基于多級維納濾波器降維的STAP處理算法性能分析

洪成洋，盛驥松

（1.江蘇科技大學，鎮江212003；2.中國船舶重工集團公司第723研究所，揚州225001）

0 引 言

雜波抑制是機載雷達下視工作時首要解決的問題。空時自適應處理（STAP）能夠充分利用空域與時域信息，在對目標信號進行相干積累的同時，通過空時二維濾波濾除地面雜波，從而有效地提高機載雷達檢測目標能力［1］。1973年Brennan等人根據最大似然比理論導出了最優濾波器結構。最優濾波器性能優越，但計算量龐大，且難以獲得估計協方差矩陣所需的足夠樣本數，實際工程難以應用。在此背景下，多種降維算法被提出。常見的降維算法有特征干擾相消器、主特征值法、交叉譜法、多級維納濾波器法等［2］。

主分量法和互譜法均是基于協方差矩陣的特征值分解方法，其運算量較大，在時變信號和在快拍數較少的情況下，所估計的協方差矩陣不準確，會使得特征值和特征矢量的估計存在較大的誤差。而且主分量法在降維子空間的維數小于信源數的情況下，性能會大大下降［3］。互譜法雖然允許降維子空間的維數小于信源數，但與性能優良、運算量很小的多級維納濾波器相比，在快拍數較小時，其降維效果仍然差強人意［4］。下面主要探討多級維納濾波器在空時自適應處理中的應用及性能。

1 理論分析

1.1 空時自適應處理

空時自適應處理的實質是一維空域濾波技術在空時二維域中的推廣和應用，利用目標和雜波在角度－多普勒域上分布的差異性，通過對能使目標信號增益最大的權值計算，實現雜波的抑制［5］。

假設雷達天線為N陣元的線陣，一個相干處理間隔內的脈沖數為K，則雷達天線接收的某一距離單元的空時采樣信號可以用一組N×K維的快拍數據表示，即：

式中：n＝1，2，…，N；k＝1，2，…，K ；xn，k，l為雷達第n個陣元、第k個脈沖、在第l次快拍時的空時二維采樣數據。

則全空時二維自適應處理結構即“最優處理器”的原理如圖1所示，wnk（n＝1，2，…，N；k＝1，2，…，K）為空時二維權系數。

圖1 全空時自適應信號處理原理圖

處理過程中，可以按先時后空的順序將Xl表示為NK×1的矢量，即：

式中：Xn，l＝ ［xn，1，l…xn，k，l…xn，K，l］。

也可以按先空后時的順序同樣表示為NK×1的矢量，即：

式中：Xk，l＝ ［x1，k，l…xn，k，l…xN，k，l］Τ。

同時，用先時后空排列的NK×1維W表示該處理器的權矢量，則：

該處理器可以描述為如下的數學優化問題：

最優空時自適應性能優越，但計算量龐大，且難以獲得估計協方差矩陣所需的足夠樣本數［6］，在實際工程中難以應用。因此需要采用降維算法來進行準最優空時處理，目前比較常用的降維算法是主分量法和多級維納濾波，下面分別對這2種算法進行理論分析。

1.2 主分量法

主分量法是對觀測數據X的協方差矩陣作特征值分解，挑選出與大特征值相對應的特征矢量，構成降維子空間的一個基，然后把觀測數據投影到該子空間中，得到降維的觀測數據［7］，因為全維空時最優濾波器權矢量為：

對Rx特征值分解后為：

式中：λi，Vi分別為協方差矩陣的特征值和特征向量；N為自由度的總個數。

PC算法是保留r個大的特征值及其特征向量，舍去剩余特征值，式中特征值按從大到小排列，即：

式中：rPC比N小，選擇rPC的策略是保留高于噪聲基底的特征值。

圖2為主分量法的一種常用結構（PC－SD）。

圖2 主分量法（PC－SD）結構圖

PC－SD算法需考慮目標導量。圖中B為一系列與目標空時導量s正交的矢量，則PC－SD的空時導量為：

1.3 多級維納濾波

多級維納濾波器（MWF）是維納濾波器的一種等效多級實現形式，利用一序列的正交投影將輸入信號X0（K）多級分解，再進行維納濾波，綜合出維納濾波器輸出誤差信號ε0（k）［8］。結構如圖3所示。

