三角形的費馬點

謝燕

有甲乙丙三個村莊，要在中間建一供水站向三地送水，現(xiàn)要確定供水站的位置以使所需管道總長最小，請同學們想一想，這個供水站應該建在哪里？

事實上，這是法國著名數(shù)學家費馬提出的一個關于三角形的有趣問題：在三角形所在平面上，求一點，使該點到三角形三個頂點距離之和最小，人們稱這個點為“費馬點”.

當三角形有一個內(nèi)角大于或等于120°的時候，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點；當三角形三個內(nèi)角都在120°以內(nèi)，那么費馬點就是三角形內(nèi)與三角形三頂點的連線兩兩夾角為120°的點.顯然在第一種情況下，費馬點的位置就是那個大于或等于120°的內(nèi)角的頂點.在第二種情況下，如圖所示：我們只需要以△ABC三邊AB、AC、BC為邊在三角形外作三個等邊△ABC1、△ACB1和△BCA1，連接AA1、BB1和CC1，三線交點P就是費馬點.

同學們肯定會想為什么？等同學們學習了三角形全等的知識后就可以去探索這其中的道理了.

再看一個數(shù)學問題：將軍從甲地出發(fā)到河邊飲馬，然后再到乙地軍營視察，顯然有許多走法，那走什么樣的路線最短呢？這個問題被古希臘亞歷山大里亞城的一位久負盛名的學者海倫解決了，后來被人們稱作“將軍飲馬”問題.費馬思考了這個問題，他覺得不僅是將軍有這樣的煩惱，運動著的車、船、飛機，包括人們每天走路都要遇到這樣的問題.人們總希望尋求最佳的路線，盡量走近道，少走冤枉路.我們把這類求近道的問題統(tǒng)稱最短路線問題.費馬就把這樣的問題聯(lián)想到某一個圖形中，他大膽提出在任意三角形中有且僅有一點到三個頂點的距離最短，并對此進行了充分的證明.現(xiàn)在研究表明不止是三角形，其它多邊形也存在這樣的點.

平面四邊形的費馬點：在凸邊形中，對角線交點即費馬點；在凹四邊形中，凹頂點即為費馬點.

那費馬點在我們的生活中有沒有應用價值呢？文章開頭的供水站建在費馬點肯定是最節(jié)約成本的；再譬如打籃球、踢足球時，你時刻注意的是怎樣進攻，但要與自己的隊友保持最好的距離和方位，前后左右都要顧及，這其實就是在找多邊形中的“費馬點”.

數(shù)學為科學之母，現(xiàn)在已經(jīng)有很多方面應用到費馬點的性質(zhì)，在醫(yī)學上、建筑上、軍事上……

像類似費馬點這樣的問題還有很多，同學們只要你們積極思考，遇到問題多問幾個為什么，多一些打破砂鍋問到底的精神，你們也會像費馬一樣發(fā)現(xiàn)更多更有趣的數(shù)學問題.