基于判斷矩陣行一致信息的指標(biāo)權(quán)重均值算法

摘 要： 為了使層次分析法所得指標(biāo)權(quán)重更接近實(shí)際，提出基于判斷矩陣行一致信息的指標(biāo)權(quán)重均值算法。算法通過(guò)提取蘊(yùn)涵于判斷矩陣每行的專家一致性判斷信息，構(gòu)造一組以每行元素為基礎(chǔ)的一致性矩陣，根據(jù)多次測(cè)量所得平均值更接近被測(cè)對(duì)象真值的原理，取所得一致性矩陣的單位特征向量的平均向量作為指標(biāo)權(quán)重。算法不需要對(duì)專家判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，徹底避免了調(diào)整判斷矩陣可能會(huì)丟掉專家判斷信息的風(fēng)險(xiǎn)。實(shí)例計(jì)算表明，該算法切實(shí)可行。

關(guān)鍵詞： AHP； 判斷矩陣； 指標(biāo)權(quán)重； 行一致性信息； 均值算法

中圖分類號(hào)： TN911?34； O223 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2015）17?0114?03

Index weight mean value algorithm based on consistency

information in judgment matrix rows

SONG Huayu

（Department of Science and Technology， Shaanxi Provincial Party School， Xian 710061， China）

Abstract： To make the index weight obtained from AHP more close to the actual one， the index weight mean value algorithm based on consistency information of rows in judgment matrix is put forward. A group of consistency matrix which takes each row′s element as foundation is constructed by extracting consistency information of experts judgment contained in each row of judgment matrix. According to the principle that the average value obtained from multiple measurement is more close to the true value of the measured object， the average vector of unit eigenvector obtained from the consistency matrix is taken as the index weight. Since the algorithm needn′t check the consistency for the expert judgment matrix， the risk that the adjustment of judgment matrix may lose the expert judgment information can be avoided completely. The instance calculation shows that the algorithm is feasible.

Keywords： AHP； judgment matrix； index weight； consistency information of row； mean value algorithm

0 引 言

AHP確定指標(biāo)權(quán)重的關(guān)鍵是專家根據(jù)指標(biāo)的相對(duì)重要性構(gòu)造判斷矩陣[1]。由于客觀事物的復(fù)雜性和人的認(rèn)識(shí)能力的局限性，使得專家在作交叉判斷時(shí)出現(xiàn)不一致的情況，如甲指標(biāo)比乙指標(biāo)明顯重要，乙指標(biāo)比丙指標(biāo)稍微重要，而丙指標(biāo)又比甲指標(biāo)重要，由此專家給出的判斷矩陣往往不滿足一致性要求，對(duì)于此種情況，AHP的處理方法是調(diào)整判斷矩陣以使其滿足一致性要求[1?2]，而現(xiàn)有的研究成果也主要集中在如何調(diào)整判斷矩陣才能提高其一致性水平上[3?12]。其實(shí)，并不是判斷矩陣的一致性水平越高，指標(biāo)權(quán)重就越接近實(shí)際[1?3]。相反，為了使判斷矩陣的一致性水平達(dá)到要求而改變判斷矩陣的元素，可能會(huì)丟掉專家的一部分判斷信息，從而使所得指標(biāo)權(quán)重更遠(yuǎn)離實(shí)際。由于判斷矩陣是由領(lǐng)域?qū)＜医?jīng)過(guò)認(rèn)真研究確定的，因此有理由認(rèn)為判斷矩陣的大部分信息是比較準(zhǔn)確的，基于此點(diǎn)，本文提出基于判斷矩陣行一致信息的指標(biāo)權(quán)重均值確定算法，該算法的最大特點(diǎn)是不需要對(duì)專家判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，同時(shí)能充分利用專家比較準(zhǔn)確的判斷信息，有效減弱專家不準(zhǔn)確判斷信息對(duì)指標(biāo)權(quán)重的影響。

1 算法原理

1.1 以行元素為基礎(chǔ)的一致性矩陣

設(shè)某目標(biāo)準(zhǔn)則下所考慮的指標(biāo)為[A1，][A2，…，An，]則相應(yīng)的判斷矩陣[A]具有如下形式：

[ A1 A2 … AnA=a11a12…a1na21a22…a2n……?…an1an2…ann A1A2?An]

式中：[aij]是專家按照1～9評(píng)判法則對(duì)指標(biāo)[Ai]與[Aj]重要性程度的比較結(jié)果[1]，該判斷矩陣[A]具有以下特點(diǎn)：

