高等代數學習方法探析

羅遠峰　龔妍廿

摘 要： 由于高等代數概念多，具有高度的抽象性，學生在學習過程中往往不知所措，從而心生畏懼，甚至放棄該課程的學習.鑒于此，有必要通過研究其課程體系及基本的學習方法，找到切入點和突破口，調動學生的學習積極性.

關鍵詞： 高等代數 學習方法 總結

一、緒論

1.高等代數學習方法探析的背景及意義

高等代數是一門抽象的學科，主要包括兩部分內容：多項式理論初步和線性代數基礎.多項式和方程一直是代數學發展的主旋律；線性代數則是應用極為廣泛的一門學科.因此，它是我們大學數學領域不可或缺的一門基礎性學科，但是多數學生對高等代數的學習感到困惑，抽象的概念等常常讓學生感到畏懼，甚至覺得高等代數枯燥無味，最終選擇放棄.本文以張禾瑞、郝鈵新編的《高等代數》第五版為例，針對以上現象，在“高等代數學習方法”方面作了初步探析，通過化抽象為具體、化繁為簡等有效而簡單的方法，盡可能讓學生全面認識并高效學習高等代數這門學科.

2.高等代數學習方法探析的思路

通過對高等代數教材的研究、分析，同時用實例加以剖析，從而進行歸納、總結，達到引導學生自主思考，積極探索問題的目的.

二、高等代數學習中的“問題”

1.概念抽象

比如向量空間的定義：令F是一個數域（當中的元素稱作標量，用小寫拉丁字母a，b，c…表示），V是一個非空集合（當中的元素稱作向量，用小寫希臘字母α，β，γ…），如果下列條件滿足，就稱V是F上的一個向量空間[1]：

（1）在V中定義了一個加法，V中任意兩個向量α，β，有V中一個唯一確定的向量與它們對應，這個向量叫α，β的和，記作α+β；

（2）定義了一個乘法，即aα屬于V；

（3）向量的加法和標量與向量的乘法滿足八條性質：向量加法中的交換律、結合律、零向量與任意向量的和為任意向量、一個向量與其負向量的和為零向量；標量與向量的乘法中有向量對標量的分配率、標量對向量的分配率、兩個標量與向量相乘的結合律、數1與向量相乘還等于向量.

以上這么多內容都是對向量空間的描述，看起來就是定義了一些計算法則，然而，對于初學者來說顯得抽象而繁瑣，最重要的是，定義中引入的零向量、負向量都不是普通意義上的數0和相反數，這給學生增加了理解概念的難度.

再到后面又判定向量的線性相關性，尤其是向量線性無關的概念：若不存在一組不全為零的數使得與一組向量的線性組合為零，則這組向量線性無關.幾乎剛接觸這個概念的多數同學都讀不懂是什么含義，通常多數同學的理解就是：有一組全為零的數使得與一組向量的線性組合為零，那么就稱向量是線性無關的.這就完全曲解了定義.

2.邏輯繁瑣

高等代數中數理邏輯很嚴密，但同時比較繁瑣，第一章介紹基本概念不存在什么大問題，從第二章的多項式開始，就在中學內容的基礎上加深，多項式的整除、唯一分解性及在各數域上的可約與不可約性，等等；第三章的行列式主要難點就是行列式的計算，規則較多；第四章就是利用克拉默規則研究齊次方程組的解，也是較繁瑣，第五章的矩陣是為后面幾章打基礎，但矩陣的運算也需要掌握很多知識；從第六章開始，就顯得抽象、繁瑣，對空間向量的介紹到向量的線性關系再到歐氏空間、酉空間和二次型，都涉及矩陣，用矩陣的秩分析線性方程組的解的情況，向量空間的維數，以及空間與空間之間的相互關系，是等價、相似還是合同的關系，等等.總而言之，高等代數這門學科的理論邏輯還是較繁瑣的.

3.章節脫節

多數同學在學習了一個章節進入下一個章節后，常常覺得很難適應，通常是學了后面忘了前面.甚至當老師提及到某個概念時完全沒有了印象，也不知道前面的章節學了有什么用，總感覺后面的都是新的知識點，與前面沒多大聯系.比如在五、六章學習了矩陣的秩、空間的基與維數等性質，到第七章討論本征值和本征向量時有覺得矩陣、空間的基與維數這些都很陌生，感覺很亂，理不清層次和它們之間的關系.

三、高等代數學習方法的歸納與思維轉換

針對上述在學習《高等代數》課程中存在的問題，經過對比研究，聯系整個代數課程體系，提出以下學習方法，便于進一步理解和掌握《高等代數》的基本內容[2].

1.概念定理理解通透

對于抽象概念的理解：

第一，有實例就用實例幫助理解，比如多項式的定義，課本給的是一個抽象的代數表達式，那么我們就可以從課后習題的具體多項式出發，進一步理解多項式，了解它的特點及計算規則.

第二，用類比的方法，例如高代中的向量的內積就可以類比幾何中的向量的數量積，多項式的運算、整除性及公因式可以類比中學的四則運算、整數的整除性及其因式分解等.

第三，可以用幾何中的圖形幫組理解，比如高代中的線性空間在幾何中就是以二維、三維空間為實例模型的；向量的線性關系在幾何中就可以表示向量共面與否的問題.又如正定變換總能把一個向量變換為與該向量同側的向量，即是說這兩個向量作內積是大于零[3].

2.加強章節間的聯系

首先，對于教材，從目錄要大致了解所要學的大體內容；其次，對各章作一個總結，然后找出難點，勾出疑點，最主要的是尋找與前后章節的區別與聯系.下面給出了《高等代數》課程體系的整個脈絡及學習技巧.

3.化繁為簡，化抽象為具體

通常抽象的概念除了圖形理解、實例記憶之外，就是要學會在繁多的概念中抽出關鍵詞，簡單記憶.比如對向量空間描述可以這樣：

（1）前提：一個集合V（非空），一個數域F；

（2）規則：V中向量加法封閉，數與向量乘積封閉；滿足八條規則（加法：交換律、結合律、零元、負元.乘法：向量對數的分配、數對向量的分配、數乘結合，1乘不變）；

（3）滿足上面兩個條件，則稱V是F上的向量空間.

這樣概括后，概念明顯簡單許多，便于理解及長久記憶.

四、總結

通過對以上幾個方面的探析，學習高等代數可以有多種多樣的方法，學習這樣的抽象學科，不可能還用中學的題海戰術或是死記硬背，一定要學會在學習過程找到簡單高效的方法，這門學科也來源于生活，服務于生活，因此要理論聯系實際.當然，不可缺少的還有空間想象能力和構思能力.

參考文獻：

[1]張禾瑞，郝鈵新.高等代數[M].高等教育出版社，2007.

[2]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數（第三版）[M].高等教育出版社，2004.

[3]黃益生.高等代數[M].清華大學出版社，2014.

基金項目：遵義師范學院基礎教育研究課題（編號13ZYJ 032），貴州省科技廳聯合基金項目（黔科合J字LKZS[2014]29號）.