單部件劣化系統的維修成本優化研究

（中南大學商學院 湖南長沙410083）

一、引言

隨著技術的進步，設備變得越來越復雜化，企業花費在設備維修上的成本占企業運營成本的比例也變得越來越大。從單臺設備的生命周期成本角度來看，維修成本是全生命周期成本的重要組成部分。因此，優化維修成本對降低企業運營成本、提高企業競爭力和全生命周期成本的優化有很大貢獻。

目前檢測到系統的狀態變得越來越容易和可信，從而視情維修逐漸成為研究的熱點。視情維修是通過對設備進行定期或序貫的或連續的檢測來獲知系統狀態，進而安排維修工作以避免產品失效。系統劣化過程是一個隨機過程，對于單調和逐漸劣化的隨機過程，用Gamma過程描述是最合適的。Gamma過程具有很好的數學特性，是一個具有獨立、非負增量的隨機過程。Abdel-Hameed提出用Gamma過程作為描述系統發生隨機劣化的適當模型，稱為 “Gamma磨損過程”。Park、Kong和 Park以 Gamma過程描述系統的劣化過程，以維修費用率最小為目標，建立了檢測周期固定的視情維修模型，用解析法求得最優預防維修狀態閾值。程志君進一步考慮維修延遲，以系統的平均費用率最低為目標，聯合優化檢測間隔期和預防維修閾值。李玲等將Gamma過程與幾何過程相結合，提出一種加速劣化模型，以系統平均費用率最小為目標，求解最優視情維修策略。Huynha et al.考慮系統的劣化和創傷性事件兩種競爭失效模式，以維修費用率最小為目標，建立視情維修的定期檢測/更換模型，得到最佳檢測間隔期和預防維修閾值。在目前視情維修的研究中，在以維修成本最低為目標時，很少考慮維修時間且沒有考慮維修期間內的生產損失。

本文針對連續劣化單部件系統，考慮實際中普遍采用的定期檢測，建立了以系統平均維修成本率最低為優化目標，以檢測間隔期和預防維修閾值為變量的維修優化模型。在模型中，假設預防維修時間和故障后維修時間服從一般分布，考慮檢測成本、預防維修成本、故障后維修成本、維修期間的生產損失和維修延遲的停機損失。

二、模型建立

（一）模型假設與分析

1.將連續兩次更新系統至全新狀態的期間定為一個周期。

2.用隨機變量 X（t）表示系統在時刻 t的劣化狀態，若無維修行為，X（t）是連續且單調遞增的。當t=0時，X（t）=0，表示系統處于全新工作狀態。隨機變量 X（0），X（1）-X（0），… ，X（t）-X（t-1）是非負、平穩和相互獨立的。

3.對系統采取視情維修策略，在一個周期內進行定期檢測，檢測間隔期為 T，檢測時刻 tk=kT（k=0，1，2…），每次檢測成本為Ci，檢測時間忽略。

4.當系統狀態超過預防維修閾值時，進行預防維修；系統發生劣化故障時，進行故障后維修，均修復如新。其中預防維修時間服從均值為βp的一般分布，故障后維修時間服從均值為βc的一般分布；預防維修成本為Cp，故障后維修成本為Cc，均不包括生產損失。 其中 Ci≤Cp≤Cc，βp≤βc。

5.系統劣化故障需要檢測確定，如果發生劣化故障，直至下次檢測前系統是失效的，這時單位時間內失效停機的生產損失為Cd。

6.系統維修優化的目標是系統的平均維修成本率最低。

系統存在兩個狀態閾值L和M，L是劣化故障閾值，一般由制造商給定，M是預防維修閾值。對系統狀態進行定期檢測，在第k個檢測時刻tk檢查到的系統狀態是 X（tk）。 若 X（tk）

如果預防維修閾值M設置得過低，會使預防維修工作增多，可能造成維修過剩，增加維修成本；設置的過高，可能導致維修不足，發生劣化故障的概率增加，從經濟性和安全性來看，都是不應該發生的。同樣，檢測間隔期設置不當也會造成維修不足或維修過剩。因此，要使平均維修成本率最低，就要找到最優的預防維修閾值M*、定期檢測間隔期T*。

