彈性車輪縱向力刷子模型分析

李波，趙又群，陳月喬，李小龍，臧利國

(南京航空航天大學能源與動力學院，江蘇南京210016)

車輪是汽車的重要組成部件，是汽車與地面接觸的唯一媒介，起到支撐負荷，向地面傳遞制動力、驅動力和轉向力，以及緩沖減振的作用。此外，車輪具有安全性、耐久性、經濟性和舒適性等要求，而安全性尤為重要。由于車輪要承受來自不良路面的磕碰以及可能遭遇穿孔、爆胎等情況，嚴重時甚至危及乘員安全，所以為適應現代汽車工業的發展需要，彈性車輪應運而生［1-4］。在充氣車輪建模領域已經有大量的研究工作［5-9］，具體類型可以分為經驗模型和物理模型。經驗模型主要根據輪胎實驗數據，通過函數擬合或插值方法給出研究車輪特性的公式;后者則是根據車輪與路面之間的相互作用機理和力學關系建立模型，只在模擬力或力矩產生機理和過程［10-12］。在物理模型中，車輪通常被簡化為具有給定的物理特性的徑向排列彈性單元體。為了讓模擬更加準確，還要給出這些彈性單元體在道路表面的滑動能力，以及由于相鄰單元體連接或包絡的胎面引起的約束。然而，國內外對彈性車輪的研究卻很少，T.B.Rhyne等分析對比了充氣車輪和彈性車輪的4個主要性質，認為彈性車輪在某些方面更具有優勢。

本文利用刷子模型［13］建立彈性車輪在剛性路面上驅動力方程，對比分析自由滾動和驅動狀態下垂向力分布函數的變化，并深入研究了彈性梁厚度和滑移率對縱向合力的影響。

1 彈性車輪簡化模型

與 Tweel類似，如圖 1(a)［11，13］，本文研究的彈性車輪主要由彈性梁、剛性輪轂和輪輻組成，如圖1(b)和1(c)所示。彈性梁用來代替充氣車輪的內胎，起緩沖減震的作用，剛性輪轂和輪輻起到支撐作用。彈性梁由中心的彈性材料和內外兩層不可伸縮的薄膜組成，這樣使彈性梁具有一定的剛度。在具體分析過程中，將忽略胎面的影響，并將輪轂定義為剛性，重點分析環形彈性梁變形受力情況。

圖1 米其林Tweel及本文研究彈性車輪Fig.1 Tweel and our elastic wheel

2 刷子模型構建

利用刷子模型(brush model)把結構進行簡化，把彈性車輪的彈性梁看做連接在剛性基座(輪轂)上的一系列可以產生伸縮變形的彈性刷毛所組成，這些刷毛能起到承受垂向載荷以及產生車輪縱向和側向力的作用［13］，如圖2所示。在純滾動工況下，刷毛的變形如圖2(a)所示，彈性梁接地區域長為2a，由于路面摩擦力的作用，當車輪滾動速度大于車輪平移速度時，此時刷毛接地端有“粘附于路面”的趨勢，從而使刷毛單元產生變形，其兩端產生速度差，如圖2(b)所示。

刷毛區域長2a，高度h，以刷毛單元A－A1為例，其運動形式如圖3所示。相對于車輪中心，刷毛單元A點以角速度w向后轉動，下端A1由于路面附著的作用，以角速度u/(r+h)向后轉動。因此，刷毛在x方向的縱向變形Δx，則有:

圖2 基于刷子模型的車輪縱向力產生機理Fig.2 Longitudinal force mechanism based on brush model

圖3 刷子模型縱向受力圖Fig.3 Longitudinal force diagram of brush model

假設產生正比于刷毛單元縱向形變的單元彈性力:

式中:cex為刷毛單元縱向剛度。

因此，整個接觸區域的縱向力可以由積分得出:

若將縱向力簡化為

式中:cx=2cexa2為彈性梁縱向滑轉剛度。

由式(4)看出，彈性梁縱向力與滑轉率成線性正比關系，但是此模型還沒有考慮達到或超過地面附著極限值時的情況，因此需要對模型進行修正。首先考慮彈性梁接地印跡內的垂向載荷分布情況，顯然，在自由滾動狀態(如圖2(a))接地印跡中心的垂向壓力最大，前后逐漸減小為零，下面根據刷子模型求解接地印跡上垂向壓力分布(如圖4)。在接觸區x點處，以刷毛單元A－A1為例分析垂向變形Δz。根據幾何關系可以求解。

圖4 刷子模型垂向受力圖Fig.4 Vertical force diagram of brush model

式中:cez為彈性梁垂向剛度，若垂向力Fz為已知，可由表達式求出。

若地面附著系數為μ，則每一個單元的最大縱向力有如下關系式:

彈性車輪接地區域縱向力Fex的分布如圖5，可以看出，臨界點xs將整個接地區域分為兩部分:前部分為附著區;后部為滑移區。

圖5 自由滾動狀態時接地區域驅動力分布情況Fig.5 Driving force distribution in ground contact area at free rolling state

