無窮大量的比較在極限計算中的作用

張春梅　楊曉梅

摘 要： 無窮大量在極限計算中是比較常見的一種變化過程，尤其是對無窮大量的比較，可以在相關極限計算問題中，快速的處理極限問題.本文在無窮大量比較的基礎上給出了一些相關計算技巧，作為應用證明了當時的“抓大頭”公式.

關鍵詞： 無窮大量 高階 低階 等價 抓大頭

無窮小量和無窮大量是高等數學極限的學習中兩個重要的概念，準確的理解和掌握這兩個概念對極限的計算有著重要的意義.但在很多相關教材中，只是著重介紹了無窮小量的性質和應用，對于無窮大量的定義、性質的介紹都比較簡單[1]，甚至還有些教材連無窮大量的嚴格定義都沒有提及[2]，使得學生在學習中對于無窮大量的了解較少，甚至導致有些學生完全忽視無窮大量的作用.事實上，靈活利用無窮大量的性質對解決某些極限問題有很大的幫助.本文主要通過無窮大量的比較，討論并總結了無窮大量的一些性質，并利用無窮大量階的性質，證明極限計算中的“抓大頭”公式，同時利用“抓大頭”公式簡單計算一些極限問題.

一、無窮大量的比較

我們在介紹無窮小量時，為了對無窮小量收斂到0的“速度”進行比較，給出了無窮小量階的定義，得到了高階、低階、同階及等價無窮小量的概念.類似的，為了便于比較無窮大量發散的“速度”，我們可以相仿地給出無窮大量，階的定義，即高階無窮大量，低階無窮大量，同階無窮大量以及等價無窮大量.

定義1：設變量α，β是自變量某一變化過程中的無窮大量，

（1）如果

二、無窮大量比較的運算性質

根據前面的無窮大量比較的定義，容易得到以下定理：

定理1：若在自變量的某一變化過程中，α是比β高階的無窮大量，則α+β與α等價.

定理5：設是自變量某一變化過程的無窮大量，a為任一常數，則α+a等價于α.

三、“抓大頭”公式的證明與應用

從上面的例子中我們可以看出，利用“抓大頭”公式求解在時的極限問題，簡單方便，而且可以通過很簡易的生活舉例就可以讓學生快速理解并記住.例如，在上課時，講到這樣的問題，我通常會問學生，你去市場買蘋果，第一家小販賣9元錢一公斤，然后你又走了好幾家問了都是10元一公斤，一樣的蘋果，你會怎么做？學生都會回答，回第一家去買啊！接著又問學生，那假設你要去買電腦，到第一家9999，然后又轉了一大圈，基本上后面每一家都說10000元，這時候呢？學生會回答，就直接買了啊，價格一樣.然后又問學生，同樣是一元錢的差別，你為什么會表現不同？學生說，和10元錢比起來1元錢很多啊，但是和10000元比較，就沒什么了.那么這時候就可以給學生作總結了，對啊，因為10000元你們認為很多，在它的面前，你們就認為很多了，那么在一個可以無限大的量面前，任何一個常數是不是都可以看起來微不足道，忽略不計了？就像計算比爾蓋茨的錢，你們只關心多少億，還關心后面的千、百、十嗎？同理，在一個高階無窮小的面前，比它低階的量都可以忽略不計，那么這樣我們只需要抓住一個“大頭”就可以了，那些小的微不足道的量就可以省略了.學生在笑聲中記住了“抓大頭”公式，這不比教材中的公式

要好記得多嗎？而且學生也不會再出現記錯或者覺得公式難記的問題了.

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].高等教育出版社，2007.

[2]歐陽光中，姚允龍，周淵.數學分析[M].復旦大學出版社，2011.

[3]鄒慧超，周莉，唐瑞娜.無窮大量階的比較在無窮積分中的應用[J].煙臺師范學院學報（自然科學版），2003，19（2）：144-147.

[4]劉桂先，劉慶升.求極限的等價無窮大代換[J].高等數學研究，2011，14（1）：51-52.

基金項目：新疆大學21世紀高等教育教學改革工程三期項目，XJU2013JGY18.