履帶機器人通用地面力學模型分析與底盤設計

李雨潭，朱華，高志軍，程新景

(中國礦業大學機電工程學院，江蘇徐州221116)

移動機器人越來越多的被應用在災難救援、環境探測、反恐排爆等非結構化地形中，其能否代替人很好地執行任務取決于機器人是否能夠順利的進入事故現場。因此，機器人行走機構的設計在機器人的整體設計中具有十分重要的地位。對于三大行走機構，履帶式行走機構具有結構簡單、地面適應性強、控制容易等優點［1-2］。大多數移動機器人均采用履帶式行走機構。但是，往往人們設計履帶式行走機構時主要是側重在其結構設計上，關注其結構的強度、剛度能不能滿足設計需求［3-4］，很少注重履帶地面力學性能的研究。而履帶地面力學性能往往影響著機器人的能量消耗、運動靈活度甚至是否能夠順利行走［5］。通常，履帶的接地長度、寬度與兩側履帶中心距是構成履帶地面力學的主要參數。并且可以知道，在履帶接地長度一定的情況下，存在一個最佳的履帶寬度使轉向阻力最小［6］，履帶接地長度與履帶軌距之間的比值影響轉彎的靈活性［7］。因此，履帶地面力學對于履帶行走機構的設計具有重要意義。履帶在硬路面上行走轉向主要克服履帶與地面間的摩擦力，在軟路面上行走轉向除了摩擦力還要克服履帶的側向推土阻力。目前，對于履帶行走轉向的力學模型分析并不全面，只分析了硬路面工況下履帶與地面間的摩擦力的求解［5］，或只考慮了軟路面工況下推土阻力的求解［8］，并沒有一個通用的數學模型。

本文旨在嘗試建立一個通用的履帶地面力學模型，并將此模型應用到所研制的履帶式煤礦救援機器人的設計上，并根據設計的煤礦救援機器人驗證理論結果。

1 物理模型的提出

對于在復雜路面上行走的履帶機器人，在直行過程中，機器人驅動輪與履帶之間相互作用力只需要克服履帶與地面間的摩擦力，履帶與地面之間并無相對運動。而在履帶轉彎過程中，履帶必須與地面產生相對滑動，因此履帶地面力學主要是針對機器人轉彎過程提出的。將履帶所能接觸的地面分為硬質地面和軟地面，對于在軟地面行駛，履帶受力情況相對復雜更能符合履帶機器人的實際工況。履帶在軟路面轉彎過程中，主要克服其與地面間的摩擦力與推土阻力。

對于履帶機器人轉彎，可以抽象為如圖1所示的物理模型。

圖1 履帶理想轉彎模型Fig.1 Track ideal turning model

圖中轉彎半徑R0與角速度 ω0可由式(1)求解［9］:

式中:B為兩條履帶的中心距，va1、va2分別為兩條履帶的速度。但是在實際過程中，因為履帶存在滑移與滑轉［4，10-11］，同時會發生側向與橫向偏移［12-13］，所以轉彎過程并不是如圖1所示的理想情況，為了使模型更加接近實際，同時使推導的數學模型更加通用，對履帶轉彎物理模型進行修正。

為了便于計算，引入打滑速度δi(i=1，2，i=1代表內側，i=2代表外側)。由于滑轉率的存在，真實速度并不等于理論速度，二者之間存在如下關系:

簡化運算，這里令履帶兩側打滑速度相同。均為δ，則

記履帶接地面速度瞬心產生的縱向偏移為Di(i=1，2，i=1代表內側，i=2 代表外側)。這里令A1=A2=A，D1=D2=D。因此，可以得出履帶實際轉彎模型如圖2所示。

圖2 履帶實際轉彎模型Fig.2 Track real turning model

2 數學模型的建立

根據創建的履帶實際轉彎物理模型，建立履帶轉彎數學模型。

2.1 履帶與地面摩擦阻力的計算

以一條履帶作為分析對象，將履帶實際接地面速度瞬心為原點，建立如圖3所示的坐標系，取履帶接地面一微元dxdy，則有微量摩擦力dFi(其中i=1、2，分別代表內、外側履帶)作用，方向與該點絕對速度相反，有

