基于因子分析和序貫概率比檢驗的結構損傷識別

閔志華，孫利民，王英

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基于因子分析和序貫概率比檢驗的結構損傷識別

閔志華1，孫利民2，王英1

(1. 上海師范大學 建筑工程學院，上海，201418；2. 同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海，200092)

提出一種基于因子分析和序貫概率比檢驗的結構損傷識別方法。基于健康監測數據提取的結構狀態特征不僅受結構狀態的影響，而且受環境因素、測量噪聲、分析誤差的影響。當影響結構狀態特征的環境因素未知或者不能完全測量時，基于因子分析可以提取結構狀態特征場的公共因子作為環境影響效應的映射，并結合序貫概率比檢驗識別結構損傷。首先對因子分析的基本理論進行介紹，并建立因子分析的矩陣擴展法，在此基礎上討論基于Mann-Whitney秩和的序貫概率比檢驗的結構狀態判別。最后通過1個斜拉橋的數值算例驗證方法的可行性，結果表明該方法能夠準確地識別較小的結構損傷。

因子分析；序貫概率比檢驗；結構損傷識別；健康監測

近年來，結構健康監測越來越受關注。世界各國已經在許多大型橋梁上設計和安裝了結構健康監測系統，如香港的青馬大橋、韓國的Seohae橋和中國的東海大橋等[1]。大多數結構健康監測系統不僅測量結構響應，如位移、加速度、應力等，而且監測結構所處的環境狀況，如溫度、風速/風向、相對濕度、車輛荷載等。這些健康監測系統大多已運營了一段時間，積累了大量的監測數據，如何基于這些監測數據對結構狀態進行準確的評估尤其是結構損傷的識別是工程技術人員面臨的一道難題。基于振動的結構損傷識別方法具有實時性以及不需要封閉交通等優點而受到廣泛關注，其中結構的模態參數及其導出量是最常用的基于振動的結構損傷識別指標之一。已有的研究發現在某些情況下由于環境因素變化引起的結構模態參數的改變比由于結構損傷引起的模態參數的改變更大，如Peeters等[2]通過研究Z24橋1 a的監測數據發現，由環境變化導致結構的前4階模態頻率的年相對變化比為14%~18%，尤其是當溫度低于0 ℃時其影響程度更大。Sohn等[3]基于線性模型分析了由環境因素(溫度和濕度)引起的Alamosa Canyon橋動力特性的改變。Xia等[4]分析了1個兩跨鋼筋混凝土連續板在2 a內的結構模態參數改變，發現當溫度每升高1 ℃時模態頻率降低0.13%~0.23%，濕度每增加1%時模態頻率降低0.03%。Ni等[5]基于支持向量機分析了香港Ting Kau橋(四跨斜拉橋)的模態頻率和溫度變化間的相關關系。Abe等[6]對日本白鳥大橋進行了2周的環境振動監測，其結果表明結構頻率隨著風速的增大而降低，而阻尼比隨著風速的增大而增大。Zhang等[7]對徐浦大橋進行了連續24 h動力測試，認為在風和溫度相對穩定的情況下，結構的動力特性的改變是由于交通流的變化所引起的。Li等[8]對某一斜拉橋連續4 d的監測數據進行分析，認為在溫度和風對結構的模態頻率和阻尼比具有較大的影響。閔志華等[9]對東海大橋主航道斜拉橋1 a的結構響應數據和環境因素數據進行了分析，通過相干性和相關性分析揭示了在1 a監測期內環境溫度和交通荷載是影響結構模態參數變化的主要環境因素，但短暫的強風荷載也會較為明顯地改變結構的模態參數[10]。基于結構健康監測數據進行結構損傷識別時，需要考慮到基于監測數據提取的結構狀態特征受環境因素(包含荷載狀況)、測量噪聲、分析誤差的影響，因此，閔志華[11]提出了基于健康監測的結構狀態特性概率性分析方法。該方法將結構狀態分析過程分為結構狀態特征提取、環境因素識別、環境影響效應分析和結構狀態概率性判別這4個子過程。其中在環境影響效應分析子過程中，當環境因素已知時可以采用基于回歸分析的方法，當環境因素未知或者無法完全測量時可以采用基于公共特征提取的方法。基于回歸分析的方法主要有線性回歸、外輸入自回歸模型(auto-regressive model with exogenous inputs，ARX)、典型相關性分析、支持向量機、神經網絡等，而基于公共特征提取的方法主要有主成分分析和非線性主成分分析。結構狀態概率性判別子過程可以采用統計模式控制、假設檢驗、異常分析和概率密度估計等方法，其中假設檢驗又可以分為固定樣本量檢驗和序貫分析。本文作者針對當環境因素未知或者無法測量時提出了基于因子分析和序貫概率比檢驗的結構損傷識別方法。首先對因子分析理論進行介紹，在此基礎上提出因子分析的矩陣擴展法，接著對用于狀態判別的序貫概率比檢驗方法進行闡述，最后基于斜拉橋數值算例驗證了方法的可行性。

