畢達哥拉斯模糊軟集及其應用

彭新東，楊 勇，宋娟萍，蔣 蕓

（西北師范大學計算機科學與工程學院，蘭州730070）

·人工智能及識別技術·

畢達哥拉斯模糊軟集及其應用

彭新東，楊 勇，宋娟萍，蔣 蕓

（西北師范大學計算機科學與工程學院，蘭州730070）

直覺模糊軟集不能處理參數的隸屬度與非隸屬度之和大于1的情況，使決策過程受限，影響其應用范圍。針對該問題，結合畢達哥拉斯模糊集的特性與軟集的參數化，構造畢達哥拉斯模糊軟集。介紹畢達哥拉斯模糊軟集的補、并、交、且、或、加、乘、必須、可能等運算，給出運算結果，并討論其德摩根定律。設計基于畢達哥拉斯模糊整合算子的決策算法，分析該算法的計算復雜度，并將其應用到股票投資，應用結果證明了該算法的有效性。

畢達哥拉斯模糊軟集；整合算子；德摩根定律；計算復雜度；股票投資

中文引用格式：彭新東，楊 勇，宋娟萍，等.畢達哥拉斯模糊軟集及其應用［J］.計算機工程，2015，41（7）：224?229.

英文引用格式：Peng Xindong，Yang Yong，Song Juanping，et al.Pythagorean Fuzzy Soft Set and Its Application［J］.Computer Engineering，2015，41（7）：224?229.

1 概述

Molodstov于1999年從參數化的角度提出了一種新的處理不確定性問題的數學工具，即軟集［1］，并成功地將其應用到函數的平滑化、黎曼積分、測度論等數學分支中。

近年來，許多學者將軟集理論與其他數學模型相結合。Maji等在2001年將模糊集與軟集結合，提出了模糊軟集［2］，討論了相應的一些性質，隨后其提出了直覺模糊軟集［3］。2010年，文獻［4］將模糊軟集應用到文本分類；2013年，Yang等提出了多模糊軟集［5］，并將其應用到決策；結合雙極模糊集［6］的概念，Yang等又提出了一個應用更廣的模型，即雙極多模糊軟集［7］。為了解決模糊軟集信息隨時間動態變化的情形，文獻［8］提出時序模糊軟集。文獻［9］基于時序模糊軟集給出一個新的多屬性群決策算法。

由于直覺模糊軟集不能描述參數的隸屬度與非隸屬度之和大于1的情況，使得決策過程受到很大限制，影響了其應用范圍。因此，本文結合畢達哥拉斯模糊集［10?11］與軟集，提出畢達哥拉斯模糊軟集，允許參數中的隸屬度與非隸屬度之和大于1，但其平方和小于1，是直覺模糊軟集的一種推廣，并將其應用于股票投資中。

2 預備知識

定義1 設U為初始論域，E為參數集，P（U）為U的冪集，A?E，F：A→P（U），稱（F，A）為U上的一個軟集［1］。

定義2 設U為一個論域，U上形如I＝｛＜x， μI（x），的三元組稱為U上的一個直覺模糊集。 其中，μI∈［0，1］，νI∈［0，1］，且 μI+ νI≤1。 為了方便，記（μI，νI）為一個直覺模糊數（Intuitionistic Fuzzy Number，IFN）［12］。

定義3 設U為初始論域，E為非空參數集，為I（U）的所有直覺模糊集的全體，A?E，F：A→H（U），稱（F，A）為U上的一個直覺模糊軟集［3］。

定義4 設U為一個論域，U上形如P＝｛＜x，μP（x），νP（x）＞｜x∈U｝的三元組稱為U上的一個畢達哥拉斯模糊集。其中，μP∈［0，1］，νP∈［0，1］，且。為了方便，記（μP，νP）為一個畢達哥拉斯模糊數（Pythagorean Fuzzy Number，PFN）［13］。

