風荷載作用下中空幕墻玻璃的非線性彎曲

吳曉，楊立軍，黃翀

?

風荷載作用下中空幕墻玻璃的非線性彎曲

吳曉，楊立軍，黃翀

(湖南文理學院 土木建筑學院，湖南 常德，415000)

采用雙模量彈性理論研究外荷載作用下中空幕墻玻璃的非線性彎曲問題，建立幕墻玻璃在外荷載作用下非線性彎曲的變形微分方程。將梁函數作為中空幕墻玻璃的非線性彎曲時撓度函數，用加權殘值法求得中空幕墻玻璃非線性彎曲時的中心撓度，并將雙模量彈性理論計算結果、單模量彈性理論計算結果與有限元計算結果進行比較。研究結果表明：雙模量彈性理論計算結果是可靠的。

幕墻；玻璃；非線性；彎曲；雙模量

隨著高層建筑的發展和建筑立面的多樣化，玻璃幕墻作為建筑師思想和現代技術的載體得到廣泛應 用[1]。然而，幕墻玻璃的承載力和剛度都很低，在使用過程中常常發生破壞和脫落[2]：因此，需對幕墻玻璃在強風等荷載下的強度和變形進行計算，這是玻璃幕墻設計中的一個重要環節[3]。中空幕墻玻璃是由玻璃面板、型材框架以及相互之間連接并與主體結構相連的結構體系，要承受風荷載、自重、地震、溫度變化等作用[4]。對中空幕墻玻璃進行分析的目的是為了揭示此類結構的受力變形規律，為設計這種結構提供理論依據，使其盡可能地符合可靠、適用、經濟等諸方面的要求[5?14]。玻璃、陶瓷等材料都具有拉壓彈性模量不同的雙模量特征，用雙模量本構關系對這些材料制成的結構進行計算分析備受人們關注。一些研究者將幕墻玻璃作為各向同性材料來進行研究顯然與實際情況不符。張其林[15]認為小變形理論忽略了中面拉力對位移和應力的阻止或抵消效應，因此，對幕墻玻璃中的玻璃面板應采用精確的幾何非線性方法進行計算和分析。為此，本文作者采用雙模量彈性理論研究風荷載作用下幕墻玻璃的非線性彎曲問題。

1 玻璃幕墻的拉伸區

框支承中空玻璃幕墻有明框玻璃幕墻和隱框玻璃幕墻2種。明框中空玻璃幕墻中空玻璃由鋁合金框支承，隱框中空玻璃幕墻由結構膠將中空玻璃固定在鋁合金框上。不管是明框玻璃幕墻還是隱框玻璃幕墻，由于邊支承不能有效限制中空玻璃的轉動，計算時一般將中空玻璃簡支支承在鋁合金框上處理，四邊簡支支承的中空幕墻玻璃示意圖如圖1所示。

圖1 中空幕墻玻璃示意圖

中空幕墻玻璃是由內、外2層玻璃和中間密閉空氣層組成，在風壓作用下彎曲時，空氣層傳遞壓力不傳遞剪力，所以，內、外2層玻璃將各自獨立產生彎曲變形。而玻璃是典型的雙模量材料，其彎曲時拉伸區與壓縮區的彈性模量不同。由彈性理論可知玻璃面板的彎曲應力表達式為

式中：下角標=1表示拉伸區；=2表示壓縮區；E為彈性模量；為泊松比；w為幕墻玻璃的位移，下角標=1表示外層幕墻玻璃，=2表示內層幕墻玻璃。

玻璃面板彎曲時橫截面內力應滿足以下關系：

式中：h為中空幕墻玻璃單層玻璃的厚度，。將式(2)中2個分式相加可得

由式(3)可以求得

2 玻璃幕墻彎曲微分方程

由式(1)可知中空幕墻玻璃單層玻璃的彎矩、扭矩表達式為

由文獻[16?17]，中空幕墻玻璃中間密閉空氣層對內層玻璃的壓力小于或接近外層玻璃風壓。設在風壓(,)作用下內、外層幕墻玻璃承受的面荷載為(,)，=1時為外層幕墻玻璃的荷載，＜1時為內層幕墻玻璃的荷載。由彈性理論可知在中空幕墻玻璃單層玻璃在分布荷載作用下，其內力應滿足：

