混凝土宏觀損傷本構模型綜述

田秀全 孫利民

（鄭州大學力學與工程科學學院，河南 鄭州450001）

眾所周知，混凝土是一種主要的工程建筑材料，其在建筑、橋梁、港口、高速公路、隧道、大壩、地鐵等各個領域都得到了廣泛的應用。但是由于混凝土是一種由水泥砂漿、骨料和過渡區所構成的三相復合材料，以及它在初始階段就有隨機分布的微裂縫和微孔洞，它損傷破壞時帶有典型的非線性。混凝土破壞時的復雜性一直限制著混凝土的本構關系方面的的研究，以往出現的描述混凝土非線性的模型有非線性彈性模型、彈塑性模型等，但是這些模型都沒有合理地反映混凝土受力時的特性。損傷力學的出現，開拓了混凝土損傷破壞研究新的領域。Kachanov[1]、Rabotnov[2]、Krajcinovic[3]、Sidoroff[4]等 先 后 為 損傷力學理論做出了貢獻——損傷因子、有效應力、損傷面、應變等效、能量等效等新的概念逐步進入人們的視野，損傷理論的大致框架形成。

從Dougill開始將損傷力學引入混凝土用來描述其典型的非線性以來，經過幾十年的發展，混凝土損傷力學理論得到長足發展，眾多的混凝土宏觀損傷力學一些新的研究進展需要整理歸納。

1 彈性損傷模型

由于問題的復雜性，早期的混凝土損傷本構關系都省略了混凝土卸載后客觀存在的那部分不可恢復的永久變形，只是建立了考慮剛度退化、非線性的彈性損傷模型。這些彈性損傷模型為開拓新的混凝土研究領域，而且為后來的彈塑性模型的建立提供了早期的理論基礎。

混凝土損傷本構模型中，首個取得的突破性成果是Ladevèze-Mazars彈性損傷模型。由于混凝土在拉、壓應力作用下強度、剛度性質差別很大，受拉強度較受壓強度小很多，且受壓時會出現剛度恢復的現象，即單邊效應。為了反映混凝土的單邊效應，法國學者Ladevèze[5]提出了應力張量的正負分解方法：

這種把混凝土的拉壓損傷分開考慮的想法，后來被證明是適用于混凝土材料的，也被后來的研究人員所采用,如Faria[6]、Wu[7]等。

Mazars[8]借鑒上述應力正負分解的方法，并且在模型中首次引入彈性損傷能釋放率建立損傷準則（盡管是經驗準則），將熱力學知識引入到混凝土損傷研究中。Mazars將材料的Helmholtz自由能勢表達為：

其中C0為材料柔度張量C0，d+和d-分別為受拉、受壓損傷變量。

但是該模型將應力分開來考慮不同的受力情況，以及首次基于損傷能釋放率建立損傷準則，盡管是經驗準則，卻為后來的研究者指明了方向。因此，上述模型后來被稱為：Ladevèze-Mazars單邊損傷本構模型。

典型的各向同性彈性損傷模型還有Loland[9]受拉損傷模型、余天慶[10]分段線性模型、錢濟成[11]等。由于彈性損傷模型忽視了那部分不可恢復變形，所以理論上總是存在漏洞，而彈性損傷模型反映混凝土復雜受力情況下的力學特性明顯有偏差，所以后來有不少研究者試圖修正和完善Ladevèze-Mazars模型，其中比較具有代表性的有Papa和Taliercio[12]、Comi和Perego[13]等建立的經驗彈性損傷模型。但是由于彈性損傷模型的固有缺陷，都沒取得好的效果。

2 彈塑性損傷

Karsan and Jirsa[14]等做了混凝土在反復加載時的大量的試驗，實驗數據可以借鑒，從圖1中可以看出反復加載時的混凝土應力—應變關系存在明顯的剛度退化，而且在加載過程中，當應力卸載后仍然存在相當一部分不可恢復的變形，而且還會逐漸地增加。

圖1 混凝土反復加載時的應力一應變關系

彈性損傷本構模型沒有描述這部分不可恢復變形，于是研究人員開始把塑性理論引入到損傷本構關系中，現有彈塑性損傷模型中對塑性應變的反映主要基于以下3種方式。

2.1開始由于研究水平的限制，學者一般假設損傷僅影響材料的彈性特性，并在Cauchy應力空間求解塑性應變。比較經典的模型有Resende[15]、Simo-Ju[16]等。

求解塑性應變所采用的基本公式如下：

塑形流動法則

塑形硬化法則

塑形屈服、加卸載條件

2.2在Cauchy應力空間求解塑性應變在迭代時可能引起不收斂情況。由于混凝土是脆性材料，損傷后局部應力會重新分布，而且塑性流動發生在材料的無損傷部分，所以應該基于有效應力空間來考慮塑性變形。為此，只要將應力換成有效應力即可，Ju[17]等采用這種方法。

2.3不管是Cauchy應力空間還是有效應力空間求解塑性應變，公式復雜，計算龐大，為了簡化計算，也有學者采用經驗表達的方法來考慮塑性變形，典型的有Faria[6]等損傷模型。

