支持分布式大數據應用建模的模型理論

張文燚，項連志，王小芳

(1.哈爾濱工程大學電子政務建模仿真國家工程實驗室，北京100037;2.哈爾濱工程大學計算機科學與技術學院，黑龍江哈爾濱150001)

海量的大數據［1］資源的組織結構，不可避免地呈現出大規模網絡化分布的基本特征，從而導致了大數據分析應用的物理模型自然呈現出大規模網絡化分布的特征。大規模分布式網絡應用主要是以多組件分工協作的形式存在的，因此，研究支持網絡分布式多組件協作應用建模的模型理論，完善面向大規模分布式網絡應用的模型架構，對于推動大數據分析應用的快速發展具有重要意義。1991年，ROGER S.CHIN發表了以構建基于分布對象的編程系統(DOBPS)［2］為目的，支持網絡分布式多組件協作應用建模的物理參考模型。由于DOBPS沒有把支持分布式對象交互的協議實體納入資源管理，這使得分布式組件協作只能被表達為一種動態機制而不是靜態模型;同時，DOBPS和許多面向對象的分析設計方法(OOA、OOD)一樣，在對象交互方面的研究較少，既沒能較好地借助對象交互表達業務規則，又沒能較好地刻畫復雜對象交互過程的動態全景［3］，也沒能給出可操作的對象交互形式框架［4］。PVM［5］、OGSA［6］、Cougaar［7］等均未能給出普遍適用的分布式應用模型架構。Peter Wegner于1993年指出，面向對象的軟件工程范式與圖靈算法的邏輯編程范式是不相容的［8］，1997年進一步指出，無法借助一階邏輯形式化交互系統［4］。1998年，Peter Wegner正式給出了支持對象交互建模的經驗主義計算模型［9］，但是，該模型仍試圖兼容一階邏輯的形式化模型，導致該模型定義的語用只可解釋、不能操作，從而嚴重影響了該模型的實用價值。2003年，文獻［10］給出了一種支持刻畫業務規則和動態全景的目標操作化對象交互模型，但是該模型的一般性是借助自然同態映射表達的，沒有給出嚴格的形式證明，很大程度上限制了模型的推廣應用。由此可見，在大數據應用需求驅動著大規模分布網絡應用快速發展的新時代，建立一種面向分布式大數據應用、支持多組件協作應用建模的、一般實用的模型理論，具有重要的現實意義。

本文首先定義分布式大數據組織上的應用問題，并給出問題求解過程的算子復合表達式，進而基于交互式計算范疇的定義，建立研究交互式計算的模型理論，最后借助一個標準差計算應用樣例，展示該模型理論在分布式大數據應用建模中的實際應用。

1 分布式大數據應用問題

在文獻［11］中，大數據是以原始痕跡記錄的形式存在的，痕跡記錄形式是借助痕跡代數S=＜sT，opp，opr，opl，opb＞表達的，其中:

sT={st1，st2，…|t1，t2，…∈T}為場景，其中sti為每個時刻的活動痕跡，sti=sTi-sTi-1且Ti=Ti-1∪{ti}。文獻［12］中記為sT的子場景。

st=(t，Me(O))為活動痕跡，其中t是實體實例消息的產生時刻，Me(O)={(o)|i=1，2，..，o∈O，·m·id∈IDj，IDj?ID}是t時刻所有宿主產生的實體實例消息集合，O代表宿主集合，IDj代表消息編號集合，ID為消息編號全集。

me(o)=({(ai，xi)}，m(o))為實體實例的消息，其中{(ai，xi)}=xi1⊕xi2⊕…代表實體實例標識，其中I=＜i1，i2，…＞為名稱項腳標序列，m(o)為消息。

可見，文獻［11-12］只把表示大數據的某個時刻的痕跡視為該時刻場景內所有實體實例消息的集合，但是不考慮痕跡的內在結構。為了展開對分布式大數據應用建模的討論，本文把分布式大數據組織視為多個子場景的復合結構，子場景為多個實體的復合結構，實體為多個實體實例消息的復合結構，從而定義分布式大數據組織如下:

