運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的磁性目標(biāo)實(shí)時(shí)定位方法

于振濤，呂俊偉，許素芹，周靜

(1.海軍潛艇學(xué)院 航海觀通系，山東青島266001;2.海軍航空工程學(xué)院控制工程系，山東 煙臺(tái) 264001;3.海軍92474部隊(duì)，海南三亞572018)

磁性目標(biāo)探測(cè)是根據(jù)武器裝備等磁性目標(biāo)的磁場(chǎng)特性進(jìn)行探測(cè)、定位和識(shí)別的技術(shù)，航空磁探潛是磁性目標(biāo)探測(cè)的一個(gè)重要軍事應(yīng)用［1-3］。目前磁性目標(biāo)探測(cè)定位方法有磁場(chǎng)單分量定位方法、磁場(chǎng)三分量定位方法和磁場(chǎng)梯度張量定位方法等。近幾年，磁梯度張量測(cè)量逐漸成為磁探技術(shù)的研究熱點(diǎn)。美國(guó)、德國(guó)、澳大利亞等國(guó)家相繼研制出一系列磁梯度張量探測(cè)儀器系統(tǒng)，并開(kāi)展了航空探測(cè)試驗(yàn)［4-6］。與其他傳統(tǒng)磁測(cè)方法相比，磁梯度張量測(cè)量有比較突出的優(yōu)勢(shì)，甚至被認(rèn)為是磁法勘探的下一次突破［7］。

目前的磁梯度張量定位方法可以分為單測(cè)量點(diǎn)定位方法和多測(cè)量點(diǎn)定位方法。單測(cè)量點(diǎn)磁梯度張量定位方法是通過(guò)磁梯度張量值和目標(biāo)磁場(chǎng)值解算出目標(biāo)和測(cè)量系統(tǒng)的相對(duì)位置，其特點(diǎn)是定位速度快、定位精度高，可以實(shí)現(xiàn)基于單一測(cè)量點(diǎn)的磁性目標(biāo)定位［8-10］。然而在磁梯度張量定位過(guò)程中測(cè)得的目標(biāo)磁場(chǎng)不可避免地會(huì)受到地磁場(chǎng)和系統(tǒng)定向誤差的影響，使得目標(biāo)的探測(cè)定位難以實(shí)現(xiàn)［11-12］。基于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的多測(cè)量點(diǎn)定位方法利用多空間點(diǎn)的磁梯度張量進(jìn)行探測(cè)定位，可以彌補(bǔ)單測(cè)量點(diǎn)定位方法的不足，但是目前基于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的定位方法需要求解非線性方程組，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，實(shí)時(shí)性不強(qiáng)［12-13］。

本文根據(jù)磁梯度張量定位原理，通過(guò)單點(diǎn)磁梯度張量定位算法的微分推導(dǎo)，提出了基于磁場(chǎng)三階張量的目標(biāo)定位算法，并結(jié)合運(yùn)動(dòng)平臺(tái)探測(cè)定位靜止磁性目標(biāo)的特點(diǎn)，研究了磁梯度張量與磁場(chǎng)三階張量的微分?jǐn)?shù)學(xué)關(guān)系，提出了基于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的磁性目標(biāo)實(shí)時(shí)定位方法。該方法利用運(yùn)動(dòng)平臺(tái)3個(gè)連續(xù)觀測(cè)點(diǎn)的磁梯度張量值實(shí)現(xiàn)磁性目標(biāo)的實(shí)時(shí)探測(cè)定位。最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)該定位算法進(jìn)行了驗(yàn)證，并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行了理論分析。

1 單點(diǎn)磁梯度張量定位原理

1.1 磁梯度張量

磁場(chǎng)是一個(gè)矢量場(chǎng)，其三分量Bx、By、Bz在空間3個(gè)方向的變化率即為磁梯度張量，包括9個(gè)要素，表達(dá)式為:

在沒(méi)有空間電流密度的觀測(cè)區(qū)域，磁場(chǎng)的散度和旋度都為0，即

因此磁梯度張量G矩陣具有對(duì)稱性，即:

磁梯度張量中的9個(gè)要素有5個(gè)是獨(dú)立的，因此只需要測(cè)量5個(gè)要素就可以得到磁梯度張量G。

1.2 磁梯度張量測(cè)量系統(tǒng)

目前磁梯度張量測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可以分為平面結(jié)構(gòu)和空間結(jié)構(gòu)，平面結(jié)構(gòu)中的三角形結(jié)構(gòu)為研究熱點(diǎn)。三角形測(cè)量系統(tǒng)由3個(gè)3軸磁力儀組成，分別位于等邊三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，如圖1所示。