式中：N,N和N為中面拉力及剪力。

由彈性理論可以得到中空幕墻玻璃單層玻璃中面內點的應變表達式為

式中：u(或v)為中面內點沿(或)方向的位移。由式(8)可以得到相容方程為

因為N,N和N均為中空幕墻玻璃單層玻璃引起的中面拉力，由胡克定律可以得到

令

將式(5)和(6)代入式(7)，將式(10)和(11)代入式(9)，即可得到中空幕墻玻璃外層幕墻玻璃、內層幕墻玻璃的非線性彎曲微分方程為

若圓形中空幕墻玻璃單層玻璃發生非線性軸對稱彎曲變形時，則式(12)可以簡化為

3 幕墻玻璃的非線性彎曲

當風載垂直作用在矩形中空幕墻玻璃單層玻璃上時，設撓度函數及中面應力函數分別用梁函數表示為

式中：1i，1i，2i和2i均為梁函數；A和B均為常數。將式(14)代入式(12)，利用伽遼金原理可得到矩形中空幕墻玻璃單層玻璃非線性方程組為

當風載垂直作用在圓形中空幕墻玻璃單層玻璃上時，可把撓度函數代入式(13)第2分式求出，利用伽遼金原理可得

當矩形中空幕墻玻璃為四邊簡支時，可設彎曲撓度為

將式(17)代入式(15)可得矩形中空幕墻玻璃單層玻璃中心撓度A與風載0之間關系為

當圓形中空幕墻玻璃周邊為簡支時，可設彎曲撓度為

將式(19)和(20)代入式(16)可得圓形周邊為簡支中空幕墻玻璃單層玻璃中心撓度與風載之間關系為

對于在均布荷載0作用下的四邊簡支薄方板，當，時，賈春元[18]給出了荷載0與板中心撓度A的關系式為

4 算例分析及討論

為了驗證本文計算方法正確性及說明本文方法在實際中的應用，分別用ANSYS和本文方法對以下2個算例進行計算。材料彈性系數見表1。由文獻[17]可知，在風吸力的作用下，內層幕墻玻璃外側面受到的風吸力約為外層幕墻玻璃的70%左右，所以，假設外層幕墻玻璃外側面承受的面荷載為0。參閱文獻 [17]取內層幕墻玻璃外側面承受的面荷載為0.70，則對中空幕墻玻璃進行設計計算時，內層幕墻玻璃的設計計算是重點。

表1 材料彈性參數

1) 算例1：用ANSYS、式(18)和(21)計算由材料1組成的均布荷載作用下中空幕墻玻璃為四邊簡支方形外層玻璃中心撓度和內層玻璃中心撓度、圓形周邊簡支中空幕墻玻璃外層玻璃中心撓度和內層玻璃中心撓度。設中空幕墻玻璃為四邊簡支方形的=1 000 mm，圓形周邊簡支中空幕墻玻璃半徑=500 mm，令方板、圓板的高=6 mm。材料彈性參數表如表1所示。下層拉伸區由材料2組成的板，材料彈性模量1=37 GPa，泊松比1=0.1；上層壓縮區由材料3組成的板，材料彈性模量1=72 GPa，泊松比2=0.2。有限元單元采用8節點SOLID185單元，該單元具有大變形，大應變能力，采用Large Displacement static analysis求解，計算結果如表2~5所示。

表2 由本文方法與ANASYS所得四邊簡支方形中空幕墻玻璃外層玻璃中心撓度1的比較

Table 2 Comparison ofcentral deflection1of outer layer of rectangular mid-air glass plates with simply supported edges between method of this paper and ANSYS mm

方法q/(kN·m?2) 0.61.01.41.82.2 本文方法2.7604.6416.4758.31310.115 ANSYS2.7694.6536.4898.35210.163

表3 由本文方法與ANSYS所得四邊簡支方形中空幕墻玻璃內層玻璃中心撓度2的比較

Table 3 Comparison ofcentral deflection2of inner layer of rectangular mid-air glass plates with simply supported edges between method of this paper and ANSYS mm

方法q/(kN·m?2) 0.61.01.41.82.2 本文方法1.8773.1554.4675.7367.081 ANSYS1.8823.1634.4795.7557.105

表4 由本文方法與ANSYS所得圓形周邊簡支中空幕墻玻璃外層玻璃中心撓度01的比較

Table 4 Comparison ofcentral deflection01of outer layer of circular mid-air glass plates with simply supported edges between method of this paper and ANSYS mm

方法q/(kN·m?2) 0.61.01.41.82.2 本文方法2.4354.0325.6737.2768.921 ANSYS2.4414.0415.6877.3018.953

表5 由本文方法與ANSYS所得圓形周邊簡支中空幕墻玻璃內層玻璃中心撓度02的比較

Table 5 Comparison ofcentral deflection02of inner layer of circular mid-air glass plates with simply supported edges between method of this paper and ANSYS mm

方法q/(kN·m?2) 0.61.01.41.82.2 本文方法1.6562.7393.9155.0216.245 ANSYS1.6612.7473.9285.0436.270