定義1 分布式大數據組織:稱場景sT的結構化表達sT=(ns，ξ({(，)，j=1，2，…}))為分布式大數據組織。其中，ns為場景名，ξ為場景復合函數，為子場景名，=w({(，ep)，p=1，2，..}為子場景，w為子場景復合函數，為實體名，p為子場景中包含的實體ep的編號，ep=v({(，)})為實體，v為實體復合函數，為實體實例消息標識，k為實體ep中包含的實體實例消息的編號，=u({(αi，xi(t))，i=1，2，..})為實體實例消息，u為實體實例消息復合函數，αi為屬性名，xi(t)為t時刻屬性值，i為實體實例消息中包含的屬性值編號。稱{()}為子場景組織集合，記為d。

分布式大數據組織的結構展開形式為:sT=(ns，(t))}))}))}))}))。不失一般性，本文將分布式大數據組織表達為(Z0)))}))，其中:

1)Z0={(t)，i=1，2，…，n0}為屬性值的集合，其中(t)=(αi，xi(t))，n0為屬性值個數。

2)zs=(nK+1，δ)=(nK+1，fK+1(ZK))為第K+1 層上的屬性復合結構，其中nK+1為屬性復合結構名，δ為結構項，fK+1為結構復合函數，ZK={(，)，p=1，2，…，nk}為第K層屬性復合結構集合。

分布式大數據應用問題(problem of distrubted application on big data，PDABD):已知分布式大數據組織zs上的約束條件，求符合約束條件CON的問題域DOM=D(zs，CON)=并在該問題域上尋找滿足Z*=Ψ(DOM)的問題解。其中:CONl=表示屬性復合結構的條件，為屬性復合結構的一個結構實例，并且:

1)為第0層的第p個域為包含的第1層屬性復合結構集合在條件約束下形成的第u個域;為包含的第2層屬性復合結構集合在條件約束下形成的第q個域;為包含的第K層的屬性復合結構集合在條件約束下形成的第w個域。

2)稱D為定域算子，且D(zs，CON)=DOM。

3)稱 Ψ=h({μk，k=1，2，…，M}，{ψk，k=1，2，…，N})為計算算子，其中μk為線性算子，ψk為非線性算子，h為算子組合運算。

引理1 對于PDABD，必存在分域算子D'，使得D'(DOM)={DOM1，DOM2，…DOMM}，M≤L成立，其中DOMj=D(zs，CONl)≠?為計算子域。

證明 由分布式大數據組織zs上的約束條件，且，其中L為子條件數，K為層數。問題域DOM按如下過程展開形成:對任意子條件集CONl，，i=0，1，…K為CONl的第i層上的約束條件，由以及第i-1層屬性復合結構和第i層屬性復合結構間的包含關系，可產生第i層上的層內子域Domi(l)，通過層內子域Domi(l)內屬性復合結構的交叉包含關系，形成子域DOMl。對所有的子條件CONl，l=1，2，…L，均有DOMl，這里DOMl允許為空，而問題域DOMl。將DOMl=?的進行排除，得到DOMj，其中M≤L。因此，必存在分域算子D'，使得D'(DOM)={DOM1，DOM2，…，DOMM}={DOMj，j=1，2，…M}成立。

引理2 在PDABD中，對于Ψ中的線性算子組合h{μk，k=1，2，…}，記為hμ，必存在算子f和 Υ，使得hμ(DOM，Z)= Υ({f(DOMj，Z)})成立，其中，Z為屬性復合結構的實例集合，DOMj∈D'(DOM)。這里，稱算子f為子域計算算子，算子 Υ為聚解算子。

證明 由引理1可知，問題域DOM是以子域集合{DOMj，j=1，2，…，M}的形式存在的，則必存在算子f作用于子域，即f(DOMj，Z)存在。同時，假設不存在聚解算子 Υ，使得hμ(DOM，Z)= Υ({f(DOMj，Z)})成立，即f(DOMj，Z)，j=1，2，…無法形成hμ(DOM，Z)，即無法找到 Ψ，使得Z*=Ψ(DOM)成立，故必存在聚解算子Υ，使得hμ(DOM，Z)=Υ({f(DOMj，Z)})成立。