1 基于因子分析的環境影響效應分析

1.1 因子分析的基本理論

主成分分析(principal components analysis，PCA)最早是由Pearson[12]提出的，其后由Hotelling[13]于1963年進行了擴展，主成分分析是利用降維的思想，將多個指標轉化為少數幾個指標的多元統計方法，即通過尋找多維空間的主軸來代表原始空間的信息。圖1所示為二維空間上散點形成1個橢圓型輪廓的點陣，可由2個坐標來表示。主成分分析就是尋找到橢圓點陣的主軸來代替原有坐標，此時可以通過1主軸獲得空間的大部分信息，從而實現了降維。

圖1 二維空間的PCA示意圖

因子分析(factor analysis，FA)是主成分分析的推廣，是從研究矩陣的內部依賴關系出發，把一些具有錯綜復雜關系的變量歸結為少數幾個共同因素的一種多元統計方法。多變量之間的共同因素稱為公共因子，每一個分量的特定因素稱為特殊因子，因子分析就是用較少的公共因子的線性函數與特殊因子之和來表達原變量場的分量。因子分析除了能夠簡化數據、降低分析問題的維數外，還能分析變量間的基本結構。

設有1個維數據，其具有個公共因子(≤)，即[14]

式中：1,2, …,f為中各分量的公共因子；f的均值為0，方差為1且相互獨立；為的特殊因子，只對起作用，各的均值為0，方差為且相互獨立。式(1)可以寫為

若x經過標準化，則表示x和f之間的相關系數。

因子載荷陣的計算方法有主成分分析法、主因素法、最大似然法和模型擬合度評估等。

因子分析的目的不僅是找出公共因子，更重要的是分析每個公共因子的意義。因此，在實際分析中為了使每個公共因子的意義更加明確，一般對已經得到的載荷陣乘以1個階的正交矩陣：

從主成分分析和因子分析的理論中可以看出主成分分析是尋找原始變量間的線性組合，使線性組合得到的主成分的方差達到最大，并使觀測值在這些成分上顯示出最大的個體差異。而因子分析是解釋原始變量間的相關關系，能夠提供一些新變量對原始數據結構進行解釋，可以看成是主成分分析的擴展。兩者的差異可以歸納如下：

1) 主要目標不同。主成分分析是為了減少變量的個數，以較少的變量來解釋原變量間的大部分變異，而因子分析則是尋找變量間的相關性和潛在的共同 因素。

2) 側重點不同。主成分分析強調的是解釋數據變異的能力，而因子分析強調的是變量之間的相關性。

3) 變異的解釋程度不同。主成分分析將所有的變量變異考慮在內，而因子分析則會由于選擇的因子個數不同而會產生不同的誤差項。

4) 表示方法不同。主成分分析是將主成分表示為原始變量的線性組合，而因子分析是將原始變量表示為公共因子和特殊因子的線性組合，用公共因子來解釋變量間的內部依賴關系。

從上述分析可以看出：因子分析用于環境影響效應分析比主成分分析具有更加明確的物理意義和更好的解釋效果。

1.2 因子分析的矩陣擴展法

基于健康監測數據可以提取結構狀態特征，多個結構狀態特征可以構成結構狀態特征場，如多階模態頻率可構成模態頻率場。由環境因素的影響機理可知：環境因素對結構狀態特征的影響一般是對結構整體狀態的影響，而結構損傷或者結構狀態的微小改變更多的是對結構局部狀態的影響。對結構整體狀態的影響導致對狀態特征場中的各向量具有相似的影響，而對結構局部狀態的影響導致對某些結構狀態特征有較大的影響而對其他一些狀態特征的影響較小，如結構損傷對某階模態頻率的影響要比對其他階模態頻率的影響大。由于環境因素對結構狀態特征場中各向量具有相似的影響，因此，可以從結構狀態特征場中尋找出共同特征作為環境影響效應的映射。

基于因子分析的環境影響效應分析中首先需要基于基準狀態的樣本計算因子載荷陣，然后將未知狀態樣本代入到因子載荷陣中計算公共因子，最后由計算得到的因子載荷陣和公共因子來重構向量場，得到未知狀態樣本的特殊因子。

