劉煥文：撩開緩坡方程的神秘面紗

本刊記者　李明麗

劉煥文：撩開緩坡方程的神秘面紗

本刊記者李明麗

專家簡介：

劉煥文，湖南瀏陽人。廣西民族大學二級教授。1982年大專畢業于湘潭師專（現湖南科技大學）；1988年碩士畢業于湘潭大學；2000年博士畢業于澳大利亞臥龍崗大學；2002～2004年于新加坡國立大學從事博士后研究。1988年起一直在廣西民族大學任教。2002年入選廣西十百千人才第二層次人選；2004年獲評教育部“全國優秀教師”。2005年獲“廣西壯族自治區先進工作者”稱號。2006年獲中華全國總工會“全國五一勞動獎章”，中央統戰部“各民主黨派、工商聯、無黨派人士全面建設小康社會作貢獻先進個人”，“廣西留學回國人員先進個人”稱號。2010年獲廣西自然科學獎二等獎。2013年被評為“廣西壯族自治區優秀專家”。

“緩坡方程”，這個聽起來生僻怪異的數學術語，在日常生活中，甚至一般學術研究中不甚多見，但卻是廣西民族大學劉煥文教授的精專之學，也是國際上研究海洋表面波的“敲門磚”之一。我們試著在學術谷歌中用緩坡方程的英文名“mild slope equation”搜索，一下跳出28萬個相關條目，其中絕大多數與緩坡方程有關。該方程在水波理論中的重要性和熱門程度可見一斑。

正是由于十幾年的執著，劉煥文解決了水波界40多年來的公開難題，而這個突破，迎來了水波在變水深海洋上傳播相關問題研究的“柳暗花明”。

磨劍十年 刺破水波理論中的“不可能”

緩坡方程的雛形，最早可追溯到美國加州大學學者Eckart于1951年采用水深平均法所建立的波浪運動的偏微分方程。1972年，當時還是荷蘭德爾夫特理工大學博士生的Berkhoff，同樣采用水深平均思想，獨立建立了系數不同的另一個水波方程，這就是日后廣受歡迎的經典緩坡方程。之所以稱為緩坡方程，是因為該方程的導出是基于海底地形坡度較緩的假設。國際水波界學者們很快驚喜地發現，這一方程簡單而美妙。說它簡單，是因為去掉了鉛直方向的自變量，方程的空間維數比原來拉普拉斯方程的降低一維，而由于這個降維簡化，使得采用該方程對海洋波在大范圍海區的運動傳播進行數值模擬成為可能；說它美妙，是因為該方程不但可描述波浪折射與衍射雙重效應，還包含一系列經典方程如長波方程、亥姆霍茲方程和光程方程等作為特例，且適用范圍涵蓋了從長波到中波再到短波整個波譜。由于這諸多優點，緩坡方程在水波理論中的地位極其重要，以致水波專著幾乎都會設置獨立一章對該方程進行專門介紹。

但是，降維過程中消去鉛直方向自變量也付出了代價，那就是要求波數這個物理量必須額外滿足著名的波色散關系，但色散關系所呈現的是波數為水深變量的隱函數，由此導致緩坡方程的系數也為空間自變量的隱函數。在大學階段學過常微分方程的讀者都知道，只有少部分簡單特殊的常微分方程能夠準確求解，歷史上一些數學家正是因為求解了某類應用廣泛的常微分方程而名留青史，如歐拉方程、貝塞爾方程和勒讓德方程等等。但前人所有關于常微分方程的研究，都僅僅局限于系數為顯函數的情形，系數為自變量的隱函數的常微分方程似乎從未有人涉獵過。正因為如此，經典緩坡方程建立后四十年間，盡管原方程本身都已被很多學者改進，形成了緩坡類方程家族，且數值解不計其數，但相應的解析解卻始終無法給出。而少了解析解，對波浪傳播的機理分析就無法全面地把握。

“緩坡方程求解很困難”“模型方程解析解沒有”“求解析解幾乎不可能”……美國國家工程科學院院士、麻省理工學院教授Mei，美國國家工程科學院院士、佛羅里達大學教授Dean，美國國家工程科學院院士、約翰霍普金斯大學教授Dalrymple，以及澳大利亞華裔學者、臥龍崗大學資深教授Zhu分別在他們各自所著的名著和論文中寫下如此的慨嘆。2010年，臺灣學者Hsiao在國際雜志《Journal of Marine Science and Technology》上寫道：“雖然緩坡方程只是線性偏微分方程，但解析求解很困難。”即使到了2011年，臺灣學者Cheng仍在國際權威雜志《Ocean Engineering》38卷1918頁斷定：“要想解緩坡方程，數值解只能是唯一選擇。”