引理3 在PDABD中，對于Ψ中的非線性算子組合h{ψk，k=1，2，…}，記為hψ，必存在算子g，使得hψ(DOM，Z)=g(F，Z)成立，其中，F={Υp{fp(DOMj)}，p=1，2，…}，Z為屬性復合結構的實例集合，DOMj∈D'(DOM)。這里，稱算子g為復合子域計算算子。

證明 由引理1可知，問題域DOM是以子域集合 {DOMj，j=1，2，…，M}的形式存在的。假設不存在g，使得hψ(DOM，Z)=g(F，Z)成立，則hψ無法在子域集合 {DOMj，j=1，2，…，M}上展開計算，即無法找到Ψ，使得Z*=Ψ(DOM)成立，故必存在復合子域計算算子g，使得hψ(DOM，Z)=g(F，Z)成立。

引理4 PDABD求解的一般表達形式為Ψ=gy，其中和Zy為由復合子域計算算子產生的屬性復合結構集合，可表達為如此，可展開求解的一般表達形式為

證明略。

2 交互式計算模型構造

2.1 數學基礎準備

通過引入范疇對象的屬性復合結構和平凡態射，擴展范疇為有向平凡范疇，完成建立交互式計算模型的數學基礎準備。

定義2 屬性復合結構匹配?:設和為屬性復合結構，稱匹配，即?，如果滿足以下條件:

1)當k=0時，即和為屬性單元=(αi，xi(t))和=(αj，xj(t))，有 αi=αj。

2)當k≥1時，即(t)=(，fk())和(t)=(，fk())，有||=||，且對于任意∈，均存在，使得，即屬性復合結構集合匹配，記為

在不混淆含義的情況下，?可表達為=。

定義3 有向平凡范疇G:一個有向平凡范疇G是由以下組成:

1)一族對象obG:A，B，C，…;

2)一族態射MorG:f，g，h，…;

3)對于每一個對象A，都存在一個由A生成的屬性復合結構集合ZA;

4)對于每一個態射f，有給定的對象A，B和屬性復合結構集合ZA，ZB，使得f:(A，ZA)→(B，ZB)成立，其中(A，ZA)=dom(f)，(B，ZB)=cod(f);

5)任意兩個對象A和B，都有一個平凡態射0AB:(A，ZA)→(B，ZB);

6)對于給定的態射f:(A，ZA)→(B，ZB)和g:(B，ZB')→(C，ZC)，稱g°f為f和g的復合，如果

①當f≠0AB，g≠0BC時，若cod(f)=dom(g)，則存在態射:g°f:(A，ZA)→(C，ZC)，否則g°f=0AC。

②當f=0AB或g=0BC時，有g°f=0AC。

7)對于每一個對象A，存在一個態射1A:(A，ZA)→(A，ZA)，稱為A的單元態射，且滿足以下條件:

對于任意f:(A，ZA)→(B，ZB)，有f°1A=f=1B°f成立。

2.2 交互式計算范疇

交互式計算范疇G由多結構化狀態關系代數、協議代數P、交互計算總線格代數Π3個對象以及對象之間的態射構成。

2.2.1 多結構化狀態關系代數

在文獻［11］中，給出了一個由平凡表模型(ordinary table model)構成，支持大數據的結構化、半結構化和非結構化等信息資源形式化表達的多結構化狀態關系代數其中為多結構化狀態關系的集合，為上的一元著色約束運算。

定義Ⅰ 多結構化狀態關系:稱形如=的集合為多結構化狀態關系，其中為多結構化狀態關系元組標識，為多結構化狀態關系元組的誕生時刻，為多結構化狀態關系元組的記錄時刻，={(αi，xki)，i=1，2，…}是多結構化狀態關系元組，αi為名稱項，xki為由符號序列組成的值項。記attr()={αi}為屬性集合。

定理Ⅰ 多結構化狀態關系代數:設Ωt為多結構化狀態關系的集合，則為多結構化狀態關系代數。。

2.2.2 協議代數

定義 4 協議 ρ:稱形如 ρ=(b，idρ，dI，dO，γ，con，idρi)的六元組為協議，其中b為協議節拍，idρ為協議編號，dI為資源子場景組織集合，dO為目標子場景組織集合，γ為目標函數，con為約束條件，idρi為流向。若dI=dO=?，則稱 ρ為空協議，記為 ρ0。

