“垂直”重難點解讀

同學們在小學里就已經對“垂直”有了初步的認識，在《平面圖形的認識（一）》這一章中，課本通過圖片和“議一議”活動，在具體情境中進一步豐富了對垂直的認識，實現從感性認識到理性認識的轉變.

一、與垂直有關的基本概念

1.垂線的定義：如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，那么這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.

2.垂線段的定義：垂線上一點到垂足之間的線段.

3.點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度.

二、概念辨析

垂線是一條直線，可以向兩端無限延伸，不可以度量；垂線段是垂線上的一條特殊的線段，可以度量；點到直線的距離是垂線段的長度.

垂線、垂線段都是圖形，點到直線的距離是數量.

如圖，直線 ⊥ ，直線 叫做直線 的垂線，直線 也叫做直線 的垂線；線段OP叫做點P到直線 的垂線段；垂線段OP的長度是點P到直線 的距離.

例1.下列說法中，錯誤的個數是（ ）

①若兩條直線相交，所得的四個角中有一個角是90°，則這兩條直線一定互相垂直；

②兩條直線的交點叫做垂足；

③直線AB⊥CD，也可以說成直線CD⊥AB；

④同一平面內的兩條直線不是平行就是互相垂直.

A.0個 B.1個 C.2個 D.3個

【分析】根據兩條直線垂直的定義，只要兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，那么這兩條直線互相垂直，所以①正確；只有兩條直線互相垂直時得交點才能叫做垂足，所以②錯誤；兩條直線互相垂直是相互的，所以③正確；兩條直線在平面內的位置關系有相交和平行兩種，垂直只是相交的特殊情況，所以④錯誤.

【解答】C

例2.下列說法正確的是（ ）

A.從直線外一點到已知直線的垂線段叫做這一點到已知直線的距離

B.過直線外一點畫已知直線的垂線，垂線的長度就是這一點到直線的距離

C.畫出已知直線外一點到已知直線的距離

D.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短

【分析】從直線外一點到已知直線的垂線段的長度叫做這一點到已知直線的距離，所以A錯誤；垂線是直線，可以無限延伸，無法度量它的長度，所以B錯誤；距離是數量，只能畫出圖形，所以C錯誤.

【解答】D

三、與垂直有關的性質

1.互相垂直的兩條直線形成的四個角都是直角.

2.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

注意：（1）“有且只有”包括兩層含義：①過一點存在一條與已知直線垂直的直線；②過一點與已知直線垂直的直線是唯一的.（2）“過一點”可以是直線上一點，也可以是直線外一點.

3.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.簡單的說成是“垂線段最短”.

例3.如圖，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，則BD長度的取值范圍是（ ）

A.大于3cm B.小于5cm

C.大于3cm或小于5cm

D.大于3cm且小于5cm

【分析】根據垂線段最短，由AD⊥BD，BC⊥CD得BC

【解答】D

例4.如圖，AC⊥CD，∠BED=90°.

（1）∠ACD=_______；

（2）直線AD與BE的位置關系是_______；

（3）在線段DA、DB、DC中，最短的線段是_______；在線段BA、BD、BE中，最短的線段是_______.

【分析】由垂直的定義能得到直角，反之兩條直線相交所成的角中有一個角是直角，也能得到兩條直線垂直.

【解答】（1）90°；（2）垂直；（3）DC BE

四、生活中的實際應用

例5.如圖，修一條公路將村莊A與公路PQ連接起來，怎樣修才能使所修的公路最短？畫出路線圖，并說明理由.

【分析】根據由一點到已知直線上所有點的連線中，垂線段最短，所以過點A作PQ的垂線段即可.

【解答】如圖所示，線段AC就是所求的路線.

理由：垂線段最短.

例6.如圖，在河岸 的同側有一小鎮A和自來水廠B，現要在河岸上建一抽水站D，將河中的水輸送到自來水廠B處理后，再送往A鎮.為了節省資金，鋪設的水管應盡可能的短，抽水站D應建在何處，沿怎樣的路線來鋪設水管？試在圖中畫出路線圖.

【分析】要使水管最短，則要使抽水站到自來水廠的距離和自來水廠到A鎮的距離最短.

【解答】如圖所示，過點B畫直線 的垂線段，則垂足D為抽水站的位置.連接AB，沿D→B→A的路線鋪設水管，可使得所用的水管最短.