易知畢達哥拉斯模糊數的隸屬空間比直覺模糊數大，如圖1所示［10］。

圖1 PFN與IFN的隸屬空間大小比較

定義5 給定畢達哥拉斯模糊數p，p1，p2，相應的運算式為［10?11，13］：

定理1 設p，p1，p2為畢達哥拉斯模糊數，λ＞0，λ1＞0， λ2＞0，則［10?11，13］：λ2

定義6 設p＝（μp，νp）是一個畢達哥拉斯模糊數，其得分函數為［13］：

其中，s（p）∈［-1，1］。對任意的2個畢達哥拉斯模糊數p1，p2，如果 s（p1） ＞s（p2），則 p1?p2；如果s（p1）＝s（p2），則 p1～p2，且?，～表示優于、相等運算。

3 畢達哥拉斯模糊軟集及其運算

3.1 畢達哥拉斯模糊軟集

定義7 設 U是一個集合，E是一個參數集，PFU表示U上所有畢達哥拉斯模糊集的全體，A?E，F：A→PFU是一個映射，則稱（F，A）是U上的一個畢達哥拉斯模糊軟集。

一個U上的畢達哥拉斯模糊軟集就是U上的一些畢達哥拉斯模糊子集構成的參數族。對于任意參數e∈A，F（e）是一個與e相關的畢達哥拉斯模糊軟集，可記為F（e）＝｛＜x，μp（x），νp（x）＞｜x∈U｝。

在實際決策過程中，相對于直覺模糊軟集，畢達哥拉斯模糊軟集描述的隸屬空間更大。克服了直覺模糊軟集參數的隸屬度與非隸屬度之和大于1的情況不能有效描述的缺陷，因此，其有更強的應用能力。

例1 設U＝｛x1，x2，x3｝代表3幅國畫的集合，A是參數集合，且A＝｛e1，e2，e3｝＝｛個人風格，審美心理，技巧難度｝。畢達哥拉斯模糊軟集（F，A）如下：

定義8 設U是一個集合，E是一個參數集，A，B?E，（F，A）和（G，B）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，若（F，A）和（G，B）滿足下列2個條件：

（1）A?B；

（2）?e∈B，x∈U，μA（x）≥μB（x），νA（x）≤νB（x）。

例2 設U上的畢達哥拉斯模糊軟集（G，B）如例1中定義，B＝｛e1｝，則畢達哥拉斯模糊軟集（G，B）定義如下：

定義9 設（F，A）和（G，B）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，若且，則稱（F，A）和（G，B）是畢達哥拉斯模糊軟相等，記為

定義10 設（F，A）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，若?e∈A，F（e）＝｛（1，0）｝，則稱（F，A）是滿畢達哥拉斯模糊軟集，記為UA；若?e∈A，F（e）＝｛（0，1）｝，則稱（F，A）是空畢達哥拉斯軟集，記為ΦA。

3.2 畢達哥拉斯模糊軟集運算

定義11 設（F，A）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，映射F：A→PFU；Fc（e）＝（F（e））c（?e∈A），則稱（Fc，A）為畢達哥拉斯模糊軟集的補，記為（F，A）c。

值得注意的是（F，A）c的參數集仍然為A，而不是?A。

例3 設U上的畢達哥拉斯模糊軟集（G，B）如例2中定義，則 Gc（e1）＝｛（0.8，0.6）／x1，（0.7，0.5）／x2，（0.6，0.7）／x3｝。

定義12 設（F，A）和（G，B）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，則（F，A）和（G，B）上的“且”記為（F，A）∧（G，B）＝（H，A×B），對?（α，β）∈A×B，x∈U，H（α，β）＝（min（μa，μβ），max（να，νβ））。

定義13 設（F，A）和（G，B）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，則（F，A）和（G，B）上的“或”記為（F，A）∨（G，B）＝（O，A×B），對?（α，β）∈A×B，x∈U，O（α，β）＝（max（μa，μβ），min（να，νβ））。

例4 設U上的畢達哥拉斯模糊軟集（G，B）定義為B＝｛e1，e2｝，則畢達哥拉斯模糊軟集（G，B）定義如下：

例5 結合例1與例4，則（F，A）和（G，B）上的“且”，“或”運算的結果如表1、表2所示。

表1 （F，A）和（G，B）上“且”運算后的結果

表2 （F，A）和（G，B）上“或”運算后的結果

定理2 設（F，A）和（G，B）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，則：

另一個公式的證明與其類似。

定義14 設（F，A）和（G，B）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，若C＝A∪B，且對?e∈C，有以下公式：

