四電平互補序列的研究

張嬌蓉，李忠玉（西華大學計算機與軟件工程學院，成都　610039）

四電平互補序列的研究

張嬌蓉，李忠玉
（西華大學計算機與軟件工程學院，成都610039）

0　引言

互補序列具有理想的自相關和互相關特性，與以往通信系統中普遍使用的單個序列不同，互補序列由若干個子序列構成。在理論上，若通信系統中應用互補序列是可以完全消除其多址干擾和多徑干擾。因此，互補序列成為學者們研究的熱點。1961年，Golay［1］第一次提出了互補序列的概念并介紹了它的一些數學特性，后來的一些學者對二進制非周期互補序列對的定義、性質以及構造方法做了深入的研究，并將互補序列用于雷達、同步、信道估計，信號檢測等領域。后來對互補序列的研究方向也逐漸由二進制擴展到多相，非周期互補擴展到周期互補，序列對擴展到序列集上。1988年，Darnell［2］提出了多電平非周期互補集的概念并給出其構造方法。1990年，Budisin［3］介紹了非周期多電平互補對的構造方法，并將其應用在雷達脈沖壓縮技術和噪聲生成中。雖然有很多學者對多電平的互補集、互補對做了深刻的研究，但這些對多電平的研究都是在比較大的大字符集上。現實中，在小字符集上研究多電平序列更有實用價值。2010年，李旭東［4］就在小字符集上對四電平Z互補序列做了深入的研究。本文研究的重點也是小字符集上的四電平互補序列。

1　定義

四電平序列是指序列的元素取自于四個字符組成的字符集。本文研究的四電平序列是特指在字符集｛± 1，±2｝上定義的序列。

定義1令a=（a0，a1，…，aN-1）和b=（b0，b1，…，bN-1）是周期為N的序列，他們的周期互相關函數被定義為以下形式：

其中b*n+τ表示bn+τ的共軛。當a=b時，上式表示序列a的周期自相關函數，數學表示如下：

定義2令a和b是周期為N的序列，他們的非周期互相關函數被定義為以下形式：

當a=b時，上式表示序列a的非周期自相關函數，數學表示如下：

定義3令序列集a=（a1，a2，…，ap）的序列數目為P，每個序列長度為N且序列元素的取值是在字符集｛± 1，±2｝的四電平序列，若滿足：

其中E為正整數，則序列集a就是周期四電平互補集。當P=2時，則a就是周期四電平互補對。

定義4令序列集a的序列數目為P，每個序列長度為N且序列元素的取值是在字符集｛±1，±2｝的四電平序列，若滿足：

則序列集a就是非周期四電平互補集。當P=2時，則a就是非周期四電平互補對。

2　四電平互補序列的變換

在序列設計中，如果一個序列經過一定的變換得到的新序列的相關函數和變換前序列的相關函數保持一致，那么這種變換就叫做序列的初等變換。

初等變換方法一：

經實驗證明，二進制互補序列對的某些初等變換也同樣適用于四電平互補對。

令（S1，S2）是一對長度均為N的四電平互補序列。通過如下的變換仍然是四電平互補序列。

（1）交換操作：（S1，S2）→（S2，S1）；

（2）倒序操作：（S1，S2）→（1，S2）；

（3）S1和S2奇數位置上的元素取負，偶數位置上的元素不變。

初等變換方法二：

設a=（a0，a1，…，aN-1）是長度為N的四電平序列。經過如下的變換得到的序列的非周期自相關函數函數和原來的保持一致，

其中，當a=（a0，a1，…，aN-1）的元素僅取于｛±1｝時，c可取于｛-1，±2｝；當a的元素僅取于｛±2｝時，c可取于｛-1，±1/2｝。

3　例子

設a=（1，1，-1，-2），b=（1，2，-1，2），進過計算得到

Ca（τ）+Cb（τ）=（17，0，0，0）

Ra（τ）+Rb（τ）=（17，0，0，0）

其中0≤τ≤3。

將序列a中的元素倒置，變為序列 a=（-2，-1，1，1），計算得到

將序列a和b中的奇數元素取負，偶數元素不變，得到新的序列a*=（-1，1，1，-2），b*=（-1，2，1，2）。計算得到：

Ca*（τ）+Cb*（τ）=（17，0，0，0）

Ra*（τ）+Rb*（τ）=（17，0，0，0）

設a=（1，-1，1，2，-2）是一個四電平序列，其Ca（τ）=（11，-4，-3，4，-2）。將a的元素進行倒置，得到序列=（-2，2，1，-1，1），其Ca（τ）=（11，-4，-3，4，-2）。

經過實驗，在2≤N≤9這一區間里，四電平非周期互補序列只存在于N=2，4，8中，周期互補序列的代表在表1中給出。

表1　周期四電平互補對的代表及其相關函數

4　結語

本文重點介紹了四電平互補序列，對其通過變換得到的新的序列的性質進行了討論并舉例證明，這些變換的方法對于構造長度更長的四電平互補序列對以及構造四電平互補序列集有著重要作用，最后給出了通過程序搜索的四電平周期互補序列對的代表。

［1］M.J.E.Golay.Complementary Series.IEEE Transactions on Information Theory，1961，7（2）：82～87

［2］M.Darnell，A.H.Kemp.Synthesis of Multilevel Complementary Sequences，Electronic Letters，1988，24，9：1251～1252

［3］S.Z.Budisin，New Multilevel Complementary Pairs of Sequences，Electronic Letters，1990，26，13：881～883

［4］L.Xudong，L.Hao，Synthesis of Four-Level Z-Complementary Sequences，2010 3rd International Congress on Image and Signal Processing（CISP），Yantai，China，2010，10：.4463～4466

［5］李玉博，許成謙，李剛，劉凱.四元零相關區周期互補序列集構造法［J］.電子與信息學報，2013，09（35）：2180～2186

Sequence Design；Four-Level Sequence；Periodic Complementary；Aperiodic Complementary

Research on the Four-Level Complementary Sequence

ZHANG Jiao-rong，LI Zhong-yu
（School of Computer Software Engineering，Xihua University，Chengdu 610039）

1007-1423（2015）10-0003-03

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.10.001

張嬌蓉（1988-），女，四川巴中人，碩士研究生，研究方向為序列設計

2015-03-26

2015-04-01

以前對多電平的研究多集中在大字符集上，考慮到小字符集上的多電平序列的應用價值，重點研究四電平互補序列，其所指的四電平序列是指序列元素的取值來自于字符集｛1，-1，2，-2｝。

序列設計；四電平序列；周期互補；非周期互補

李忠玉（1990-），男，四川成都人，碩士研究生，研究方向為嵌入式系統

Previous research on multilevel more focuses on large character set.Considering the application of multilevel sequence based on the small character set is more useful，the research emphasis is four-level complementary sequences.And the elements of four-level sequence refers to the alphabet｛1，-1，2，-2｝.