淺談全微分形式不變性在多元復合函數微分法中的應用

摘 要：通過舉例說明在多元復合函數微分法中，全微分形式不變性具有思路清晰，簡化步驟和易于學生理解的優點。

關鍵詞：全微分形式不變性；多元復合函數；隱函數；偏導

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.13.200

1 全微分形式不變性在多元復合函數微分法中的舉例分析

多元復合函數微分法是高等數學中的重點，也是難點。用傳統方法求解需要分清自變量和因變量，而全微分形式不變性的好處在于能夠避開函數變量錯綜復雜的關系，從而使問題簡化，提高正確率。

定理1：設函數具有連續偏導數，則無論是自變量還是中間變量，其微分形式不變，即。

定理2：（多元函數全微分運算法則）。

例1：設可微，求。

解法1：利用鏈式法則求解。

，

。

解法2：利用全微分形式不變性求解。

將（3）代入（2）中，得：

將（4）代入（1）中并整理，得：

，

從而，，。

例2：設，而由方程所確定，其中都有連續的導數，求。

解法1：由方程確定的隱函數的求導公式。

設，

則，，，

，。

所以，，.

解法2：利用全微分形式不變性。

將（3）代入（1）中并整理，得：

，

所以，，。

例3 求由方程組 所確定的隱函數的偏導數。

解法1：將方程組兩邊對求偏導，得：

解得，，。

同理可得，。

解法2：利用全微分形式不變性。

，

解得，，

，

一次求出四個偏導數，

， 。

，。

2 結論

通過前面三個例題中兩種解法對比，我們不難發現，用全微分形式不變性來求解，思路清晰，解題步驟簡潔，也更有利于學生的理解，避免因為函數變量之間的復雜關系而導致的錯誤。

參考文獻：

[1]大連理工大學城市學院基礎教學部.應用微積分（下冊）[M].大連理工大學出版社，2013.

[2]大連理工大學城市學院基礎教學部.應用微積分同步輔導[M].大連理工大學出版社，2013.

[3]同濟大學數學教研室.高等數學（下冊）[M].高等教育出版社，1998.

作者簡介：張宇紅（1979-），女，遼寧錦州人，碩士研究生，教授，研究方向：數學。