空間曲梁單邊懸索橋的振動舒適性評估及減振設計*

孫利民 楊偉 于軍峰 于 超

1.同濟大學土木工程防災國家重點實驗室 上海 200092；2.上海現代建筑設計（集團）有限公司 上海 200041；3.上海申迪（集團）有限公司 上海 200041

以上海國際旅游度假區空間曲梁單邊懸索橋西橋為例，介紹了人致振動舒適性評估過程，并根據評估結果進行了基于調頻質量阻尼器（TMD）的減振設計。

1 人行橋人致振動舒適度評估理論

1.1 人行荷載的力學模型

人行激勵振動的特性取決于人行荷載的特殊性。人的行走由連續的步子形成，具有周期性。這種周期性激勵在豎向和側向都可以用傅立葉級數的形式表示，級數中高階頻率是基頻的整數倍，但基頻的大小在豎向和側向不同。豎向振動由人行走時重心的上下起伏對橋面產生的垂直方向上的動力荷載引起。單人行走時，基于步行力的周期性，豎向力和側向力可用傅立葉級數的形式表示。

根據現有的研究結論，各階諧波的動載因子取值不同，其中豎向力一階諧波動載因子最大，高階諧波動載因子迅速減小，一般只需考慮前三階或四階諧波。如Kajikawa較早建立了αν,1（豎向、側向動載因子）隨步頻變化的規律；Rainer[1]等對步行、跑步及跳躍產生的豎向力隨步頻變化的關系進行了系統的試驗研究，得出各階諧波的動載因子隨步頻變化的規律。步行豎向力αν1和αν2隨步頻變化較顯著，αν1在2.4Hz時達到最大；而αν3和αν4隨步頻變化不明顯；Allen[2]根據Rainer的研究成果，在一般步頻范圍內對動載因子偏安全取值；Kerr[3]對40個人的步頻介于1～3 Hz的步行力數據進行分析，表明αν1隨步頻增大，但高階諧波動載因子的變化非常離散；Ellis[4]在研究大跨度輕質樓板的人致振動問題過程中，從試驗樓板的振動位移和加速度響應得出人行激勵，對通常步頻范圍內（1.7～2.4 Hz）的各階諧波動載因子作了更仔細的研究，其中αν1與步頻的關系和Rainer的結果比較接近。

德國人行橋設計指南[5]規定，計算人行荷載時，豎向動載因子αν可取0.40，橫向動載因子可取0.05，取行人的標準體重G為700 N，則ανG及αlG分別可取280 N和35 N。另外，考慮到行人步頻接近人行橋振動頻率變化范圍臨界值的概率，須對人行荷載引入折減系數ψ，最終指南中對步頻為fp的人行荷載定義為：

折減系數ψ按照步頻的不同取值有所不同，ψ取值如圖1所示。

當人群在橋上行走時，人步行對橋面產生周期性的作用力，一般情況下只引起較小的振動響應，但當步行側向力的頻率接近人行橋側振固有頻率時，將引起橋面明顯的可感振動，人與橋之間開始發生強烈的相互作用過程。

圖1 人行荷載折減系數ψ

橋梁發生側向振動會引起人群中一定比例的行人步行與振動同步，產生更大的共振荷載。行人步行發生同步與振動頻率有關，僅當振動頻率接近行人的側向晃動頻率時，行人才有可能調整步伐與振動同步，統計發現人行橋發生的大幅度側向振動的頻率都在1.3 Hz以內。同時，步行同步的發生還與振動強度有關，只有當振動達到影響行人的步行舒適性的程度時，行人才會相應調整步伐，可見存在一個引發同步調步行的所謂最小振幅，小于該振幅時，行人為完全隨機步行。

德國人行橋設計指南指出，人群荷載等效行人數Ne與橋上人流的密集程度有關。當人群密度很小時，人群相當于自由行走。然而在高密度人流情況下時，行人行走阻塞，人流向前移動速度減緩而同步調概率增大，此時的等效行人數量的計算方法將與小密度人群時不一樣。設計指南中規定計算公式如式（2）所示：