因子分析中會由于選擇的因子數的不同而存在一定的誤差，同時荷載陣一般也不是滿秩矩陣，故無法直接進行模型重構從而構成對未知狀態樣本的映射。因此，本文提出因子分析的矩陣擴展法，其擴展方式及推導過程如下。

設有1個維向量，每個向量有(＞)個觀測值，其因子分析可寫為

式中：為公共因子個數。由于式(5)中和不是的完全分解矩陣，因此，無法由的反向映射估計，為此需要將矩陣和擴展為和的形式：

式中：為左奇異向量矩陣；為右奇異向量矩陣；為奇異值矩陣。，且有。經過分析發現，可認為的秩為，故可取前面的個分量來代替，則可寫為

結合和的擴展式，易得

進一步可得

2 序貫概率比檢驗

在環境影響效應分析的基礎上，需要基于概率統計方法進行結構狀態判別，常用的概率統計方法有統計模式控制、假設檢驗、異常分析、概率密度估計等，其中假設檢驗可以分為固定樣本量檢驗和序貫分析。

在實際應用中經常會遇到樣本總體的分布狀態未知或者不易用簡單函數進行描述，但可以獲得基準狀態的樣本集，需要判斷新樣本點是否與基準狀態的樣本點服從同一分布的問題。對此本文提出了一種基于Mann-Whitney秩和的SPRT，該方法能夠準確地判斷出結構狀態的改變[16]。

當出現樣本相等的情況時，則取秩的均值作為相等樣本點的秩。

2) 分別計算基準狀態的樣本集和未知狀態的樣本集的秩和為

3) 若2個樣本集服從同一分布，當樣本量和均較大時，服從均值為和方差為的正態分布，其概率分布為

5) 對數似然比為

，

基于Mann-Whitney秩和的SPRT無需對樣本的分布進行假定，只需獲得基準狀態的樣本即可。這個條件在處理許多問題時是比較容易滿足的，尤其是在基于結構健康監測進行結構狀態評估時。由于該方法沒有對樣本的分布狀態進行假定，因此其適用范圍會更加廣泛。

這四首禪詩的禪意更加明顯，簡短義精，耐人尋味，深入探索了《青松紅杏圖》中的禪意與禪境。 王詩在觀此畫時營造一種清幽意境； 錢詩說到“有相” “無相”，認為智樸小像可為他本人又可為眾人之相，似偶非偶，禪機流露，且畫中僧似“瓢笠著支公”，表現遠離塵囂、佛心清凈的狀態； 馮詞將焦點置于青松紅杏的色彩對比上，黑白水墨上有青、紅二色，與恬淡老僧相并，對比十分強烈。 正是這鮮明突出的色彩表達著佛教“色即是空”的道理； 孫詩更進一步講到佛性原理——“空”，空無處不在，即使花紅柳綠奪人眼球，也不過欲求表達“空”的根本。 并且佛在我心，心靈可達到“萬物與并生，萬物與我為一”的境界，忘卻事物之間的一切分別。

3 數值算例

3.1 有限元模型修正

為了驗證本文所提的結構損傷識別方法的有效性，本文基于有限元程序ANSYS建立了東海大橋主航道斜拉橋(主跨420 m)的有限元模型。主梁采用beam188單元，橫梁采用beam4單元，斜拉索采用link10單元，集中質量采用mass21單元，邊界支座采用combin14單元。全橋共有312個beam188單元，2346個beam4單元，192個link10單元，467個mass21單元，42個combin21單元。有限元模型如圖2所示。

圖2 有限元模型

采用梯度法進行有限元模型修正，在修正過程中以模態頻率的相對殘差和作為目標函數，同時輔以模態振型進行校驗。其目標函數如下：

表1 模型計算值與實際測量值間的對比

3.2 結構損傷和環境溫度的影響對比

選用跨中合攏段主梁(長4 m)發生剛度損傷作為典型的損傷工況用于分析結構狀態改變對結構特征參數的影響，分別模擬5%，10%，15%，20%，30%和40%不同程度的損傷。在不同損傷程度時結構模態頻率的相對改變量如圖3所示。