2) 算例2：用ANSYS和式(18)計算由材料1組成的均布荷載0作用下四邊簡支方形單層幕墻玻璃中心撓度。設中空幕墻玻璃為四邊簡支方形的=1 000 mm，=5 mm。材料彈性參數如表1所示，計算結果見表6。

表6 由本文方法與ANSYS所得四邊簡支方形玻璃面板中心撓度的比較

Table 6 Comparison ofcentral deflection of rectangular mid-air glass plates composed of material with simply supported edges between method of this paper and ANSYS mm

方法q/(kN·m?2) 0.61.01.41.82.25.0 本文方法4.2336.3688.0669.46510.66016.243 ANSYS4.3516.6018.3819.86311.12917.039

由表2~6所示計算結果可以看出：本文方法關于均布荷載作用下的四邊簡支方形中空玻璃板及圓形周邊簡支中空玻璃板中心撓度結果與有限元法所得結果較吻合，說明其計算精度較高，在幕墻玻璃設計中采用本文的方法進行計算是可行的；在相同均布荷載作用下，同尺寸的四邊簡支方形中空幕墻玻璃中心撓度遠遠小于相同邊界條件的實心幕墻玻璃中心撓度，這主要是由于四邊簡支方形中空幕墻玻璃彎曲剛度大于四邊簡支方形實心幕墻玻璃的彎曲剛度。另外，玻璃是典型的雙模量材料，即具有拉壓彈性模量不同的特性，所以，在工程實際中將幕墻玻璃作為單模量材料進行設計計算是不恰當的，應當考慮幕墻玻璃的拉壓彈性模量不同的特性。

通常研究板的非線性彎曲變形時多采用攝動法及三角函數法。攝動法計算過程復雜繁瑣，三角函數法收斂慢。從以上計算可以看出：本文采用梁函數研究均布荷載作用下中空幕墻玻璃的非線性彎曲問題，不但計算過程簡便，而且計算精度高，更適合工程設計人員掌握使用。

5 結論

1) 本文方法即雙模量彈性理論的計算結果與有限元法的計算結果較吻合，在幕墻玻璃設計中采用本文的方法進行計算是可行的。

2) 在工程實際中將把璃幕墻作為單模量材料來進行設計計算是不恰當的，應當考慮璃幕墻的拉壓彈性模量不同的特性。

3) 采用梁函數研究風荷載作用下中空幕墻玻璃的非線性彎曲問題，不但計算過程簡便而且計算精度也高，更適合工程設計人員掌握使用。

[1] Ruoqiang F, Jihong Y, Yue W, et al. Mechanical behavior of glass panels supported by clamping joints in cable net facades[J]. International Journal of Steel Structures, 2012, 12(1): 15?24.

[2] Gang S, Yongzhi Z, Xiaohao S, et al. Influence of damages on static behavior of single-layer cable net supported glass curtain wall: full-scale model test[J]. Frontiers of Architecture and Civil Engineering in China, 2010, 4(3): 383?395.

[3] Yongqi C, Tiezhu C, Liangzhe M, et al. Structural vibration passive control and economic analysis of a high-rise building in Beijing[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2009, 8(4): 561?568.

[4] Yuanqing W, Huanxin Y, Yongjiu S, et al. Bearing capacity of non-linear metallic spiders used in point supported glass facades[J]. International Journal of Steel Structures, 2012, 12(2): 191?204.

[5] 高軒能, 王書鵬. 建筑夾層玻璃在靜力及爆炸荷載下的撓度[J]. 硅酸鹽學報, 2008, 36(10): 1477?1483.
GAO Xuanneng, WANG Shupeng. Deflection of architectural laminated glasses under static and explosive loads[J]. Journal of the Chinese Ceramic Society, 2008, 36(10): 1477?1483.

[6] 許杰, 吳云龍, 趙芳紅, 等. 工程應力分布玻璃研究進展[J]. 硅酸鹽學報, 2009, 37(12): 2135?2140.
XU Jie, WU Yunlong, ZHAO Fanghong, et al. Research progress in engineered stress profile glass[J]. Journal of the Chinese Ceramic Society, 2009, 37(12): 2135?2140.

[7] 劉小根, 包亦望, 宋一樂, 等. 夾層玻璃固有頻率計算方法與影響因素分析[J]. 硅酸鹽通報, 2008, 27(5): 919?923.
LIU Xiaogen, BAO Yiwang, SONG Yile, et al. The calculation method and influence factor to the natural frequency of laminated glass[J]. Journal of the Chinese Ceramic Society, 2008, 27(5): 919?923.