其中Faria等建立的經驗塑性應變率表達式為：

其中β是經驗修正系數，H（）為Heavside越階函數。

3 Helmholtz自由能以及損傷變量的演化發則

損傷本構模型的重點是給出合理的損傷變量來表達材料的損傷狀態，以及找出損傷變量的演化法則。由于問題的復雜性，剛開始時研究的是標量損傷，即各項同性損傷中的特例——損傷方向一致。然而由于混凝土初始狀態隨機分布有微裂縫和微孔洞等缺陷，所以明顯是各向異性的材料，所以標量損傷無法描述混凝土的各向異性損傷。所以有學者就相繼研究了矢量以及張量表達式來描述損傷[18]。

3.1 經驗損傷演化

在確定了損傷變量后，就要給出損傷變量變化的損傷演化方程。建立的損傷演化方程主要分為3種。

一種是基于擬合大量的試驗數據的經驗損傷演化方程，如Comi和Perego[13]經驗彈性損傷模型、Faria等經驗彈塑性損傷本構模型、Resende拉壓損傷模型。Faria在其經驗彈塑性損傷本構模型中，沒有采用基于損傷能釋放率建立損傷面，而是采用了經驗的損傷面，他定義了“等價應力”，即：

進而Faria將損傷演化函數取為經驗表達式：

3.2 基于損傷能釋放率建立損傷準則

另一種就是理論相對嚴謹的，基于與損傷變量功共軛的損傷能釋放率建立損傷準則，然后基于正交法則得到損傷變量的演化函數。如Mazars[8]彈性損傷模型，Wu and Li[19]彈塑性損傷模型。事實上，對于上述經典的彈塑性損傷本構模型來說，都假定損傷只影響材料的彈性性能而不影響塑性特性。后續研究證明：基于彈性損傷能釋放率建立的損傷準則無法預測混凝土材料在雙軸受壓條件下強度的提高。

基于此，Ju[17]在其單標量彈塑性損傷中正式考慮塑性Helmholtz自由能對損傷的影響，將材料的總Helmholtz自由能分解為彈性和塑性兩部分。自Ju后學者紛紛在材料的Helmholtz自由能中耦合進塑性自由能，這樣就能將塑性損傷能釋放作為總的能量釋放率的一部分，從而建立損傷和塑性的雙向耦合模型。在這一方面李杰等取得突出的成果，李杰[20]等參照Resende[15]拉壓損傷模型，引入混凝土的損傷、破壞的受拉和受剪機制，從損傷和塑性的雙向耦合效應入手，引入彈塑性Helmholtz自由能勢，基于損傷能釋放率建立損傷準則，并在有效應力求解塑性變形，形成了具有熱力學基礎的雙標量彈塑性損傷模型。

李杰等將總Helmholtz自由能勢分解為彈性受拉和受剪部分和塑性受剪部分：

把彈塑性Helmholtz自由能帶入等溫絕熱條件下的不可逆熱力學第二定律Clausius-Duhem不等式，整理可得到受拉和受剪損傷能釋放率分別為：

再基于損傷面通過正交流動法則得到損傷變量的演化法則,如下：

類比于經典塑性力學，損傷加卸載條件即Kuhn——Tucker關系為：

最終得到損傷演化函數為：

其中，r0+和r0-為初始受拉和受剪損傷能釋放率閾值，r+和r-為當前受拉和受剪損傷能釋放率，A-、A+、B-、B+分別是模型參數，可以通過混凝土單軸受拉和受壓應力——應變曲線標定。

3.3 基于損傷能量釋放

還有一種是由Najar[21]等人發展起來的，基于損傷能量釋放的模型。按照Najar的損傷理論，脆性固體材料的損傷定義為：

其中：W0為無損材料的應變能密度，Wε為損傷材料的應變能密度，E0、E分別是無損材料的彈性系數張量。

在Najar損傷模型中，由于對Wε的計算進行了線性簡化，即取，所以Wε的計算值比實際的應變能密度小，造成計算的損傷變量d值偏大。為此王中強、余志武[22]采用了精度更高的辛普生積分方法，更加真實地反映混凝土的損傷行為。此外，李淑春和刁波[23]等也在這方面做了不少努力。

4 結論

彈性損傷模型表達式簡單，數值計算量小，參數標定簡單，單調加載時能較好地滿足混凝土的受力力學行為，適用于工程中大型結構的非線性計算，但是存在固有的缺陷。由于沒有考慮混凝土反復加載時存在的不可恢復變形，所以只能表達由于剛度退化引起的非線性行為，而忽視了這部分不可恢復變形引起的非線性。

彈塑性損傷模型已經能夠表征混凝土材料的塑性變形行為，但是由于求解塑性應變時計算復雜而且計算量大，所以不利于工程實際。

基于能量釋放的混凝土損傷本構模型，盡管定義簡明，但是缺乏熱力學基礎，而且沒有與主流的基于損傷能量釋放率的損傷模型進行有效的交流。

本文從彈性損傷模型出發進一步深入到彈塑性模型，重點從基于損傷能量釋放率的損傷本構模型、基于損傷能量釋放的損傷本構模型和其它經驗損傷本構模型3個方面，列舉了其中有代表意義的混凝土損傷本構模型。

最后，建議混凝土宏觀損傷本構模型研究從物理實際出發，比如從拉壓損傷到拉剪損傷的轉變，從cauchy應力推進到有效應力空間來考慮塑性應變，損傷變量也要定義有物理意義的量。并且嘗試結合損傷能量釋放率和損傷能量釋放，充分利用兩者的優越性。

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