式中：d——人群密度，人/m2；

ξ——結構的阻尼比；

S——橋面人行面積。

因此步頻為fp的單位面積有效人群荷載可表示為：

1.2 人行橋舒適性評價指標

人行激勵振動帶來的是橋梁的適用性問題，舒適性指標是未引起行人感覺不適的加速度允許值。參考國內外的一些規范中的描述，如英國規范BSI，其豎向加速度的允許值可表示為由于行人對側向振動更敏感，側向加速度的允許值也相對更為嚴格，允許值表示為其中，f為結構振動的頻率。

2 人行橋人致振動分析

2.1 人行橋橋梁概況

上海國際旅游度假區空間曲梁單邊懸索橋西橋橋梁結構體系主要由內、外側主梁及空間主纜、吊索、背索和索塔組成。內、外側主梁組成橋面系，兩端固結于橋臺，跨中由懸掛于主纜上的柔性吊索提供豎直向彈性支撐。主纜為空間懸鏈線布置，位于外側主梁外側；每個索塔頂部布置1根背索，背索與主跨、邊跨主纜一起，保證成橋時索塔頂部的整體平衡。橋梁的總體布置如圖2所示。

2.2 人行橋自振特性分析

人行橋人致振動與結構的頻率相關，只有靠近人行荷載步頻的結構模態才可能會被激起共振，所以需要分析橋梁結構的動力特性。圖3所示為對該橋建立的全橋有限元模型。考慮結構二期恒載的影響，得到人行橋的頻率、振型如表1及圖4所示。

圖2 人行橋（西橋）總體布置

圖3 全橋有限元模型

表1 成橋狀態下頻率與振型

圖4 人行橋各階振型示意

2.3 人行振動舒適性評估

根據動力特性分析的結果，對該人行橋頻率落入與人行激勵頻率較接近的范圍內的振型可按單自由度振動系統簡化分析[6]。振型坐標表示的單自由度運動方程如式（4）所示：

式中：Yn——第n階振型的廣義振型坐標；

Mn——振型質量；

Pn——步行振型力。

人行橋人致豎向振動和側向振動都可采用振型分解后按單自由度系統分析，且一般情況下豎向振動和側向振動對應不同的振型，因此可分別單獨考慮。對該橋動力特性的分析表明，該橋側向剛度較大，側向振動的基頻已超出5 Hz，已超過側向人行荷載頻率范圍，因此，本文針對該橋人致振動評估將不涉及側向振動。

在一般的情況下，人群激勵荷載可以取2種工況，一種是正常使用荷載，按照我國《城市人行天橋與人行地道技術規范》相關規定，天橋與地道的設計通行能力應滿足2 400 人/（h·m），若取行人平均步速為1.50 m/s，則該橋在滿足設計通行能力的正常使用情況下，人群荷載的人群密度可取為0.444人/m2；另外一種工況是最不利荷載，參考國外的相關研究成果，當人群密度超過1.50人/m2時，行人行走是不可能的，其動力作用將顯著地減小，因此，在計算最不利人群荷載時，可取人群密度為1.50人/m2。計算得到人群隨機荷載作用下的各階振型加速度響應如表2所示。

由表2可見，該橋在2種工況人群諧波荷載作用下所產生的最大共振加速度均超過了規范規定的振動加速度限值。當人群密度為0.444人/m2時，豎向振動加速度最大值達到0.8118 m/s2；當人群密度增大至1.50人/m2時，人群共振荷載所產生的最大豎向加速度達到3.4975 m/s2。因此，該橋在正常使用人行荷載作用以及最不利人行荷載作用下，可能會發生橋面振動過大，行人通行舒適性不佳的情況，所以有必要在設計階段預備減振措施。