（1） [aij=1aji]，[i≠j]；

（2） [aij=1]，[i=j]。

即[A]是互反矩陣[4]。因此，確定判斷矩陣[A，]實(shí)際上只需確定對(duì)角線元素[aii]（i=1，2，…，n）的右上角所有元素即可。

事實(shí)上，只要專家給出判斷矩陣的任意一行元素（也就是專家給出任意一個(gè)指標(biāo)同其他所有指標(biāo)的相對(duì)重要性的判斷結(jié)果），那么判斷矩陣其他各行的元素就在一定的一致性邏輯關(guān)系下確定了（即其他指標(biāo)兩兩之間相對(duì)重要性就確定了）。比如，有4個(gè)指標(biāo)[A1，A2，A3，][A4，]專家給定[A=aijn×n]的第一行元素為[a11=1，][a12=3，][a13=7，][a14=9，]那么矩陣[A=aijn×n]中從第二行起的任何一個(gè)元素[aij]（[i=2，3，4；j=1，2，3，4]）就被第一行元素[a1i]和[a1j]確定了。以第二行元素[a23]被第一行元素[a12=3]和[a13=7]確定為例進(jìn)行說(shuō)明。[a23]是指標(biāo)[A2]與[A3]相對(duì)重要性比較的結(jié)果，由[a12=3]可知[A1]比[A2]的重要性高2個(gè)等級(jí)，由[a13=7]可知[A1]比[A3]的重要性高6個(gè)等級(jí)，由此可以得出[A2]比[A3]的重要性高4個(gè)等級(jí)（由[6-2]計(jì)算得出），從而可得[a23=5。]用同樣的方法，可以計(jì)算出[a24=7，][a34=3，]于是可以得到如下的一個(gè)互反矩陣：

[A（1）=1379131571715131917131]

由于矩陣[A（1）]是以指標(biāo)[A1]與其他所有指標(biāo)相對(duì)重要性的判斷結(jié)果為基礎(chǔ)，按照一定的一致性邏輯關(guān)系確定，所以[A（1）]滿足一致性要求，稱其為以行元素為基礎(chǔ)的一致矩陣。經(jīng)過(guò)對(duì)各種情況的分類研究，本文總結(jié)歸納出根據(jù)專家判斷矩陣[A=aijn×n]中的任一行（設(shè)為第[k]行）元素構(gòu)造一致矩陣（設(shè)為[A（k）=a（k）ijn×n]）的算法如下：

（1） 計(jì)算轉(zhuǎn)換矩陣[B（k）=b（k）ijn×n]的第[k]行元素：

[b（k）kj=akj，akj≥12-1akj，akj<1] （1）

式中：[j=1，2，…，n。]

（2） 計(jì)算轉(zhuǎn)換矩陣[B]的其他各行對(duì)角線右上角元素[b（k）ij]（[i≠k，]i

[b（k）ij=b（k）ki-b（k）kj] （2）

（3） 以專家判斷矩陣[A]的第[k]行元素為一致矩陣[A（k）=a（k）ijn×n]的第[k]行元素，利用式（3）計(jì)算[A（k）]的其他行對(duì)角線右上角元素[a（k）ij]（[i≠k]，[i

[a（k）ij=1b（k）ij+1，0≤b（k）ij<9b（k）ij+1，-9

（4）根據(jù)[A（k）]是互反矩陣，寫出一致性矩陣[A（k）=a（k）ijn×n]的其余元素。

1.2 指標(biāo)權(quán)重均值確定算法

由于判斷矩陣是由領(lǐng)域?qū)＜医?jīng)過(guò)認(rèn)真研究確定的，因此有理由認(rèn)為判斷矩陣的大部分信息是比較準(zhǔn)確的，當(dāng)以某行元素為基礎(chǔ)構(gòu)造一致性矩陣時(shí)，實(shí)際上就是利用蘊(yùn)涵于那行元素的專家一致性判斷信息對(duì)所有元素兩兩之間的相對(duì)重要性進(jìn)行一次“測(cè)量”，根據(jù)多次測(cè)量所得平均值更接近被測(cè)對(duì)象真值的原理，可得如下指標(biāo)權(quán)重均值確定算法：

（1） 分別以原專家判斷矩陣[A=aijn×n]中的每一行元素為基礎(chǔ)，按照1.1節(jié)的方法構(gòu)造一組新的一致性矩陣[A（k）=a（k）ijn×n]，[k=1，2，…，n]；

（2） 用方根法求出每個(gè)[A（k）=a（k）ijn×n]的單位特征向量[W（k），][k=1，2，…，n；]