圖1 三角形磁梯度張量測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 The triangle system of magnetic gradient tensor

根據(jù)差分方程，三角形測(cè)量系統(tǒng)的磁梯度張量計(jì)算公式如下

1.3 磁梯度張量定位算法

當(dāng)探測(cè)距離大于2.5倍的磁性目標(biāo)長(zhǎng)度時(shí)，磁性目標(biāo)可以視為一個(gè)磁偶極子［14-15］。在此條件下，距離磁性目標(biāo)r處的磁場(chǎng)可以表示為［9］

式中:m為磁性目標(biāo)的磁矩，μ0為真空磁導(dǎo)率，r=為測(cè)量點(diǎn)相對(duì)磁性目標(biāo)的距離。

根據(jù)歐拉公式可以得到目標(biāo)的位置信息與磁場(chǎng)矢量B和磁梯度張量G的線性關(guān)系［11］:

式(7)為單點(diǎn)磁梯度張量定位算法，已知單一觀測(cè)點(diǎn)的目標(biāo)磁場(chǎng)B和磁梯度張量G可實(shí)現(xiàn)磁性目標(biāo)定位。在實(shí)際測(cè)量中會(huì)受地磁場(chǎng)的影響，由于地磁場(chǎng)的梯度比較小，一般小于0.02 nT/m，其遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于磁性目標(biāo)磁場(chǎng)的梯度張量，因此磁梯度張量的測(cè)量可以不受地磁場(chǎng)的影響。但地磁場(chǎng)會(huì)給目標(biāo)磁場(chǎng)B的測(cè)量帶來(lái)很大誤差，導(dǎo)致單點(diǎn)磁梯度張量定位方法失效。

目前解決此問(wèn)題的方法為:將式(6)代入式(7)，得到磁梯度張量G與位置參數(shù)r的關(guān)系式:

然后利用多個(gè)測(cè)量點(diǎn)的磁梯度張量，構(gòu)建關(guān)于位置參數(shù)的非線性定位方程組，并通過(guò)智能優(yōu)化算法解算位置參數(shù)［12-13］。但此方法計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，不能實(shí)現(xiàn)磁性目標(biāo)的實(shí)時(shí)定位。

2 運(yùn)動(dòng)平臺(tái)實(shí)時(shí)定位方法

2.1 磁場(chǎng)三階張量定位算法

對(duì)單點(diǎn)磁梯度張量定位算法，式(7)求空間導(dǎo)數(shù)可得:

設(shè)

式中:T為磁梯度張量的空間導(dǎo)數(shù)，稱為磁場(chǎng)三階張量，式(10)可以表示為

式(12)為基于磁場(chǎng)三階張量的磁性目標(biāo)定位公式，即利用單點(diǎn)磁場(chǎng)三階張量T和磁梯度張量G可以實(shí)現(xiàn)磁性目標(biāo)的定位。

2.2 基于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)磁梯度張量?jī)x的定位方法

當(dāng)載體平臺(tái)在平動(dòng)條件下探測(cè)定位靜止磁性目標(biāo)時(shí)，設(shè)平臺(tái)第i個(gè)采樣位置點(diǎn)相對(duì)磁性目標(biāo)的位置參數(shù)為ri，由于磁梯度張量G和磁場(chǎng)三階張量T為位置參數(shù)r的函數(shù)，因此平臺(tái)第i個(gè)采樣位置點(diǎn)的磁梯度張量值和磁場(chǎng)三階張量值可以表示為G(ri)和T(ri)。根據(jù)磁傳感器的采樣頻率和載體平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)速度可知，對(duì)于常規(guī)探測(cè)距離滿足平臺(tái)采樣間隔位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其相對(duì)目標(biāo)的位移，即由于磁場(chǎng)三階張量T(ri)為磁梯度張量G(ri)的空間導(dǎo)數(shù)，因此3個(gè)連續(xù)采樣點(diǎn)存在以下關(guān)系式:

上式等式兩邊分別右點(diǎn)乘ri可得:

根據(jù)磁場(chǎng)三階張量T的對(duì)稱性，通過(guò)張量運(yùn)算上式可以表示為

根據(jù)式(12)可知:

將式(16)代入式(15)，得:

式(17)為基于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)磁梯度張量?jī)x的磁性目標(biāo)實(shí)時(shí)定位算法。式中G(ri－1)、G(ri)和G(ri+1)為磁梯度張量?jī)x3個(gè)連續(xù)采樣點(diǎn)的測(cè)量值;(ri+1－ri－1)為i－1 點(diǎn)到i+1 點(diǎn)的平臺(tái)位移，(ri+1－ri－1)=2Δr，其值可以由平臺(tái)的導(dǎo)航系統(tǒng)提供。當(dāng)載體平臺(tái)勻速平動(dòng)時(shí)，采樣間隔位移Δr為定值，定位式(17)可表示為