定義5 判識ι:設P為協議ρ的集合，ι為P上的一元運算，為判識條件，判識運算定義如下:對于任意 ρ∈P，有

定義6 連接ω:設P為協議ρ的集合，稱二元運算ω為P上的連接運算，如果滿足:對于任意ρ1=

1)當 ρ1≠ρ0，ρ2≠ρ0時，如果滿足con1()=，則 ω(ρ1，ρ2)=成立;

否則，ω(ρ1，ρ2)= ρ0;

2)當 ρ1=ρ0，ρ2≠ρ0時，ω(ρ1，ρ2)= ρ2;

3)當 ρ1≠ρ0，ρ2=ρ0時，ω(ρ1，ρ2)= ρ1;

4)當 ρ1=ρ0，ρ2=ρ0時，ω(ρ1，ρ2)= ρ0。

定義7 激活η:設P為協議ρ的集合，η為P上的一元運算，激活運算定義如下:

對于任意 ρ∈P，有 η(ρ)=(bη，idρ，dIη，dOη，γ，con，idρi)成立，其中bη=η(b)為激活后產生的下一個協議節拍，dIη=η(dI)為激活后產生的下一拍協議的資源子場景組織集合，dOη=η(dO)為激活后產生的下一拍協議的目標子場景組織集合。

定理1 協議代數P:設P為協議ρ的集合，則＜P，ι，ω，η＞是一個代數，稱之為協議代數，記為P。

證明 顯然ι、ω、η為P上的運算，則P是協議代數。

2.2.3 交互計算總線格代數

此處用符號()表示序列，即(Xk)=X1X2…XK，其中Xk為ak，f1j和f2i。

顯然，泊位β是屬性復合結構。

定義 9 計算節點 π:稱形如 π=(b，cn，Iβ，Oβ，φ)的五元組為計算節點，其中b為計算節拍，cn為計算單元號(具有唯一性)，Iβ為輸入泊位集，Oβ為輸出泊位集，φ為計算。若Iβ=Oβ=?，則稱π為空節點，記為π0。

定理2 計算格:設Π為計算節點π的集合，≤為集合Π上的一個二元關系，≤定義為:{(π1，π2)|π1，π2∈Π，π1·cn≤π2·cn}，則(Π，≤)為一個格。

證明略。

定義10 匹配λp:設Π為計算節點π的集合，λp為Π上的一元運算，為匹配條件，匹配運算定義如下:對于任意π∈Π，有

定義11 連接λr:設Π為計算節點π的集合，λr為Π上的二元運算，連接運算定義如下:對于任意 π1=(b1，cn1，，，φ1)，π2=(b2，cn2，，，φ2)∈Π，

1)當 π1≠π0，π2≠π0時，若 π1≤π2，?，則φ2°φ1)，其中cn1＜fcn(cn1，cn2)＜cn2，否則，λr(π1，π2)=π0;

2)若 π1=π0，π2≠π0，則 λr(π1，π2)= π2;

3)若 π1≠π0，π2=π0，則 λr(π1，π2)= π1;

4)若 π1=π0，π2=π0，則 λr(π1，π2)= π0。

定義12 落實λl:設Π為計算節點π的集合，λl為Π上的一元運算，落實運算定義如下:對于任意 π∈Π，有 λl(π)=(bl，cn，Iβl，Oβl，φ)成立，其中bl為下一個計算節拍，Iβl為下一個計算節拍的輸入泊位集，Oβl為下一個計算節拍的輸出泊位集。

定理3 交互計算總線格代數Π:設Π為計算節點 π 的集合，則＜Π，∧，∨，λp，λr，λl＞是一個格代數，我們稱之為交互計算總線格代數，記為Π。

證明 顯然 λp、λr、λl是 Π 上的運算，又(Π，≤)為格，則 Π=＜Π，∧，∨，λp，λr，λl＞為交互計算總線格代數。

2.2.4 交互式計算范疇構成

定理4 交互式計算范疇G:G由以下內容組成:

