］。

一個無限大區域的PML模型可以分解為兩個子域：一個子域準確描述所求問題的實際方程，另一個子域用來描述遠場輻射邊界條件效應。所謂“完美匹配”，是指該吸收層具有兩種特性：一是邊界“透明”，即波可以任意穿過而不引起反射；二是層內“吸收”，即波在其內傳播是指數衰減的。為了更好地解釋PML的工作原理，下面以波的一維傳播問題為例進行詳細說明。

1.1一維彈性波理論

對于一個坐標為（0，∞）的半無限長的桿，縱波以速度c在其中傳播，描述該運動的一維波動方程［7］如下

其中u（x，t）代表位移。采用分離變量的方法，將方程的解設為u（x，t）=U（x）eiωt，帶入方程（1）得到赫姆霍茲方程（Helmholtz equation）

其中k=ω/c，稱作波數。

方程（2）的解的形式為

其中cout代表出射波從原點傳播到無窮遠處時的波幅，cin代表入射波從無窮遠處傳播到原點時的波幅。一般認為在無窮遠處是沒有波源的，所以從物理角度來看，此處應有cin=0。

1.2一維彈性波在完美匹配層中傳播

進行如下坐標變換，將坐標從實數域映射到復數域

其中λ：R→C是一個非零的連續函數，兩端求導可以推導得到x^和x的關系如下

假設變換后的坐標x^是赫姆霍茲方程（2）的獨立變量，則由上邊的變換可以得到如下方程

方程（6）描述了波在完美匹配介質中的傳播特性。

假設

則方程（6）的解的形式變為

此處，只要令σ=0，則方程（6）的解與原赫姆霍茲方程（2）的解是一致的。而當σ＞0時，波會在其傳播方向上衰減，出射波的振幅隨x的增大而衰減，入射波的振幅隨x的減小而衰減。這里可以令σ在區間［0，L］內為零，在［L，∞）內為σ=β（ξ-L），如圖1所示。那么對于x＞L，出射波的振幅為coute-β（x-L）2/2，入射波的振幅為cineβ（x-L）2/2。

圖1　一維彈性波分段線性衰減函數

當波通過完美匹配介質時，其幅值迅速衰減，利用這個特點，可以用有限區域來近似模擬無限區域問題，即對L＞LN的區域，令U（LN）=0。這就是完美匹配層的思想，完美匹配層就是有限區域的完美匹配介質。

假設令U（0）=1，U（LN）=0，寫成以出射波和入射波振幅來表示的矩陣形式為

其中α=β（LN-L）2，可以求得

即使α很小時，有限區域的解也能很好的近似無限區域的解。對于α≈4.6時，只有1%的出射波會反射。對于連續問題，增大α可以減小波的反射。而對于由有限差分或有限元近似得到的離散方程，增大α需要格外注意。如果β較大，進入PML的波會迅速衰減掉，有效地創建一個邊界層，但是如果離散的太粗糙，數值解會被惡意的反射污染。

2　方法驗證

圖2為最常用的中心支撐圓盤體模態諧振器示意圖，在諧振圓盤上有兩個區域：一是支撐區域，該區域位于支撐梁的上方，材料為多晶硅；二是外部區域，該區域位于支撐區域外部，材料為多晶金剛石［8］。支撐梁的中軸線與諧振圓盤對齊，材料為多晶硅。

應用上述完美匹配層方法，結合有限元數值仿真計算，將中心支撐圓盤體模態諧振器建模為如圖3所示的有限元模型。其中基底被分為有界區域和完美匹配層兩個部分，有界區域如同上一節所述，對波沒有吸收作用，并且在其邊界處，波可以任意穿過而不引起反射；外側部分為完美匹配層，對波有指數衰減的作用。這里之所以將基底模型建為球形是為了使波垂直入射，盡可能少的減小反射。這樣便以一個有限區域模擬了無限大基底中波的傳播問題。

圖2　中心支撐圓盤體模態諧振器

圖3　有限元模型示意圖

本文得到的固有頻率和錨點耗散品質因子同文獻［9］計算得到的結果對比列入表1中。可以看出，本文得到的結果同文獻中計算出的結果相差不大，說明本文方法是準確的。

表1　計算結果同文獻結果對比

3　結果討論與分析

圓盤體模態諧振器能量的耗散機理是：諧振盤的徑向振動帶動支撐梁的徑向振動，而支撐梁的徑向振動引起其軸向的變形，進而誘導出支撐梁與基底接觸區域的正應力，產生彈性波，該波通過基底向無窮遠處傳播并逐漸耗散掉，產生能量耗散。因此，從機理出發，改變支撐梁的結構應該會對能量耗散產生一定的改善。基于此種考慮，設計兩種支撐梁結構來探索其幾何結構對錨點能量耗散的影響。