[8] 殷永煒, 張其林, 黃慶文. 點支式中空和夾層玻璃承載性能的試驗研究[J]. 建筑結構學報, 2004, 25(1): 93?98.
YIN Yongwei, ZHANG Qilin, HUANG Qingwen. Experimental study on load bearing capacity of point-supported mid-hollow and laminated glasses[J]. Journal of Building Structures, 2004, 25(1): 93?98.

[9] 李磊, 安二峰, 楊軍. 浮法玻璃應變率相關的動態本構關系[J]. 建筑材料學報, 2011, 14(2): 202?206.
LI Lei, AN Erfeng, YANG Jun. Strain rate dependent dynamic constitutive equation of float glass[J]. Journal of Building Structures, 2011, 14(2): 202?206.

[10] 石永久, 馬贏, 王元清. 點支式夾層玻璃板承載性能的有限差分分析法[J]. 計算力學學報, 2007, 24(5): 664?668.
SHI Yongjiu, MA Ying, WANG Yuanqing. Analysis on loading capacity of point-supported laminated glass unit by FDM[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2007, 24(5): 664?668.

[11] 石永久, 馬贏, 王元清. 點支式雙層中空玻璃板的變形性能分析[J]. 工業建筑, 2005, 35(2): 20?23.
SHI Yongjiu, MA Ying, WANG Yuanqing. Analysis of deflection properties of point supporting mid-hollow glass[J]. Industrial Construction, 2005, 35(2): 20?23.

[12] 王必利. 利用牛頓環實驗測定玻璃的彈性模量[J]. 大學物理實驗, 2012, 25(2): 44?46.
WANG Bili. The measurement of glass elastic modulus by using of Newton’s ring experiment[J]. Physical Experiment of College, 2012, 25(2): 44?46.

[13] 童麗萍, 王廣國. 高層建筑中空玻璃幕墻的結構分析[J]. 應用力學學報, 2001, 18(2): 134?136.
TONG Liping, WANG Guangguo. Structural analysis for curtain walls of hollow glass in high-rised[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2001, 18(2): 134?136.

[14] 毛起炤, 王啟宏, 單俊鴻, 等. 玻璃在拉伸和壓縮時粘彈性質的研究[J]. 硅酸鹽學報, 1997, 25(1): 18?22.
MAO Qizhao, WANG Qihong, SHAN Junhong, et al. Study on the viscoelastic properties of glass under compression and tension[J]. Journal of the Chinese Ceramic Society, 1997, 25(1): 18?22.

[15] 張其林. 玻璃幕墻結構設計[M]. 上海: 同濟大學出版社, 2007: 51?58.
ZHANG Qilin. Glass curtain wall structural design[M]. Shanghai: Tongji University Press, 2007: 51?58.

[16] 顧明, 黃鵬. 雙層玻璃幕墻風壓分布特性的試驗研究[J]. 建筑結構, 2005, 35(6): 68?71.
GU Ming, HUANG Peng. Double glazing experimental study on characteristics of wind pressure distribution[J]. Building Structure, 2005, 35(6): 68?71.

[17] 田宗遠, 張麗新. 淺談雙層玻璃幕墻及其風荷載特性[J]. 門窗, 2011, 5(10): 5?7.
TIAN Zhongyuan, ZHANG Lixin. Introduction the double glass curtain wall and its characteristic of wind load[J]. Doors and Windows, 2011, 5(10): 5?7.

[18] 賈春元. 板的非線性分析[M]. 北京: 科學出版社, 1989: 73.
Jia Chongyuan. Nonlinear analysis on plate[M]. Beijing: Science Press, 1989: 73.

Nonlinear bending of hollow glass of curtain wall under uniform loads

WU Xiao, YANG Lijun, HUANG Chong

(College of Architecture and Civil Engineering, University of Arts and Science, Changde 415000, China)

The nonlinear bending of hollow glass of curtain wall under uniform load was studied with double modulus elastic theory.The nonlinear bending differential equation of hollow glass of curtain wall was established. Taking the beam function as the nonlinear bending deflection function of hollow glass of curtain wall, the nonlinear bending center deflection of hollow glass was obtained using method of weighted residuals. Then the calculative results were compared with those obtained by finite element and single modulus elasticity theory. The results show that the method above is reliable.

curtain wall; glass; nonlinearity; bending; double modulus

TU313

A

1672?7207(2015)01?0304?06

2014?01?12；

2014?03?21

湖南省“十二五”重點建設學科資助項目(湘教發2011[76]) (Project(XJF 2011[76]) supported by “Twelfth Five Year Plan” for the Construct Program of the Key Disciplines in Hunan Province)

吳曉，教授，從事結構振動理論研究；E-mail: wx2005220@163.com

10.11817/j.issn.1672?7207.2015.01.041

(編輯 陳燦華)