1)obG:P，Π，，及其屬性復合結構集合ZP，ZΠ，。

2)MorG:G((P，ZP)，(Π，ZΠ))={φPΠ，0PΠ}G，定義見圖 1;G((Π，ZΠ)，(P，，定義見圖2;G((Π，ZΠ)，(Π，ZΠ))={1Π}，定義見圖3。

那么G為有向平凡范疇，稱之為交互式計算范疇。

證明略。

圖1 交互式計算范疇態射圖Fig.1 Interactive computing category’s morphism

定理5 運算保持性:設G為交互式計算范疇，對于對象P和 Π，態射 φPΠ:P→Π，對于任意給定的，有:

1)φPΠ(ι(ρ1))= λp(φPΠ(ρ1));

2)φPΠ(ω(ρ1，ρ2))= λr(φPΠ(ρ1)，φPΠ(ρ2));

3)φPΠ(η(ρ1))= λl(φPΠ(ρ1))。

證明略。

定理6 運算保持性:設G為交互式計算范疇，對于對象Π 和P，態射 φΠP:Π→P，對于任意給定的∈Π有:

1)φΠP(λp(π1))= ι(φΠP(π1));

2)φΠP(λr(π1，π2))= ω(φΠP(π1)，φΠP(π2));

3)φΠP(λ?(π1))= η(φΠP(π1))。

證明略。

2.3 交互式計算模型

在交互式計算范疇G中，令態射集合 {φPΠ}和組成協議-內存勾連構件和組成內存-外存勾連構件，{1Π}組成內存-計算勾連構件，從而形成建立在協議-內存勾連構件、內存-外存勾連構件、內存-計算勾連構件之間，以交互計算總線格Π為交互載體展開交互計算的交互式計算模型(model of interactive computing，MIC)。本文稱應用交互式計算模型MIC求解分布式大數據應用問題相關的研究，為支持分布式大數據應用建模的模型理論研究。

3 分布式大數據應用建模實例

本節以面向分布式大數據組織的標準差計算應用為實例，展示交互式計算模型MIC在分布式大數據應用建模中的應用。

3.1 標準差計算問題與求解過程

對于大數據組織結構sT，X0={(αi，xi(t))，i=1，2，…}為第0層屬性單元層1，2，…}為第1層實體實例消息層p=1，2，…}為第 2 層實體層2，…}為第3層子場景層。當不需強調層次時，X0，Me1，E2和 ?3可簡寫為X，Me，E和 ?。

分布式大數據標準差計算應用問題(PDADBsdev):已知大數據組織sT上的約束條件，求符合約束條件CONsdev的問題域并在該問題域上尋找滿足(αsdev，xsdev)= Ψsdev(DOM)的問題解。其中:CONl=，其中為屬性值為實體實例消息結構實例為實體結構實例為子場景結構實例，并且:

1)為第0層的第p個域為包含的第1層實體實例消息集合在條件約束下形成的第u個域;為包含的第2層實體集合在條件約束下形成的第q個域為包含的第3層的子場景集合在條件Γ3=約束下形成的第w個域。

2)稱D為定域算子，且D(sT，CONsdev)=DOM。

3)稱 Ψsdev=h({μfet，μsum，μcnt，μdisp}，{ψavg，ψsdev})為計算算子，其中，屬性提取算子μfet，匯總算子μsum，計數算子μcnt和離散度計算算子μdisp為線性算子，均值算子ψavg和標準差算子ψsdev為非線性算子。

下面展開線性算子和非線性算子的定義，并由此給出子域計算算子和復合子域計算算子。

定義13 屬性提取算子 μfet:設子域Domj=，屬 性α，則屬性提取算子 μfet定義如下:μfet(Domj，α)={(αi，xi)，i=1，2，…}，其中這里符號A·X表示A中的X。

定義14 匯總算子μsum:對于給定的屬性值集合X={(αi，xi(t))，i=1，2，…，n}，匯總算子 μsum定義如下:，其中 αsum為匯總屬性。

定義15 計數算子μcnt:對于給定的屬性值集合X={(αi，xi(t))，i=1，2，…，n}，稱算子 μcnt為計數算子，如果 μcnt(X)=(αcnt，|X|)成立，其中 αcnt為計數屬性。