該定位算法利用載體平臺(tái)的3個(gè)連續(xù)磁梯度張量測(cè)量值和載體平臺(tái)的平動(dòng)參數(shù)，可實(shí)時(shí)求出載體平臺(tái)相對(duì)磁性目標(biāo)的位置，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)磁性目標(biāo)的定位。目前基于磁梯度張量的目標(biāo)定位方法為利用多測(cè)量點(diǎn)的磁梯度張量值，通過(guò)優(yōu)化算法求解非線性方程組實(shí)現(xiàn)目標(biāo)定位，此計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，定位速度慢，實(shí)時(shí)性不強(qiáng)。而本文提出的實(shí)時(shí)定位方法計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)潔，不需要求解非線性方程組，可以實(shí)現(xiàn)磁性目標(biāo)的實(shí)時(shí)探測(cè)定位。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)利用運(yùn)動(dòng)載體平臺(tái)定位靜止磁性目標(biāo)，載體平臺(tái)搭載磁梯度張量測(cè)量系統(tǒng)。設(shè)磁性目標(biāo)位于空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以地理正東向?yàn)閤軸，正北向?yàn)閥軸，垂直向上為z軸。仿真實(shí)驗(yàn)初始條件為:磁性目標(biāo)的磁矩m為(5×107，1×106，1×106)A·m2;載體平臺(tái)在t0時(shí)刻的坐標(biāo)為(－200，－200，100)m，平臺(tái)采樣頻率為10 Hz，采樣間隔位移Δr為(3，4，0)m，平臺(tái)運(yùn)動(dòng)速度為 50 m/s;仿真實(shí)驗(yàn)采用平面三角形磁梯度張量測(cè)量系統(tǒng)，其中磁力儀的測(cè)量精度為0.01 nT，系統(tǒng)基線為0.5 m。仿真實(shí)驗(yàn)載體平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程如圖2所示。

仿真流程如下:根據(jù)磁偶極子數(shù)學(xué)模型和載體平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，仿真采樣時(shí)刻點(diǎn)ti的平臺(tái)磁梯度張量測(cè)量值G(ri)(采樣時(shí)刻點(diǎn)ti對(duì)應(yīng)的位置參數(shù)為ri);然后將3個(gè)連續(xù)采樣點(diǎn)的仿真測(cè)量值G(ri－1)、G(ri)和G(ri+1)以及采樣間隔位移 Δr代入定位式(18)，求出時(shí)刻點(diǎn)ti的位置參數(shù)為ri，從而實(shí)現(xiàn)基于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的磁性目標(biāo)定位。

圖2 仿真實(shí)驗(yàn)載體平臺(tái)運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.2 The motion of vehicle platform in simulation experiment

3.1 探測(cè)定位仿真結(jié)果

圖3為初始仿真條件下各時(shí)刻點(diǎn)的磁性目標(biāo)探測(cè)定位誤差。

圖3 初始仿真條件下探測(cè)定位誤差Fig.3 The localization error in original simulation condition

分析仿真結(jié)果可知，本文提出的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)實(shí)時(shí)定位方法對(duì)磁性目標(biāo)有很好的定位效果，在400 m探測(cè)范圍內(nèi)，探測(cè)定位誤差小于10 m;載體平臺(tái)距離磁性目標(biāo)越近，探測(cè)定位誤差越小。

3.2 磁力儀測(cè)量精度對(duì)定位誤差的影響

圖4 不同磁力儀測(cè)量精度的磁定位誤差Fig.4 The localization error of different magnetometer precision

圖4為磁梯度張量測(cè)量系統(tǒng)中磁力儀測(cè)量精度分別為 0.1、0.01、0.001 nT 時(shí)，該實(shí)時(shí)定位方法計(jì)算得出的仿真結(jié)果。分析仿真結(jié)果可知，磁力儀的測(cè)量精度越高，實(shí)時(shí)定位方法對(duì)遠(yuǎn)距離磁性目標(biāo)的定位誤差越小;在3～5 s的時(shí)間段內(nèi)，3個(gè)磁力儀精度都有很好的定位效果。