圖3 不同工況下的結構頻率的改變

從環境溫度對結構特征參數的影響機理分析中可知：環境溫度影響材料的物理特性和幾何特性，如材料的彈性模量和線膨脹系數。根據文獻[17?18]可知：當溫度≤100 ℃時，環境溫度每改變1 ℃，混凝土材料的彈性模量改變量為?=?4.5×10?30，鋼材的彈性模量的改變量為?=?1.8×10?40。混凝土材料的線膨脹系數取為1.0×10?5，鋼材的線膨脹系數取為1.1×10?5。當環境溫度在0~40 ℃變化時結構模態頻率的改變量如圖4所示。環境溫度變化40 ℃時結構的1階橫向對稱側彎頻率(2階)的變化幅度為7.24%，前8階頻率中其余階模態頻率的變化幅度為1.34%~2.47%，這與實際監測結果相似[8]。從數值模擬結果可以看出：由于環境溫度變化40 ℃引起的結構模態頻率的改變量要比由于微小結構損傷引起的結構模態頻率的改變量大，若不進行環境影響效應分析，則只有當由結構損傷引起的結構狀態特征的改變量比由環境因素引起的結構狀態特征的改變量大很多時才能夠判別出結構狀態的改變，而此時結構必定發生了嚴重威脅到結構安全性的較大程度的損傷。因此，在結構損傷識別中，需要采用環境影響效應分析和結構狀態概率性分析方法才能對結構中的微小損傷進行判別。

圖4 環境溫度發生變化時結構頻率的改變

由實際監測數據可知斜拉橋的環境溫度分布具有以下典型特征：1) 沿箱梁橫截面存在溫度梯度；2) 環境溫度沿橋梁長度方向的分布大致相同；3) 箱梁左、右箱室的溫度略有不同[11]。為了能夠較真實地模擬環境溫度的影響，選用一個[0, 40] ℃均勻分布的隨機溫度作為箱梁中鋼結構的溫度，箱梁中混凝土橋面板的溫度在鋼結構溫度的基礎上增加1個服從(3, 4)正態分布的隨機數，兩側主塔在鋼結構溫度的基礎上增加1個服從[0, 5]均勻分布的隨機溫度，斜拉索溫度在鋼結構溫度的基礎上增加1個服從[0, 6]均勻分布的隨機溫度，兩側橫梁在鋼結構溫度的基礎上增加1個服從[?2, 2]均勻分布的隨機溫度。這5個隨機溫度能夠有效地考慮實際結構的溫度分布特點。對無損和不同損傷程度時環境溫度的影響各模擬10 000次。

在無損狀態時模擬10 000次得到的結構前3階模態頻率與鋼結構溫度間的散點圖如圖5所示。從圖5可見：模態頻率與環境溫度間具有良好的線性相關性，同時，由于隨機溫度場的影響也具有一定的隨機性。

(a) 1階頻率；(b) 2階頻率；(c) 3階頻率

圖5 前3階頻率與環境溫度的相關性

Fig. 5 Scatter of the first three modal frequencies and environmental temperature

3.4 結構損傷狀態判別

在環境溫度場作用下，基于因子分析和序貫概率比檢驗分別對不同損傷程度下的結構狀態進行判別。分析中取前8階模態頻率構成模態頻率場，在進行因子分析之前首先對模態頻率場依據無損狀態統計量進行標準化，然后采用公共因子數為1的因子分析，得到不同損傷程度下的特殊因子，并基于序貫概率比檢驗進行結構狀態判別。

無損狀態時模態頻率場特殊因子的正態分布檢驗結果如表2所示。從表2可以看出：除2，4和8階模態頻率的特殊因子能夠通過正態分布檢驗外，其余階模態頻率的特殊因子不能通過正態分布檢驗。

表2 無損狀態特殊因子正態分布檢驗結果

注：F表示不服從正態分布；T表示服從正態分布。

基于本文提出的矩陣擴展法計算因子分析的重構矩陣，其重構的相對誤差為4.11×10?15，表明所提出的重構方法是非常有效的。

基于無損狀態下得到的重構模型分別對各種損傷狀態下的模態頻率場進行映射分析，得到不同損傷狀況下的特殊因子(如圖6所示)。由于部分階模態頻率特殊因子不能通過正態分布檢驗，因此，在分析中采用極值分布理論估計得到超越概率為1.0%和0.1%的閾值限。從分析結果可以看出：前8階模態中除第2階和第4階模態頻率外，其余階均對于跨中主梁的損傷較敏感，其特殊因子隨著損傷程度的增大均有較大的變化，這與典型相關性分析得到的殘差變化不同[19]。還有一個更主要的不同之處是：在典型相關性分析中隨著損傷程度的增加殘差的均值是逐漸減小的，但在因子分析中不同階的特殊因子隨損傷程度的變化規律并不相同，前8階模態頻率中，第1，3和5階模態頻率的特殊因子均值隨著損傷程度的增加而減小，其余階的特殊因子均值隨著損傷程度的增加而增加，此時不能依據特殊因子均值來判斷結構狀態的變化趨勢。

