中考題中也有“皮克公式”的身影

袁少卿

回到家，我就激動的把今天上課的收獲告訴了當(dāng)數(shù)學(xué)教師的爸爸.爸爸笑著說：“掌握公式還不夠，要掌握獲得知識的過程和方法，讓我來考考你.”他找到了2013年常州市的中考卷的倒數(shù)第三題，我驚訝道：“皮克公式在這也會有用武之地？”

（2013·常州）用水平線和豎起線將平面分成若干個(gè)邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形.設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S，該多邊形各邊上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)和為 ，內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)為b，則S= +b﹣1（史稱“皮克公式”）.

小明認(rèn)真研究了“皮克公式”，并受此啟發(fā)對正三角形網(wǎng)格中的類似問題進(jìn)行探究：正三角形網(wǎng)格中每個(gè)小正三角形面積為1，小正三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形，下圖是該正三角形格點(diǎn)中的兩個(gè)多邊形：

讀完題，我非常有信心能把這題解出來.與原來背景唯一不同的就是將正方形網(wǎng)格換成了正三角形網(wǎng)格.很輕松的，第一行應(yīng)該填8，第二行應(yīng)該填11.我笑瞇瞇地朝著老爸說：“老爸，這題也太簡單了，下面只要我去尋找規(guī)律就行了，真的沒什么技術(shù)含量.”老爸笑而不語.我又開始埋頭苦干起來，果然局勢突變，我試圖多次，很難以從僅有的兩組數(shù)據(jù)達(dá)成統(tǒng)一的共識.我不想動腦筋的老毛病又犯了，開始找借口為自己脫身，翹著嘴向老爸求情：“爹地，看在我才是初一學(xué)生的份上，這題等我長大些再做吧.”老爸雙手一攤，說道：“你再想想今天你是通過怎樣的過程知曉皮克公式的？”老師上課的一幕幕又在眼前浮現(xiàn)，“哦哦哦哦，我應(yīng)該創(chuàng)作更多的圖，獲取更多的數(shù)據(jù).內(nèi)部格點(diǎn)個(gè)數(shù)為0的情形，一個(gè)小正三角形不就是嗎？此時(shí) =3， b=0， S=1，兩個(gè)小正三角形拼成的平行四邊形也對啊！此時(shí) =4， b=0， S=2，三個(gè)拼成的梯形情形： =5， b=0， S=3，四個(gè)拼成的正三角形還符合??！我再記下來，這樣的數(shù)據(jù)多多益善啊！此時(shí) =6， b=0， S=4.這也太明顯了，S= -2嘛！欣喜之情很快褪去，當(dāng)內(nèi)部格點(diǎn)個(gè)數(shù)為1時(shí)，S≠ -2，此時(shí)S= ，讓我再畫幾個(gè)情形看看，果然依然符合.下面我又畫了幾種特殊情形，發(fā)現(xiàn)當(dāng)內(nèi)部格點(diǎn)個(gè)數(shù)為2時(shí)，S= +2，當(dāng)內(nèi)部格點(diǎn)個(gè)數(shù)為3時(shí)，S= +4，規(guī)律逐漸明朗， 后面加的數(shù)都是偶數(shù)，而且都是2×（內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)—1），所以結(jié)論是S= +2（b-1）.老爸打開答案，我手舞足蹈，“對嘍對嘍”聲此起彼伏.

嘿嘿，同學(xué)們，我會做中考大題了，相信你也一定行的！

（指導(dǎo)老師：王正海）