表2 單自由度系統最大加速度響應（ξ=0.01）

3 TMD減振設計

3.1 TMD設計理論基礎

TMD（Tuned Mass Damper）系統就是安裝在主結構上的調頻質量阻尼器，屬于結構被動減振控制體系的一類。如圖5所示，它由固體質量塊、彈簧減振器和阻尼器組成。通過改變TMD的質量或者剛度來調整其自振頻率，使其盡量接近主結構的激振頻率，當主結構受到激勵而振動時，TMD就會產生一個與結構振動方向相反的慣性力作用在結構上，使主結構的振動反應衰減并受到控制[7]。

圖5 TMD結構示意

對于圖5所示的在作用力P(t)作用下的單自由度結構體，其運動方程如式（5）、式（6）所示：

式中：m、c、k——分別為主結構的質量、阻尼以及剛度；

md、cd、kd——分別為TMD的質量、阻尼以及剛度；

P(t)——外部激勵荷載。

當P(t)為諧波荷載，以主結構最小加速度為優化準則，TMD的頻率比和阻尼比優化值如式（7）、式（8）所示：

式中：μ——TMD質量與主結構質量比；

ξs——主結構阻尼比；

γopt——TMD優化頻率比（TMD頻率/主結構頻率）；

ξopt——TMD優化阻尼比。

如果在主結構上安裝TMD，則對于如公式（4）所示由振型坐標表示的單自由度運動方程將會變為公式（9）：

式中：Pc(t)和Pk(t)——分別為TMD對主結構產生的阻尼力和彈簧力。

假設TMD安裝位置為結構i點，i點對應的振型向量值為φni，則TMD運動方程如公式（10）所示：

因此，TMD對主結構產生的阻尼力和彈簧力公式分別為式（11）、（12）：

若假設Cd=2Mdξdωd，Kd=Mdω2d，Xd(t)=則公式（13）及（14）變為公式（15）、（16）：

當P(t)為諧波荷載，以主結構最小加速度為優化準則，TMD的頻率ωopt和阻尼比ξopt優化值公式如式（17）、（18）所示：

式中：μ=Md/Mn。

3.2 TMD參數設計

以最不利人行荷載作用下的橋梁振動舒適性為控制目標，該橋第1階振型頻率ωn=12.587 6 rad/s，振型阻尼比ξn=0.01，因為結構動力特性分析對振型按質量歸一化處理，即Mn=1。取TMD與主結構振型質量比μ=0.029 5，可以算得，TMD的最優頻率ωopt=12.422 7 rad/s，最優阻尼比ξopt=0.105 9。最終設計將TMD安裝于主梁跨中，其質量塊的質量為3 958.2 kg，彈簧剛度為6.108 4×105N/m，阻尼系數為1.041 8×104N·s/m，跨中截面的TMD安裝示意如圖6所示。

圖6 主橋跨中截面TMD安裝示意

3.3 TMD減振效果仿真

借助MATLAB中的Simulink軟件來模擬TMD減振系統，以獲取由公式（15）和（16）組成的常系數非線性微分方程組的數值解。當該橋人行橋面最大豎向及側向加速度出現在人群共振荷載頻率為2.003 4 Hz時，取主結構的阻尼比ξ=0.01，人群密度為1.50人/m2，對未安裝以及安裝了TMD系統的橋梁施加相同的人群共振荷載，由Simulink模擬出的人行橋面豎向最大加速度時程如圖7所示。

圖7 人行橋面豎向最大加速度時程

由圖7可知，該橋安裝TMD減振系統之后，人行橋面豎向最大加速度由原來的3.49 m/s2減小到0.44 m/s2，減振效率達到80%，減振效果明顯。

4 結語

本文通過考慮人橋相互作用的人行荷載模型，綜合國內外有關人行橋設計規范的規定，闡述了上海國際旅游度假區空間曲梁單邊懸索橋西橋人致振動的舒適性評估過程，并結合實際情況進行了TMD參數設計。結果表明，該人行橋在人群密集的情況下，可能會發生過大的人致振動，在安裝TMD的情況下，可以保證人行橋在正常運營過程中的使用性和舒適性。