(a) 1階頻率；(b) 2階頻率；(c) 3階頻率

圖6 不同損傷程度時前3階模態頻率特殊因子

Fig. 6 Special factor of the first three modal frequencies in different damage cases

當采用因子分析對環境影響效應分析以后，可基于序貫概率比檢驗方法來判斷結構狀態的改變。分析時，首先依據無損狀態特殊因子的統計值進行樣本標準化。由于不同階模態頻率的特殊因子隨著損傷程度的變化方向不一致，因此，針對不同階頻率設定不同的原假設和備選假設。第1，2和5階模態頻率特殊因子的原假設為，備選假設為(式中為正常狀態的特殊因子均值，為未知狀態的特殊因子均值)。而其余階模態頻率特殊因子的原假設為，備選假設為，第一類錯誤概率和第二類錯誤概率分別為和。在不同損傷程度下的前3階模態頻率的對數似然比如圖7所示，其判別結果如表3所示。從表3可以看出：大部分階數能夠在損傷5%時判斷出結構狀態發生改變，表明該方法能夠識別較小的結構損傷。但當出現較大的結構損傷時如40%，第3，5，6，7和8階模態頻率的Mann-Whitney秩和SPRT卻不能夠作出判斷，這是因為此時原假設和備選假設間的真實差值比2個樣本間的差值小很多，此時僅僅通過比較排序的秩和檢驗就會失去較多的信息而不能作出準確判別，但可以通過增大備選假設和原假設的差值來得到正確的分析結果。

(a) 1階頻率；(b) 2階頻率；(c) 3階頻率

圖7 Mann-Whitney秩和SPRT分析的結果

Fig. 7 Result of SPRT based on Mann-Whitney rank sum test

表3 Mann-Whitney秩和SPRT分析的判斷結果

注：A表示接受原假設，結構狀態未發生改變；R表示拒絕原假設，結構狀態發生改變；N表示未判斷出結果。

4 結論

1) 基于因子分析和序貫概率比檢驗能夠準確地識別出較小的結構損傷。

2) 因子分析能夠較好地對環境影響效應進行分析，基于分析得到的特殊因子能夠很好地判別出結構的狀態的變化。由于因子分析不需要已知環境因素的測量值，因此，基于因子分析得到的特殊因子中會出現部分特殊因子均值減小，而另外一部分特殊因子均值增大的情況，此時不能夠很好地判斷出結構狀態的變化趨勢。

3) 基于Mann-Whitney秩和的SPRT能夠準確地判斷出結構狀態的微小改變。若原假設和備選假設的差異性要比真實的樣本差異性小很多時基于Mann-Whitney秩和的SPRT會無法進行判斷，此時需要增大原假設和備選假設間的差異性。

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Structural damage identification based on factor analysis and sequential probability ratio test

MIN Zhihua1, SUN Limin2, WANG Yin1

(1. College of Civil Engineering, Shanghai Normal University, Shanghai 201418, China;2. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

A novel method of structural damage identification based on factor analysis and sequential probability ratio test was proposed. The structural condition features, which were extracted from the monitoring data, were not only affected by structural condition, but also influenced by environmental factors, measurement noise and analysis errors. When the environmental factors which affected structural condition features were unknown or could not be measured, the common factors of structural condition features field, which were calculated by the factor analysis, could be used to express the influences of environmental factors, and structural damage could be identified based on the sequential probability ratio test. The factor analysis theory was introduced firstly and the matrix excluding method of the factor analysis was derived. And then the structural condition was identified correctly by the sequential probability ratio test based on Mann-Whitney rank sum test. Finally, a numerical example of a cable-stayed bridge was used to validate this method, and the results show that the method can correctly identify small structural damage.

factor analysis; sequential probability ratio test; structural damage identification; structural health monitoring

O329；TU317

A

1672?7207(2015)01?0295?09

2014?02?12；

2014?04?02

國家自然科學基金資助項目(51308338)；上海市自然科學基金資助項目(13ZR1458900)；上海市教委科研創新項目(13YZ060)；上海師范大學重點學科項目(A-7001-12-002007)；上海師范大學原創與前瞻性預研項目(DYL201306) (Project(51308338) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(13ZR1458900) supported by Shanghai Natural Science Foundation; Project(13YZ060) supported by Innovation Program of Shanghai Municipal Education Commission; Project(A-7001-12-002007) supported by Leading Academic Discipline Project of Shanghai Normal University; Project(DYL201306) supported by Originality and Forward-looking Research Project of Shanghai Normal University)

閔志華，博士，講師，從事結構健康監測與狀態評估研究；E-mail: zhmin_tj@hotmail.com

10.11817/j.issn.1672?7207.2015.01.040

(編輯 楊幼平)