圖1 系統周期示意圖

（二）劣化過程

本文用Gamma過程來描述兩次維修行為之間的系統劣化過程。假設連續時間隨機過程 {X（t），t≥0}是平穩Gamma過程，則在時刻t劣化水平的概率密度函數是形狀參數為αt、尺度參數為β的Gamma密度函數。

Gamma過程是一個非減的連續時間隨機過程，隨α和β的不同，可以描述系統不同的劣化特征。平均劣化率為 α/β，方差為 α/β2。

設τx表示系統從全新狀態到達狀態X的時間，則τx的分布函數計算如公式（2）所示：

其概率密度函數為：

（三）建立系統平均維修成本率模型

由更新定理可知：系統平均維修成本率可以看作在一個周期Γ內的維修成本率，因此系統平均維修成本率C（T，M）可表示為公式（4）。

假設系統在一個周期內檢測Nk次后更換，則一個周期的平均長度E[Γ]和平均維修成本E[C]的計算如公式（5）、（6）所示。

其中：Pp是系統在一個周期內發生預防維修的概率，Pc是系統在一個周期內發生故障后維修的概率，βp是預防維修時間的期望，βc是故障后維修時間的期望，P｛Nk=k｝表示系統在第k次檢測時更換的概率，E[Nk]是系統在一個周期內檢測次數的期望值，E[d]是系統在一個周期內維修延遲的平均時間。

由公式（4）、（5）和（6）可得到系統平均維修成本率C(T，M)，可表示為公式（7）：

（四）維修優化模型

要找到最優的預防維修閾值M*、定期檢測間隔期T*，使系統平均維修成本率C(T，M)最小，建立維修優化方程如公式（8）所示：

三、模型分析與求解

（一）一個周期內檢測次數的期望值

由相關的數學知識可知，一個周期內檢測次數的期望值E[Nk]如公式（9）所示：

其中，檢測k次的概率P{Nk=k}的計算如公式（10）：

（二）概率 Pp、Pc

系統更新可能是由預防維修也可能是由故障后維修引起的，發生預防維修的概率Pp和發生故障后維修的概率 Pc的計算如公式 （11）、（12）所示：

（三）維修延遲的平均時間

假設系統在兩次檢測之間的時刻t失效，即（k-1）T＜t＜kT，則有系統在一個周期內維修延遲的平均時間E[d]，計算如公式（13）：

將公式（9）至公式（13）代入維修優化方程（8），可得到系統的平均維修成本率 C（T，M）與決策變量（T，M）之間的關系。

四、算例分析

參數（α，β）可以通過對系統劣化數據的分析，利用數理統計方法和參數估計得到。在此，假設系統劣化過程服從參數是α=1、β=1的Gamma過程。設定系統的劣化故障閾值L=10，檢測費用Ci=1，預防維修成本Cp=10，故障后維修成本Cc=40，維修延遲的單位時間損失Cd=10，預防維修時間的期望βp=0.5，故障后維修時間的期望 βc=1。

表1 不同檢測間隔T下的最優預防維修閾值M和平均維修成本率C(T,M)

為使系統的平均維修成本率最低，要找到最優維修策略（T*，M*）。 由于函數 C（T，M）的復雜性，結合實際，對檢測間隔期T采用離散值，尋求最優解。首先根據經驗得到T的取值范圍和增加幅度△T；然后考慮預防維修閾值的約束條件0

將假設的模型參數值代入模型，采用上述算法，取最小檢測間隔為1，最大檢測間隔為10，考慮實際情況，置增加幅度△T=1。通過Matlab編程計算可得到表1的結果，由表1可觀察到最優的維修策略（T*，M*） =（2，5.9994），此時，C（T*，M*）=2.8273。

五、結論

本文通過尋求最佳維修策略，從定量的角度來優化維修成本。對于連續劣化單部件系統，以Gamma過程描述其劣化過程，假設預防維修時間和故障后維修時間服從一般分布，考慮設備維修過程中的檢測成本、維修成本以及由于維修和維修延遲引起的生產損失，在此基礎上，以系統的平均維修成本率最低為優化目標，以檢測間隔期和預防維修閾值為決策變量，建立了維修優化模型。算例分析證明了模型的可行性。通過該模型，可以找到最優的檢測間隔期和預防維修閾值，使系統的平均維修成本率最低，對企業維修成本優化的決策有一定的參考作用。