關于不定積分湊微分法的一個注記

陳勇　李志文　陳俊希

摘 要： 本文通過對復合函數由外向內地剝離分析，借助一階微分形式不變性，提出了次外層微分法，以簡捷有效地解答高等數學教材中可通過湊微分法得解的不定積分問題.

關鍵詞： 復合函數次外層 微分形式不變性 次外層微分法

不定積分湊微分法是高等數學的教學重難點內容.其基本原理[1]是：設f（u）具有原函數F（u），u=g（x），可導，則有？蘩f[g（x）]g′（x）dx=？蘩f[g（x）]dg（x）=？蘩f（u）du=F（u）+C=F[g（x）+c].該方法是將一階微分形式不變性利用到求不定積分中，先湊出被積函數f[g（x）]g′（x）中復合函數f[g（x）]的中間變量g（x）的微分dg（x），再借助基本積分公式，求得一些較復雜函數的不定積分.

一、傳統教法效果不佳

以上求解中，例1和例2都是通過了兩次湊微分運算后才得解.

由于湊微分是微分逆運算，對初學者而言，其求導和微分都還不十分熟練.如果再要求其進行求導和微分的反向運算，這種非常規的反動作，就會使其感到十分別扭.從實踐教學反饋來看，學生對一些簡單題目，比如被積函數中所含的復合函數只有二層時，還可以容易求得結果，但面對多層復合函數情形，多數同學便束手無策，不知該如何下手，而且一次又一次地湊微分運算，學生極易將積分公式和微分公式混淆，導致作業錯誤率極高，學習效率低下.學生對這部分內容的普遍反映是學習難度大，方法不易掌握.

二、微分形式不變性引發的新思路

微分形式不變性[3]的基本原理是：設y=f（u），則dy=f′（u）du，其中u是自變量，設y=f（u），u=g（x）則dy=df（u）=f[g（x）]g（x）dx=f′（u）du，其中u是中間變量.可見，無論u是自變量還是中間變量，y=f（u）的微分形式不變，都是f′（u）du，類似地，多層復合函數f（u）的微分形式也是df（u）=f′（u）du.

這就提示我們，可對？蘩f[g（x）]g′（x）dx中被積函數所含復合函數f（g（x））的結構重新進行分析，將f[g（x）]由外向內地剝離，找到次外層u=g（x）再通過計算次外層微分du，找平積分式，最后利用常見的基本積分公式求得結論.

這樣做的好處是，次外層是在由外向內的剝離過程中直接找出來的，而不是由里向外一層層湊微分得到的.這就避免了別扭且容易犯錯的湊微分運算，只需將找出來的次外層u，直接放到d的右邊，便可省事不費力地得到夢寐以求的？蘩f（u）du.當然，要想準確解題，還需對次外層u進行微分計算，并將新的積分式做還原處理，以使前后積分式相等.這種方法可簡稱為“次外層微分法”，一般地，可以按照“找、微、還、用”四步驟進行解題：①找：找復合函數f（u）的次外層u；②微：計算次外層微分du；③還：對新積分式做系數處理，使之與原積分式相等；④用：利用常見的基本積分公式求得結論.

在次外層微分法的四步驟中，能否迅速準確地找到次外層u成為解題的關鍵，其要點是：復合函數f[g（x）]的次外層u=g（x）常位于被積函數的分母上、根號下、括號內等部位，也可能次外層u=g（x）就是含在被積函數中的最復雜的那個函數式，如反（反三角函數）、對（對數函數）、冪（冪函數）、指（指數函數）、三（三角函數）等.

三、應用舉例

1.找分母

四、結語

實踐教學中，為了幫助學生掌握次外層微分法的解題技巧，常需對學生進行以下三方面針對性的訓練：1.熟練計算復合函數微分；2.熟記并靈活運用基本積分公式（u為自變量或中間變量）；3.迅速準確地找出復合函數次外層.學會方法后，學生一般都能一步到位地迅速解題，學習效果事半功倍，同時教師應注意引導學生將次外層微分法和湊微分法進行比較，令其加深對微分和湊微分互逆運算的認識，充分理解復合函數既能由內向外組裝，又可由外向內剝離的結構分析特征，更好地融合微積分知識，牢固掌握不定積分這部分內容.

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學（第六版上冊）.高等教育出版社，2007.4，第六版.

[2]吳傳生.經濟數學——微積分.高等教育出版社，2009.4，第2版.

[3]李軍英，劉碧玉，韓旭里.微積分（上冊）（第二版）.北京：科學出版社，2008.7，第二版.