在車輪驅動時，接地印跡垂向壓力最大值就會偏離中心，接地印跡上垂向壓力分布就不是式(6)，而要考慮滑移率的影響。假定驅動狀態接地印跡壓力分布為

式中:d為壓力分布系數，可以控制壓力分布形狀，決定最大壓力在向左或向右移動。，否則在接觸區內會出現負壓力值。如圖6所示，不同的d對應不同的曲線，根據實際情況選擇最合適的曲線是比較困難的。實際上，壓力分布會隨著周圍環境發生劇烈變化。

圖6 不同的d對應不同的壓力分布曲線Fig.6 Pressure distribution curves for different d values

關于cez的值，若載荷Fz為已知，可根據如下方程求解

同樣求解xs，可以根據如下方程求解:

根據式(2)和(7)

因此整個接地印跡的縱向力為兩部分之和，即

車輪靜摩擦系數μst要大于滑動摩擦系數μsd，所以彈性車輪滑移區縱向力應該表示為

3 縱向力參數分析

如圖7所示縱向力Fx與彈性梁滑轉率σx之間的關系曲線。從圖中當σx增大到0.3時，Fx取最大值，隨后變化平穩。

圖7 縱向力Fx與彈性梁滑轉率σx之間的關系曲線Fig.7 Relationship curve between longitudinal force Fxand slip rate of elastic beam σx

圖8 彈性梁的厚度h與彈性梁滑轉率σx的關系圖Fig.8 Relationship curve between thickness of elastic beam h and slip rate of elastic beam σx

如圖9所示，隨著彈性梁的厚度h變大縱向力Fx急劇增大，直到h→0.1時，Fx取得最大值。但h增大會導致縱向剛度的減小，因為縱向力繼續增大。

圖9 彈性梁的厚度h與彈性車輪縱向力Fx的變化關系Fig.9 Relationship curve between thickness of elastic beam h and longitudinal force Fx

4 結論

在剛性路面上，將彈性車輪進行簡化，給出了基于刷子模型的彈性車輪縱向力模型。根據刷毛幾何變形條件和滑移理論，建立了自由滾動狀態車輪接地印跡的垂向力和縱向力分布函數。根據彈性車輪的特點，建立彈性梁厚度與驅動力的關系，以及彈性梁滑移率與驅動力的關系，具體結論如下:

1)當 σx∈(0，0.3)時，彈性車輪縱向力Fx隨著縱向滑移率σx的增大而增大，當σx∈(0.3，1)時，隨著縱向滑移率σx的增大，Fx幾乎不發生變化。

2)隨著彈性梁的厚度h增大彈性梁滑轉率σx增大，而且上升速率變大。

3)，隨著彈性梁的厚度h變大縱向力Fx急劇增大，直到h→0.1時，Fx取得最大值。

［1］管欣，王鵬，詹軍，等.金屬彈性車輪的建模與動態仿真研究［J］.中國機械工程，2007，18(21):2637-2641.GUAN Xin，WANG Peng，ZHAN Jun，et al.Modeling and dynamic analysis of a metal elastic wheel［J］.China Mechanical Engineering，2007，18(21):2637-2641.

［2］岳紅旭，趙又群.一種新型安全車輪的非線性有限元分析［J］.中國機械工程，2012，23(11):1380-1385.YUE Hongxu，ZHAO Youqun.Nonlinear finite element analysis of a new safety wheel［J］.China Mechanical Engineering，2012，23(11):1380-1385.

［3］汪偉，趙又群，姜成，等.新型機械彈性安全車輪的力學傳遞特性分析［J］.江蘇大學學報，2013，34(3):261-266.WANG Wei，ZHAO Youqun，JIANG Cheng，et al.Characteristics analysis of mechanical transmission for a new mechanical elastic wheel［J］.Journal of Jiangsu University，2013，34(3):261-266.

［4］RHYNE T B，CRON S M.Development of a non-pneumatic wheel 3［J］.Tire SciTechnol，2006，34:150-169.

［5］GUO K，LIU Q.A generalized theoretical model of tire cornering properties in steady state condition［R］.(s.l.):SAE Technical Paper，1997.

［6］GUO K，LU D.UniTire:unified tire model for vehicle dynamic simulation［J］.Vehicle System Dynamics，2007，45(S1):79-99.

［7］GUO K，LU D，CHEN S，et al.The UniTire model:a nonlinear and non-steady-state tyre model for vehicle dynamics simulation［J］.Vehicle System Dynamics，2005，43(supll):341-358.

［8］PACEJKA H B，BESSELINK I J M.Magic formula tyre model with transient properties［J］.Vehicle System Dynamics:International Journal of Vehicle Mechanics and Mobility，1997，27(S1):234-249.

［9］PACEJKA H B，BAKKER E.The magic formula tyre model［J］.Vehicle System Dynamics:International Journal of Vehicle Mechanics and Mobility，1992，21(S1):1-18.

［10］SVENDENIUS J，GAFVERT M，BRUZELIUS F，et al.Experimental validation of the brush tire model 5［J］.Tire Science and Technology，2009，37(2):122-137.

［11］GAFVERT M，SVENDENIUS J.A novel semi-empirical tyre model for combined slips［J］.Vehicle System Dynamics，2005，43(5):351-384.

［12］SVENDENIUS J，G?FVERT M.A semi-empirical dynamic tire model for combined-slip forces［J］.Vehicle System Dynamics，2006，44(2):189-208.

［13］GORDON T.Vehicle dynamics lectures notes［R］.Ann Arbor:University of Michigan，2004.