3.1圓錐臺支撐梁

圖4為圓錐臺支撐梁圓盤體模態諧振器1/4截面示意圖。

圖4　圓錐臺支撐梁1/4截面示意圖

改變圓錐臺支撐梁底角θ的值，可以改變支撐梁與基底接觸區域的面積，當θ為銳角時，支撐梁與基底接觸區域的面積較原來增大，當θ為鈍角時，支撐梁與基底接觸區域的面積較原來減小。以θ為自變量，討論θ的變化對圓盤諧振器固有頻率和錨點耗散品質因子的影響，所得結果如圖5所示。

圖5　圓盤諧振器固有頻率和品質因子隨圓錐臺支撐梁底角變化關系

由圖5可以看出，改變圓錐臺支撐梁底角θ對圓盤諧振器的固有頻率幾乎沒有任何影響，這是因為圓盤諧振器振動時主要是面內振動，其剛度主要由圓盤本身及與其接觸區域的支撐梁來決定，這部分區域在圓錐臺支撐梁這種結構中沒有變化，因此圓盤諧振器固有頻率沒有變化。但是，改變支撐梁與基底接觸區域面積的大小會對這部分的正應力產生影響，而正應力又是產生彈性波（錨點耗散來源）的原因，因此隨著θ的變化，品質因子有較明顯的變化。當θ＜40°時，θ越小，諧振器的品質因子越高，因為隨著θ的減小，支撐梁與基底的接觸區域逐漸增大，正應力逐漸減小，所產生的彈性波能量減少，所以品質因子增大；而當θ＞90°（90°時支撐梁為圓柱支撐梁）時，隨著θ的增大，支撐梁與基底接觸區域面積減小，正應力增大，彈性波能量也應該會有增加，但是接觸區域的減小使能夠產生彈性波的區域隨之減小，而這又是此種情況下的主導因素，因此錨點處耗散的能量減小，品質因子增大；當40°≤θ≤90°時，由于支撐梁與基底接觸區域面積變化不大，所以品質因子也變化不大。

3.2空心支撐梁

這種結構設計的出發點是減小支撐梁與基底接觸區域面積，以減小接觸區的正應力，從而減小彈性波的產生來提高諧振器的品質因子。其1/4截面示意圖如圖6所示。

圖6　空心支撐梁1/4截面示意圖

改變空心支撐梁內徑大小，計算得到的結果如圖7所示。

圖7　圓盤諧振器固有頻率和品質因子隨空心支撐梁內徑變化關系

固有頻率隨著空心支撐梁內徑的增加幾乎沒有變化，說明無論是空心梁還是實心梁，其徑向剛度幾乎不隨內徑變化而變化。而品質因子卻隨著空心支撐梁內徑的增大而增大，并且從圖7中也可以發現，當內徑Rh＜0.5時，品質因子的增長速率比較慢，而當Rh＞0.5后，品質因子隨著內徑的增大而迅速增大，因為此時支撐梁壁板已經變得很薄，同基底的接觸區域很小，能量通過其的耗散量也變得非常少，品質因子因此就迅速增加，但是薄壁板的支撐梁強度較差，容易損壞，因此設計中不能做的太薄，根據實際情況選擇合適的內徑即可。

4　結語

應用完美匹配層方法，用有限區域來描述無限區域內的入射波吸收問題，針對中心支撐圓盤體模態諧振器的能量耗散特性進行了分析，設計出兩種新型的錨點支撐結構，并討論其幾何結構的變化對諧振器性能的影響。結果表明：圓錐臺支撐梁底角θ在小于20°和大于100°時可以明顯提高諧振器的錨點耗散品質因子；空心支撐梁在支撐梁內徑Rh大于0.5 μm時，其錨點耗散品質因子得到顯著提升，但優化工作中應注意，增大內徑雖然有助于提高能量的利用率，但是內徑太大會使支撐梁的壁板較薄，強度會減弱，因此，在設計時應選取滿足要求的最小內徑值。

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Energy DissipationAnalysis of Micromechanical Resonators with VariableAnchor Structures

ZHANGSha1，ZHANG Wen-ming2
（State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China）

Energy dissipation of micromechanical resonators is always inevitable in vibration process.There are several energy dissipation mechanisms，such as air damping dissipation，thermo-elastic damping dissipation，anchor loss，surface dissipation and so on.Of them，anchor loss is the main energy dissipation mechanism.In this paper，the perfectly matched layers method was adopted to transform the incident wave absorption problem in infinite domain into that in finite domain.Two different anchor structures of centrally-supported bulk-mode disk resonator were designed.And the influence of the geometrical changes of the structure on the inherent frequencies and anchor loss quality factor of the bulk mode disk resonator was discussed.The results show that the anchor loss quality factor can be greatly improved and the energy utilization efficiency can be raised by changing the anchor structure of the resonator.

vibration and wave；micromechanical resonator；anchor loss；perfectly matched layers；structure optimization

TB535.1

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2015.05.007

1006-1355（2015）05-0039-04

2015－01－21

國家自然科學基金項目（11322215）；霍英東青年教師基金項目（141050）

張廈（1987－），男，河北石家莊人，碩士生，主要研究方向：微機電系統動力學。

E-mail:ziying1282@sjtu.edu.cn

張文明（1978－），男，博士生導師。

E-mail:wenmingz@sjtu.edu.cn