（3） 求出平均向量[W=1nk=1nW（k）]作為指標(biāo)權(quán)重。

2 算 例

設(shè)原專家判斷矩陣為：

[A=13131451311718537114848412151518121]

下面按照本文基于行一致性信息的均值算法確定指標(biāo)權(quán)重：

（1） 分別以每行元素為基礎(chǔ)，按照1.1節(jié)的方法構(gòu)造如下5個(gè)一致矩陣[A（k）=a（k）ij5×5]（[k=1，2，…，5]）：

[A（1）=13131451311516335112746218151317181]

[A（2）=13131671311718537112968219171519191]

[A（3）=15131661511719237114869419161218191]

[A（4）=1511441511518121511444841714214171]

[A（5）=1114135111413544128331217151518171]

（2） 用方根法求出每個(gè)[A（k）=a（k）ij5×5]的單位特征向量[W（k）]：

[W（1）=（0.14，0.07，0.30，0.45，0.04）T][W（2）=（0.11，0.06，0.33，0.47，0.03）T]

[W（3）=（0.13，0.04，0.25，0.54，0.03）T][W（4）=（0.19，0.04，0.19，0.53，0.06）T]

[W（5）=（0.12，0.12，0.44，0.29，0.03）T]

（3） 計(jì)算平均向量[W：]

[W=15k=15W（k）=（0.138，0.066，0.302，0.456，0.038）T]

由此可知指標(biāo)權(quán)重依次為[0.138，0.066，0.302，0.456，][0.038]。

3 結(jié) 語(yǔ)

（1） 本文提出基于判斷矩陣行一致信息的指標(biāo)權(quán)重均值確定算法，由于判斷矩陣是由領(lǐng)域?qū)＜医?jīng)過(guò)認(rèn)真研究確定的，因此有理由認(rèn)為判斷矩陣的大部分信息是比較準(zhǔn)確的，由多次測(cè)量求平均值的原理可知，本文算法能夠充分利用判斷矩陣中蘊(yùn)涵的專家比較準(zhǔn)確的判斷信息，有效減弱了專家不準(zhǔn)確判斷信息對(duì)指標(biāo)權(quán)重的影響。

（2） 由于以行元素為基礎(chǔ)的一致矩陣是按照原判斷矩陣中每行元素所蘊(yùn)涵的專家判斷的一致信息構(gòu)造的，所以這些矩陣均滿足一致性要求，從而無(wú)論原判斷矩陣的一致性比率是否滿足要求，按照本文方法得到的原判斷矩陣的平均一致性比率一定滿足要求，因此，本文方法不需要對(duì)原判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。

（3） 算法完全可以通過(guò)計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，指標(biāo)越多，算法的效率越高。

參考文獻(xiàn)

[1] 李瑛.決策統(tǒng)計(jì)分析[M].天津：天津大學(xué)出版社，2005.

[2] 董肇君.系統(tǒng)工程與運(yùn)籌學(xué)[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2007.

[3] 姜啟源.層次分析法應(yīng)用過(guò)程中的若干問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2013，43（23）：157?168.

[4] 范春彥，韓曉明，湯偉華.AHP中專家判斷信息的提取及指標(biāo)權(quán)重的綜合確定法[J].空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，4（1）：65?67.

[5] 華中生，吳云燕，徐曉燕.一種AHP判斷矩陣一致性調(diào)整的新方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2003，25（1）：38?40.

[6] 朱建軍，劉士新.一種新的改進(jìn)不一致判斷矩陣的方法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2001，19（4）：90?96.

[7] 駱正清.AHP中判斷矩陣不一致性調(diào)整的新方法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2004，24（6）：84?92.

[8] 葉躍祥，糜仲春，王宏宇.AHP判斷矩陣一致性調(diào)整的前瞻算法[J].系統(tǒng)工程，2006，24（10）：117?120.

[9] 嚴(yán)世華，田效.基于層次分析法的判斷矩陣一致性調(diào)整方法[J].兵工自動(dòng)化，2008，27（4）：8?9.

[10] 馮其明.一種提高判斷矩陣一致性程度的方法[J].科技導(dǎo)報(bào)，2010，28（6）：32?34.

[11] 宋花玉.AHP法機(jī)場(chǎng)選址判斷矩陣的一種構(gòu)造方法[J].航空計(jì)算技術(shù)，2015，45（2）：68?71.

[12] 王國(guó)華，梁樑.專家判斷矩陣的一種調(diào)整方法[J].系統(tǒng)工程，2001，19（4）：90?96.