就在幾十年來國際水波界一致認為緩坡方程解析解是個啃不下的硬骨頭時，劉煥文卻偏偏想試一試。他最初接觸到該問題是在1997年，當時他正師從澳大利亞臥龍崗大學諸頌平教授攻讀博士學位。在他的博士論文中希望用到緩坡方程的準確解析解來驗證他所得到的邊界元數值解。當查閱資料和詢問導師后得知緩坡方程至今無人能解時，他感到很好奇，產生了濃厚興趣。自此這個難題在他心中扎下了根，每每讀到一篇與波色散關系或緩坡方程有關的論文，他就會靜下來仔細想想，看是否對解決難題有借鑒作用。博士畢業回國后，2002年去新加坡國立大學從事博士后研究，期間讀到英國雷丁大學學者Hunt于1979年所寫的有關波色散方程直接解的論文，他馬上意識到可能有助于緩坡方程的解析求解。果然，利用這個直接解，他和該校華裔學者林鵬智教授和印度裔學者Shankar教授合作，成功給出了緩坡方程的逼近解析解，于2004年發表在近海工程專業國際頂級雜志《Coastal Engineering》51卷421-437頁。該文創立的逼近解析技術隨后在國際水波界引發系列后繼性工作，臺灣國立成功大學在2004～2007年將該逼近解析技術作為博士論文課題予以專門研究。

初戰告捷，但劉煥文并不滿意，因為他們所構造的還只是緩坡方程的逼近解析解而非準確解析解。為徹底破解這一難題，劉煥文繼續深度思考。2011年，他與已經回國在四川大學任長江學者特聘教授的林鵬智再度合作，指導廣西民族大學碩士生楊靜，利用微積分學中的隱函數定理，分別導出了求波數、相速度和組速度三個物理隱參數的任意階導數的遞推式，據此第一次給出了求修正緩坡方程級數解的通用方法，破解了四十年來國際同行認為不可能解決的難題。該項成果于2012年發表在應用物理領域國際權威雜志《Wave Motion》49卷455-460頁。

至此，劉煥文對緩坡方程解析解的關注和研究已經持續了近15年，他的成功，再一次證明了在攀登科學的道路上沒有一蹴而就，需要的是“十年寒窗”、“十年磨劍”和“甘坐冷板凳”的鍥而不舍。

別出心裁 撩開緩坡方程神秘面紗

成功破解難題后一段時間，劉煥文對這個本是相當巧妙的方法又不滿意了，為何？因為級數解析解雖然構造出來了，但其中對波數、相速度和組速度三個隱參數遞推求導數的過程卻十分冗長繁瑣；另外，要界定無窮級數解的收斂范圍，就必須搞清楚方程的奇異點分布，最終還是要分析緩坡方程隱系數的零點分布，這一點仍非常棘手和艱難。他由此認識到，方程的隱函數系數不除，無窮級數解的收斂范圍就無法得到簡單清晰的界定。但是，如何才能徹底摒棄方程的隱系數呢？

為此，劉煥文苦思良策。2012年的某天，他突然想起，在很多經典文獻以及他自己進行的研究中，在分析波浪沖高或波浪放大因子時，經常會用一類圖形進行演示，該類圖形的橫軸為波譜變量kh（其中h為水深，k為波數），縱軸則是波浪自由液面高程。他想，既然這類圖形能夠實實在在地繪制出來，說明自由液面高程應該是波譜變量kh的顯式函數。他馬上聯想到緩坡類方程中的未知函數也是波浪自由液面高程，那如果把方程中的空間自變量替換為波譜變量，隱式方程是不是就會變成顯式方程呢？帶著這個想法，他立即推導起來。幾天的反復嘗試和一遍又一遍的演算，最終證明了這個想法并非異想天開。通過引入具有物理意義的波譜變量作為方程的自變量，隱式修正緩坡方程在很多情形下被成功轉化為顯式方程，覆蓋在緩坡方程上面的神秘面紗被徹底撩開，第一次露出了真容！他也因此建立了一個解析求解緩坡類方程簡單而優美的通用方法。該項原創成果于2014年發表在國際權威雜志《Journal of Engineering Mathematics》第87卷29-45頁。基于這個顯式修正緩坡方程，劉煥文繼續指導幾位碩士生謝健健、周小妹、王秋月、廖波、翟西媛，給出了多個不同地形下波浪傳播的級數解析解，分別在本領域國際主流雜志《Wave Motion》， 《Ocean Engineering》，《Journal of Waterway Port Coastal and Ocean Engineering》和《Applied Ocean Research》上發表。

毋容置疑，劉煥文對緩坡類方程解析解的研究在國際上已遙遙領先，系列論文的相繼發表，表明他的合作研究成果得到了國際同行的廣泛肯定。

重視細節 創造“劉-林解”和“劉-林模型”

