無窮大量的比較在極限計(jì)算中的作用

張春梅　楊曉梅

摘 要： 無窮大量在極限計(jì)算中是比較常見的一種變化過程，尤其是對(duì)無窮大量的比較，可以在相關(guān)極限計(jì)算問題中，快速的處理極限問題.本文在無窮大量比較的基礎(chǔ)上給出了一些相關(guān)計(jì)算技巧，作為應(yīng)用證明了當(dāng)時(shí)的“抓大頭”公式.

關(guān)鍵詞： 無窮大量 高階 低階 等價(jià) 抓大頭

無窮小量和無窮大量是高等數(shù)學(xué)極限的學(xué)習(xí)中兩個(gè)重要的概念，準(zhǔn)確的理解和掌握這兩個(gè)概念對(duì)極限的計(jì)算有著重要的意義.但在很多相關(guān)教材中，只是著重介紹了無窮小量的性質(zhì)和應(yīng)用，對(duì)于無窮大量的定義、性質(zhì)的介紹都比較簡(jiǎn)單[1]，甚至還有些教材連無窮大量的嚴(yán)格定義都沒有提及[2]，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)中對(duì)于無窮大量的了解較少，甚至導(dǎo)致有些學(xué)生完全忽視無窮大量的作用.事實(shí)上，靈活利用無窮大量的性質(zhì)對(duì)解決某些極限問題有很大的幫助.本文主要通過無窮大量的比較，討論并總結(jié)了無窮大量的一些性質(zhì)，并利用無窮大量階的性質(zhì)，證明極限計(jì)算中的“抓大頭”公式，同時(shí)利用“抓大頭”公式簡(jiǎn)單計(jì)算一些極限問題.

一、無窮大量的比較

我們?cè)诮榻B無窮小量時(shí)，為了對(duì)無窮小量收斂到0的“速度”進(jìn)行比較，給出了無窮小量階的定義，得到了高階、低階、同階及等價(jià)無窮小量的概念.類似的，為了便于比較無窮大量發(fā)散的“速度”，我們可以相仿地給出無窮大量，階的定義，即高階無窮大量，低階無窮大量，同階無窮大量以及等價(jià)無窮大量.

定義1：設(shè)變量α，β是自變量某一變化過程中的無窮大量，

（1）如果

二、無窮大量比較的運(yùn)算性質(zhì)

根據(jù)前面的無窮大量比較的定義，容易得到以下定理：

定理1：若在自變量的某一變化過程中，α是比β高階的無窮大量，則α+β與α等價(jià).

定理5：設(shè)是自變量某一變化過程的無窮大量，a為任一常數(shù)，則α+a等價(jià)于α.

三、“抓大頭”公式的證明與應(yīng)用

從上面的例子中我們可以看出，利用“抓大頭”公式求解在時(shí)的極限問題，簡(jiǎn)單方便，而且可以通過很簡(jiǎn)易的生活舉例就可以讓學(xué)生快速理解并記住.例如，在上課時(shí)，講到這樣的問題，我通常會(huì)問學(xué)生，你去市場(chǎng)買蘋果，第一家小販賣9元錢一公斤，然后你又走了好幾家問了都是10元一公斤，一樣的蘋果，你會(huì)怎么做？學(xué)生都會(huì)回答，回第一家去買啊！接著又問學(xué)生，那假設(shè)你要去買電腦，到第一家9999，然后又轉(zhuǎn)了一大圈，基本上后面每一家都說10000元，這時(shí)候呢？學(xué)生會(huì)回答，就直接買了啊，價(jià)格一樣.然后又問學(xué)生，同樣是一元錢的差別，你為什么會(huì)表現(xiàn)不同？學(xué)生說，和10元錢比起來1元錢很多啊，但是和10000元比較，就沒什么了.那么這時(shí)候就可以給學(xué)生作總結(jié)了，對(duì)啊，因?yàn)?0000元你們認(rèn)為很多，在它的面前，你們就認(rèn)為很多了，那么在一個(gè)可以無限大的量面前，任何一個(gè)常數(shù)是不是都可以看起來微不足道，忽略不計(jì)了？就像計(jì)算比爾蓋茨的錢，你們只關(guān)心多少億，還關(guān)心后面的千、百、十嗎？同理，在一個(gè)高階無窮小的面前，比它低階的量都可以忽略不計(jì)，那么這樣我們只需要抓住一個(gè)“大頭”就可以了，那些小的微不足道的量就可以省略了.學(xué)生在笑聲中記住了“抓大頭”公式，這不比教材中的公式

要好記得多嗎？而且學(xué)生也不會(huì)再出現(xiàn)記錯(cuò)或者覺得公式難記的問題了.

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基金項(xiàng)目：新疆大學(xué)21世紀(jì)高等教育教學(xué)改革工程三期項(xiàng)目，XJU2013JGY18.