3.3 系統(tǒng)基線對(duì)定位誤差的影響

圖5為磁梯度張量測(cè)量系統(tǒng)基線分別為0.25、0.5、1 m時(shí)實(shí)時(shí)定位算法的探測(cè)定位仿真結(jié)果。由仿真結(jié)果可知，在3～5 s的時(shí)間段內(nèi)，3個(gè)系統(tǒng)基線值都有很好的定位效果;但對(duì)于遠(yuǎn)距離磁性目標(biāo)，系統(tǒng)基線越大探測(cè)定位效果越好。

圖5 不同測(cè)量系統(tǒng)基線定位誤差Fig.5 The localization error of different baseline intervals

4 仿真結(jié)果分析

以上仿真結(jié)果表明本文提出的磁梯度張量實(shí)時(shí)定位方法可以有效探測(cè)定位磁性目標(biāo)，磁力儀精度和系統(tǒng)基線是影響遠(yuǎn)距離目標(biāo)探測(cè)定位效果的主要因素。分析仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，搭載磁梯度張量系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)探測(cè)水下大型磁性目標(biāo)的典型距離為400 m，在此典型探測(cè)距離條件下，系統(tǒng)基線為0.5 m，磁力儀精度為0.1 nT。下面根據(jù)實(shí)時(shí)定位方法的基本原理對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行理論分析。由式(6)得:

通過(guò)微分可以得到磁梯度張量的表達(dá)式:

通過(guò)理論計(jì)算各時(shí)刻點(diǎn)磁梯度張量和磁場(chǎng)三階張量的Frobenius范數(shù)分別如圖6和圖7所示。

由運(yùn)動(dòng)平臺(tái)實(shí)時(shí)定位方法的原理可知，目標(biāo)定位效果與ti－1和ti+1時(shí)刻點(diǎn)磁梯度張量的差G(ri+1)－G(ri－1)直接相關(guān)，即磁場(chǎng)三階張量的F范數(shù)越大該定位方法的定位效果越好。根據(jù)圖7所示，各時(shí)刻點(diǎn)磁場(chǎng)三階張量的F范數(shù)可知，在3～5 s的時(shí)間段內(nèi)磁場(chǎng)三階張量的F范數(shù)較大，這可以解釋圖3中3～5 s的時(shí)間段內(nèi)定位效果較好的仿真結(jié)果。同理磁場(chǎng)三階張量的F范數(shù)越大所需磁力儀的測(cè)量精度越低，因此圖7也可以解釋圖4仿真結(jié)果中3～5 s的時(shí)間段內(nèi)較低磁力儀精度也有較好定位效果的現(xiàn)象。

圖6 各時(shí)刻點(diǎn)磁梯度張量的F范數(shù)Fig.6 The F norm of magnetic gradient tensor of time point

圖7 各時(shí)刻點(diǎn)磁場(chǎng)三階張量的F范數(shù)Fig.7 The F norm of magnetic third order tensor of each time point

當(dāng)磁梯度張量測(cè)量系統(tǒng)中磁力儀的測(cè)量精度不變時(shí)，由測(cè)量系統(tǒng)的原理可知系統(tǒng)基線越小磁力儀間測(cè)量值的差越小，如果差值接近磁力儀的測(cè)量精度，磁梯度張量的測(cè)量將會(huì)有較大誤差。由圖7磁場(chǎng)三階張量的F范數(shù)的變化可知，當(dāng)測(cè)量系統(tǒng)距離磁性目標(biāo)較遠(yuǎn)時(shí)磁場(chǎng)三階張量較小，此時(shí)應(yīng)選用較大的系統(tǒng)基線否則將會(huì)導(dǎo)致較大定位誤差。以上分析可以解釋圖5仿真結(jié)果中較大系統(tǒng)基線對(duì)遠(yuǎn)距離磁性目標(biāo)有較好定位效果的結(jié)論。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在磁梯度張量定位原理的基礎(chǔ)上，通過(guò)研究磁性目標(biāo)磁場(chǎng)梯度張量的空間導(dǎo)數(shù)，提出了基于磁場(chǎng)三階張量的目標(biāo)定位算法，并在此基礎(chǔ)上建立了運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的實(shí)時(shí)定位方法。該定位方法計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)潔，不需要求解非線性方程組，可以實(shí)現(xiàn)磁性目標(biāo)的實(shí)時(shí)定位。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)該定位方法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明該定位方法對(duì)磁性目標(biāo)有很好的探測(cè)定位效果，不足之處在于對(duì)載體平臺(tái)和磁性目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都有要求，不適用于運(yùn)動(dòng)磁性目標(biāo)的探測(cè)定位。在下一步的研究工作中需要在此方法的基礎(chǔ)上研究運(yùn)動(dòng)磁性目標(biāo)的探測(cè)定位技術(shù)。

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