式中:p(x，y)為接地比壓函數。

圖3 履帶接地面受力圖Fig.3 Force diagram of track by the ground

dFi在X軸和Y軸方向的分量為

由此可得地面對履帶的轉向阻力Moi(繞履帶速度瞬心O)為

其中i=1，2。

當i=1時為內側履帶，此時的x、y的積分上下限分別為［R-B/2-0.5b，R-B/2+0.5b］、［-L/2-D，L/2-D］。

當i=2時為外側履帶，此時的x、y的積分上下限分別為［R+B/2-0.5b，R+B/2+0.5b］、［-L/2-D，L/2-D］。

所以，履帶接地面與履帶間摩擦引起的總的轉向阻力為

2.2 履帶側面推土阻力計算

若忽略側面刮起土堆的質量，履帶側面的受力如圖4所示。其中，Q為下部土壤對楔形土的反作用力，Cθ=ZC/sin θ為單位面積上的內聚力，W為單位面積土壤重量，RB(θ)為單位長度推土阻力，φw為板壁摩擦角，θ為破壞面角度，φ為土壤內摩角。

圖4 履帶側面受力圖Fig.4 Force diagram of track by side

根據Bekker推薦的載荷沉陷量的關系可以推出式(8)［9］:

式中:z為沉陷量，kc、kφ是土壤內聚及摩擦變形模量，n是變形指數。

履帶兩側任一單位長度上的推土阻力RB可從力的平衡式中得到

式中:γs為土壤容重。

由于MTi只是θ的函數，MTi的最小值對應著一定的θ值，在此θ值下，地面被破壞，故側面推土阻力產生的轉向阻力矩為

將式(12)代入式(11)，得

所以履帶側面推土引起的總的轉向阻力矩MT為

忽略履帶內部摩擦阻力等因素，因此地面引起的總的轉向阻力矩M為

2.3 履帶地面力學數學模型

根據2.1與2.2節推導出的計算公式，可以得到通用的履帶地面力學數學模型，如式(16)所示，履帶在軟路面上的受力為兩部分力之和。

對于能夠正常行駛的履帶機器人，其履帶地面力學還必須能夠滿足履帶轉向條件，即對于勻速轉動，驅動力對旋轉中心的距大于阻止轉向的力［5］。針對本文中的模型，平行于Y方向摩擦力就是驅動力對回轉中心的力矩:

平行X軸方向摩擦力就是阻止轉向的力矩:

機器人能成功轉向的必要條件是驅動力對旋轉中心的距大于阻止轉向的力:

3 算例分析

根據所推導出的履帶地面力學模型，對正在研制的煤礦救援機器人履帶行走機構進行設計。煤礦救援機器人主要用于煤礦發生事故后，機器人代替人對事故現場第一時間進行井下災后環境探測［14］，其工作環境為煤礦井下。為了使設計能夠更好地貼近實際，這里采樣了部分煤泥，依據土力學實驗［15-16］測試出了計算所需的土壤力學參數，包括土壤內聚變形模量kc=0.805 kN/mn+1、摩擦變形模量kφ=21.36 kN/mn+2、變形指數n=0.3、土壤土壤內摩擦角φ=30.93°和粘聚力C=11 610 Pa。根據實際情況，所設計的機器人其履帶接地長度L應當大于1 000 mm，履帶中心距B應該大于700 mm才能滿足要求。根據需要令B∈［700，800］mm，b∈［80，120］mm。

設計思路是在履帶寬度b和履帶中心距B的變化范圍內，尋找轉彎阻力矩M最小的組合。因此將式(16)作為目標函數，將式(19)作為約束條件，進行最優化求解，其中機器人質量M=300 kg，地面與履帶間摩擦系數μ=0.55，va1=0.4 m/s，va2=-0.4 m/s 。

在使用所推導出的數學模型進行煤礦救援機器人設計優化的時候，發現現有的數學軟件無法解決二重積分變上限的最優化求解問題，因此使用了數值分析方法結合C語言編程，運用遍歷求解的思想來尋找所設計煤礦救援機器人的履帶最優參數，最終得到計算結果如圖5所示。

程序共求解出189組值，每組值對應一個B與b。根據計算的數據，所設計煤礦探測機器人在B=700 mm，b=120 mm時轉向阻力矩最小，其值為314.08 N·m。

因為現階段所設計的煤礦救援機器人還未取得煤礦安全標志許可，故無法在井下煤泥地面進行試驗。因此選擇與煤泥相近的地面，進行原地轉向試驗，可以測出在此狀態下機器人的總電流為25 A。根據電機特性計算出扭矩約為293 N·m，與理論值相近。

圖5 轉向阻力矩圖Fig.5 Steering resistance torque

圖6 機器人原地轉彎試驗Fig.6 Experiment of turning about the center

4 結束語

本文主要推導出了履帶式移動機器人地面力學的通用數學模型，為設計優化履帶式移動機器人底盤提供了理論依據。通過尋找轉彎阻力矩的最小值，可以得出履帶的寬度、接地長度與兩條履帶的中心距的最佳值，與此同時還可以理論計算出所需要的最小驅動力矩，從而為原動機選型提供理論依據，通過此公式計算出的理論值與實際測試的結果相近。

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