定義15 設（F，A）和（G，B）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，若C＝A∩B，且對?e∈C，H（e）＝F（e）∩G（e），則稱（H，C）是（F，A）和（G，B）的“交”，記為

例6 結合例1與例4，則（F，A）和（G，B）上的“并”，“交”運算的結果如表3、表4所示。

表3 （F，A）和（G，B）上“并”運算后的結果

表4 （F，A）和（G，B）上“交”運算后的結果

定理3 設（F，A）和（G，B）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，則：

由此可知，Hc（e）?～O（e），故原式得證。

另一個公式的證明與其類似。

定義16 設（F，A）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，畢達哥拉斯模糊軟集（F，A）λ（λ＞0）定義如下：

定義17 設（F，A）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，畢達哥拉斯模糊軟集λ（F，A）（λ＞0）定義如下：

λ（F，A）＝｛λF（e）｜e∈A｝

其中，λF（e）＝｛λpF（e）（x）｜x∈U｝。

定理4 設（F，A）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，λ＞0，則：

?e∈A，根據命題，可得（Fc（e））λ＝（λF（e））c。進而（（F，A）c）λ＝（λ（F，A））c。

另一個公式的證明與其類似。

定理5 設（F，A），（G，B）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，λ＞0，λ1＞0，λ2＞0，則：?e∈A，根據命題，可得 Fλ1（e）?Fλ2（e）＝Fλ1+λ2（e）。 進而（F，A）λ1?（F，A）λ2＝（F，A）λ1+λ2。

其余公式的證明與其類似。

定義18 設（F，A）和（G，B）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，則（F，A）和（G，B）的“加”運算定義如下：

其中，對?（α，β）∈A×B，H（α，β）＝F（α）⊕G（β）。

定義19 設（F，A）和（G，B）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，則（F，A）和（G，B）的“乘”運算定義如下：

其中，對?（α，β）∈A×B，O（α，β）＝F（α）?G（β）。

例7 結合例1與例4，則（F，A）和（G，B）上的“加”，“乘”運算結果如表5、表6所示。

表5 （F，A）和（G，B）上“加”運算后的結果

表6 （F，A）和（G，B）上“乘”運算后的結果

定理6 設（F，A）和（G，B）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，則：

設（F，A）⊕（G，B） ＝（H，A ×B），因此，（（F，A）⊕（G，B））c＝（H，A×B）c＝（Hc，A×B），（F，A）c?（G，B）c＝ （Fc，A）?（Gc，B）＝（O，A× B），對?（α，β）∈A×B，根據命題可知，Hc（α，β）＝（F（α）⊕G（β））c＝Fc（α）?Gc（β），又 O（α，β） ＝Fc（α）?Gc（β），因此，Hc（α，β）＝O（α，β）。 故原式得證。

另一個公式的證明與其類似。

定義20 設（F，A）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，則（F，A）的“必須”運算定義如下：

定義21 設（F，A）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，則（F，A）的“可能”運算定義如下：

定理7 設（F，A）和（G，B）是U上的畢達哥拉斯模糊軟集，則：

設（F，A）∪～（G，B）＝（H，C），其中，C＝A∪B，對?e∈C，有以下公式：

然后，□（（F，A）∪～（G，B））＝□（H，C），根據定義20得：

易知□（H，C）與（O，C）是同一個畢達哥拉斯模糊軟集，因此，原式得證。

另一個公式的證明與其類似。

4 基于畢達哥拉斯整合算子的決策算法

對于一個畢達哥拉斯模糊軟信息的決策問題，設U＝｛x1，x2，…，xm｝是一系列對象，A＝｛e1，e2，…，en｝是一系列參數。決策者提供了對象 xi（i＝1，2，…，m）在參數ei（i＝1，2，…，n）下的畢達哥拉斯模糊數的值為pij＝（μij，νij），可以構造一個畢達哥拉斯模糊軟決策矩陣 P＝｛pij｝m×n，其中，pij（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n）。

基于畢達哥拉斯整合算子的決策算法如下：

輸入 畢達哥拉斯模糊軟集（F，A）與權重向量w

輸出 最優對象xi

Step1 通過文獻［10?11］的畢達哥拉斯模糊加權平均（Pythagorean Fuzzy Weighted Average，PFWA）算子可以獲得對象xi整合后的畢達哥拉斯數pi：