其實，獲得國際同行認可，對劉煥文而言，早已不是第一次。2003年，佛羅里達大學教授Dean和他的博士生Bender在《Coastal Engineering》第50卷發表了長波越過梯形陷坑時求解長波方程的“斜坡法”。劉煥文仔細研讀他們的論文后，覺得作者的工作并不徹底，在最后求解8階線性方程組時，可能是沒有想到或者是太困難，他們沒有給出解的準確數學表達式，直接就交給數學軟件進行黑箱式的數值處理，這也因此使得他們的解由精致的解析解淪落為數值解，無法確立波浪反射系數對梯形陷坑參數的明確函數關系。劉煥文想，能否將8階線性方程組直接解出來呢？為此，他和林鵬智教授一起，花了一個禮拜，硬是用手算的方法，將8階行列式按行逐步展開，推導出長波越過梯形陷坑時的閉合形式解析解。該結果于2005年以商榷形式發表在《Coastal Engineering》52卷197-200頁，囊括了以往多位國外學者的相關經典結果為特例。兩位原作者Bender和Dean在《Coastal Engineering》2005年52卷上撰文給予正面回應：“劉和林的解析解具有如下價值：提供了驗證數值解基礎，能夠演示寬廣波場解，討論了直線斜坡組成的廣泛地形，建立了適當的無量綱變量”。而美國陸軍工程兵團專家Michalsen，俄勒岡州立大學Haller和韓國首爾國立大學教授Suh在《Journal of Waterway Port Coastal and Ocean Engineering》2008年134卷1-11頁發表的合作論文中將該結果以劉煥文和林鵬智的姓命名為劉-林解（LL solution）和劉-林模型（LL model），并在同一篇論文中引用達12次之多。

劉煥文對記者說，從中學大學再到碩士博士，學過的數學定理和物理定律不計其數，但命名幾乎都被外國人名所壟斷，因此當知悉研究成果被以自己和林鵬智教授的姓命名，而且還是國外同行給命的名時，他感到特別高興，慶幸自己沒有輕易放過別人忽略的細節。

勇于質疑　顛覆傳統結論

2011年，他指導碩士生謝健健同樣以商榷的形式在《Coastal Engineering》58卷948-952頁發表論文，文中通過技巧性引入變量替換，改進了清華大學同行構造的長波越過水下淺灘散射現象的無窮級數解的收斂局限性，使得新級數解對任何水深情形在整個變水深區域都能夠百分之百保證收斂。

2013年，他指導碩士生傅丹娟和孫小玲構造了波浪越過帶沖刷槽矩形防波堤時修正緩坡方程的解析解，論文發表在美國土木工程師協會《Journal of Engineering Mechanics》139卷第1期39-58頁。結果表明，麻省理工學院教授Mei在其英文名著《The Applied Dynamics of Ocean Surface Waves》中有關長波被矩形潛堤反射的反射系數是波譜變量的周期函數的經典結論其實是不正確的，因為劉煥文等從數學上嚴格證明了該反射系數在全波譜范圍僅為波譜變量具有衰減性的周期振蕩函數，而非永不衰減的周期函數，這正好與水波的物理特性相吻合。劉煥文解釋說，Mei教授基于長波理論所給出的解其推導無懈可擊，但由于對線性波色散關系采用了長波近似，導致最后得出的結論在大范圍看是不對的，而且是衰減與否的定性錯誤。他舉例說，若局限于地球上一個小地方近似地看，地球給人以錯覺，好像真是平的，尤其當我們身處廣袤無垠的華北平原，但當我們跳出地球在更大范圍的太空回望，才仿然大悟它是圓的。

學數學出身的劉煥文就是這樣，對遇到的問題總喜歡問個為什么，對任何結論都喜歡去質疑。

耕耘不止 追求真理無止境

“登泰山而小天下”。劉煥文解決了緩坡方程解析解后發現，近海工程中不少問題，如變水深港口的減振分析、布拉格潛堤的優化設計、周期性變水深海床對波浪散射的能帶結構分析以及變水深容器中的液體晃蕩等問題，其實都可采用緩坡類方程模擬。但幾十年來，受制于緩坡類方程復雜的隱函數形式和解析解的無法給出，相關的理論分析不完善，對數值解的檢驗標準也不精確。因此，顯式緩坡類方程的建立，使得有關這些問題的研究迎來了“柳暗花明”。最近劉煥文指導碩士生羅恒、曾惠丹和石云萍成功給出了幾類布拉格潛堤各項參數間的優化曲線，成果分別在《Journal of Waterway Port Coastal and Ocean Engineering》和《Journal of Hydrodynamics》上發表。工程師們只需根據擬建防波堤海域來波的主頻和擬建防波堤的個數和高度，通過查閱劉煥文他們建立的優化曲線，馬上就能知道怎樣設置各種形狀潛堤的最優寬度。

雖然破解了國際水波界的難題，但對學術真理的追求永無止境。劉煥文仍在探索，仍在努力。他永遠在路上。科