定義16 離散度計算算子μdisp:對于給定的屬性值集合X={(αi，xi(t))，i=1，2，…，n}和樣本均值(αc，xc)，離散度計算算子 μdisp定義如下:，其中 αdisp為離散度屬性。

由以上線性計算算子，可形成子域屬性匯總算子fsum=μsum°μfet，子域屬性計數算子fcnt=μcnt°μfet，子域離散度計算算子fsum=μsum°μfet，且fsum，fcnt和fsum對應的聚解算子都為匯總算子Υsum=μsum。此外，還有一類特殊的子域計算算子是自賦算子，即fasg(Z)=Z，其中Z為任意屬性復合結構集合;當|Z|=1時，即Z={z}，可簡寫為fasg(z)=z。

定義17 均值算子ψavg:對于給定的屬性值集合X={(αi，xi(t))，i=1，2，…，n}，其匯總值為(αsum，xsum)，總數為(αcnt，xcnt)，則均值算子定義如下:ψavg((αsum，xsum)，(αcnt，xcnt))=(αavg，xsum/xcnt)，其中αavg為均值屬性。

定義18 標準差算子ψsdev:對于給定的屬性值集合X={(αi，xi(t))，i=1，2，…，n}，其總數為(αcnt，xcnt)，離散度為(αsum，xsum)，則標準差算子定義如下:ψsdev((αcnt，xcnt)，(αsum，xsum))=(αsdev，，其中αsdev為標準差屬性。

由此可形成復合子域均值算子gavg=ψavg(Υsum，和復合子域標準差算子

那么PDADBsdev求解形式的一般表達為Ψsdev=gsdev(Υsum{fcnt(Domj)})，Υsum({fsum(Domj，gavg(Υsum{fsum(Domj)}，Υsum{fcnt(Domj)}))}))，其中Domj∈D'(D(sT，CONsdev))為問題域D'(D(sT，CONsdev))分域后的第j個計算子域。

注意到D'(D(sT，CONsdev))等價于定域算子D以相同約束條件CONsdev作用于子場景上的集合，即D'(D(sT，CONsdev))={D(，CONsdev)}。

3.2 求解標準差計算問題的交互式計算模型

本節將基于交互式計算模型構建求解標準差計算問題的交互式計算模型，刻畫標準差計算應用問題的求解過程，即按算子或復合算子，及其交互構建態射，將同類態射凝聚為構件，并給出以態射和構件表達的標準差計算應用問題求解的交互計算過程圖。

對于大數據組織sT，分布式大數據應用問題的求解過程是在子場景，j=1，2，…，m上展開。同時，在PDADBsdev的求解一般表達形式中引入賦值算子，用于映射賦值態射(即刻畫在P，Π和Ω間傳遞信息的態射)，則PDADBsdev的求解形式的一般表達可 轉 換 為:(Domj))})))))))})))，其中，子域計算算子和中的j表示算子作用于子場景上 。由此可按算子或復合算子構建以下態射。

1)對于賦值算子fasg，顯然可映射為賦值態射

那么，由態射表達的分布式大數據標準差計算應用問題求解過程為，其中，交互態射在表達形式中已被省略中的j表示發生在第j個子場景上的態射實例，Υsum為聚解算子，不屬于交互式計算模型的刻畫范圍。由態射表達的標準差計算問題求解的交互計算過程如圖4所示(圖中序號為計算序號)，其中1Π:((i)，(k))表示序號為(i)和(k)態射間的交互。

圖2 標準差計算問題求解的交互計算過程Fig.2 Interactive computing process of standard deviation computational problem solving

5 結論

1)借助分布式大數據組織的定義，本文形式化地定義了分布式大數據應用問題PDABD，并且給出了由定域算子、分域算子、子域計算算子、聚解算子和復合子域計算算子構成的PDABD求解形式的一般表達。

3)以面向分布式大數據組織的標準差計算應用為實例，展示了MIC在分布式大數據應用建模中的實用性及其應用價值。

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