Step2 通過式（1）計算每個對象 xi的得分函數s（pi）。

Step3 選擇最優的對象xi，當且僅當maix s（pi）。

對于該決策算法的計算復雜度（C）可以分為計算對象的畢達哥拉斯數（C1）、計算得分函數（C2）、計算相應的排序（C3）。

假設無論經過什么運算都算一個計算量，排序一次也算一個計算量，因此：

（1）對于每個對象xi（i＝1，2，…，m）的計算量為相應隸屬度與非隸屬度整合運算的次數之和，即C1＝2m。

（2）得分函數的計算復雜度為C2＝m。

（3）計算排序的復雜度可分為最好與最壞2種情況，采用快速排序算法，對于最好的情況復雜度為C31＝m lb m，對于最壞的情況復雜度為C32＝m2。

綜合上述，可知該算法的計算復雜度為 C1+ C2+C31＝3m+m lb m≤C≤3m+m2＝C1+C2+C32。

5 應用實例

設有5只市盈率比較高的互聯網股票集合U＝｛x1，x2，x3，x4，x5｝，A是 4個評判標準集合且A＝｛e1，e2，e3，e4｝＝｛大盤趨勢，政策導向，年報業績，流通市值｝。畢達哥拉斯模糊軟集如表7所示。

表7 畢達哥拉斯模糊軟集（F，A）

設一位資深股民想選擇一只股票進行投資，對每個影響股票的參數ei（i＝1，2，3，4）賦予相應的權重w1＝0.2，w2＝0.3，w3＝0.4，w4＝0.1。

根據式（2），可以計算出每個對象xi經整合后的畢達哥拉斯數 pi，p1＝（0.52，0.63），p2＝（0.66，0.48），p3＝（0.82，0.31）。p4＝（0.64，0.61），p5＝（0.57，0.48）再通過式（1）計算每個對象xi的得分函數為，s（p1）＝-0.126 5，s（p2）＝0.205 2，s（p3）＝0.576 3，s（p4）＝0.037 5，s（p5）＝0.094 5。

很明顯，s（p3） ＞ s（p2） ＞ s（p5） ＞ s（p4） ＞s（p1），因此，該股民會選擇股票x3進行投資。

6 結束語

本文結合畢達哥拉斯模糊集與軟集，提出畢達哥拉斯模糊軟集，并給出畢達哥拉斯模糊軟集的運算方法，討論其性質，設計基于畢達哥拉斯整合算子的決策算法。實例結果證明了該算法的有效性。下一步將探討畢達哥拉斯模糊軟集的信息測度（距離測度、相似度、包含度、子集度、熵測度）的公理化定義，研究相應的信息測度公式，并將其應用到專家的聚類分析中。

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編輯 劉 冰

Pythagorean Fuzzy Soft Set and Its Application

PENG Xindong，YANG Yong，SONG Juanping，JIANG Yun
（College of Computer Science and Engineering，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China）

In order to solve the problem that intuitionistic fuzzy soft set can not deal w ith the situation that the sum of membership degree and non?membership degree of the parameter is bigger than 1.Itmakes the decision processs lim ted，and affects the application range.This paper combines the characteristics of Pythagorean fuzzy set w ith the parameterization of soft set，and constructs Pythagorean fuzzy soft set.Some operations such as complement，union，intersection，and，or，addition，multiplication，necessity，and possibility are defined.Some corresponding results are presented，and the De Morgan’s Law of Pythagorean fuzzy soft sets are discussed in detail.A decision making algorithm based Pythagorean fuzzy aggregation operator is proposed.This paper analyses the computational complexity of this algorithm，and applies it to stock investment.Experimental results show that the algorithm is effectiveness.

Pythagorean fuzzy soft set；aggregation operator；De Morgan’s law；computational complexity；stock investment

1000?3428（2015）07?0224?06

A

TP301

10.3969／j.issn.1000?3428.2015.07.043

國家自然科學基金資助項目（61163036）。

彭新東（1990-），男，碩士研究生，主研方向：決策支持系統，專家系統；楊 勇（通訊作者），教授、博士；宋娟萍，碩士研究生；蔣 蕓，教授、博士。

2014?11?28

2014?12?22E?mail：yangzt＠nwnu.edu.cn