上面為廣義旁瓣相消器架構，下邊為多級維納濾波器結構。X（k）為陣列數據向量，s為方向導量，B0為s的阻塞矩陣，即B0＝0，d0＝sHX（k）。Bi為第i級阻塞矩陣，hi為Xi－1（k）和di－1（k）互相關向量。多級維納濾波器分前向分解濾波器組和后向綜合濾波器組［9］。前向分解是通過依次對前一級觀測數據Xi（k）進行正交投影分解得到后一級的觀測數據Xi＋1（k）和參考信號di＋1（k），其中Xi（k）為 （N－i）×1維向量，Xi＋1（k）為 （N－i－1）×1向量，即觀察數據的維度依次降低1維。后向綜合指的是由一組逐級遞推的標量維納濾波器輸出和相應的期望信號疊加得到輸出誤差信號ε0（k）。

圖3 無失真響應多級維納濾波器結構體

現做簡略推導：由前向分解可得：

由后向綜合可得：

式中：d（k）＝ ［d1（k），d2（k），…，dN（k）］T。

又因為：

所以：

代入ε0（k）＝d0（k）－WHdd（k），求的多級維納濾波器的等效自適應權矢量為WMWF＝Wx0＝LHWd；從而得到本文所描述的無失真響應多級維納濾波器（DR－MWF）的權矢量為：

當做r級截斷時即降秩多級維納濾波器。在r級分解處令dr（k）＝εr（k），且上面用r替換N可得：

1.4 降維算法性能比較分析

采用主分量法的協方差矩陣為：

可用特征基向量把協方差矩陣改寫為：

而MWF并沒有使用特征基向量；而是用Krylov子空間表示：

式中：rxd為輸入信號X和期望輸出d的互相關矢量；rMWF為空間的秩。

展開rxd可得：

式中：αi為有用信號與特征向量vi的互相關系數；rxd為Krylov子空間的第1個基，第2個為Rx0rxd。

再展開Rx0rxd：

因為特征向量是相互正交的，即：

所以公式（25）可以簡化為：

由公式（24）與（25）推導得任意Krylov基矢量可表示為：

從公式（29）發現每個Krylov基矢量都是特征向量的一個加權求和。這與主分量法類似。事實上，當所有的αi＝1，則 MWF降維后的秩等于PCSD降維后的秩。又因為αi≤1，所以MWF的秩總是小于或等于PC－SD。因此在Krylov子空間，如果rMWF＝N，則所有Krylov基都會被保留，即空時濾波器維度為N；而當rMWF＜N時，則Krylov子空間維數可以因為特征值較小或相關性較低而減小。實際上，研究表明存在低功率的干擾環境，因為αi值小，所以更適合用MWF算法降維。此外，MWF算法同樣更適用于密集干擾源的環境，因為干擾源緊密相靠會使主特征向量產生較小的特征值，這些特征值給MWF降秩提供了更多選擇［10］。

2 仿真分析

設機載相控陣為8×8的平面陣經微波合成的等效線陣，正側視放置天線。雷達單重頻工作，脈沖重復頻率為fPRF＝1kHz，載頻fc＝1GHz，發射脈沖寬度為0.2μs，雷達工作波長λ＝0.2m，陣元間距d＝λ／2，設定噪聲功率為0dB，雜噪比σCNR＝10dB；有效干擾源個數為3，到達方向分別為25.8°、47.2°、－39.0°。并設初始時刻σJNR＝40dB，β＝1，風速設定為10Mph。

圖4為方向圖對比；圖5為MWF與PC－SD性能比較。2種算法法均在雜波和干擾處均形成了較深的凹口，而 MWF的凹口更低，抑制雜波效果更好。

PC－SD在秩選16時達到最小MSE，這意味著PC－SD算法需要16個自適應自由度（ADOF）才能抑制干擾；而MWF僅需要9個ADOF就能達到同樣的效果。此外，MWF在維度選擇方面更加靈活。如圖4所示，MWF的秩取5～17，其性能損失都不超過3dB，這意味著MWF的秩選擇5～17均可行。

現保持σCNR不變，改變σJNR，即σJNR從30dB變到50dB。表1、表2顯示了2種算法對應的MSE性能。

圖4 方向圖對比（2fd／fr＝0.5）

圖5 MWF與PC－SD性能比較

表1 JNR變化時有效的秩值

由表1數據可見，σJNR從30dB增長到50dB時，PC－SD維度變化不大，而 MWF的維度能自適應改變，且可選維度范圍明顯小于PC－SD維度。

當保持σJNR為50dB，改變σCNR時，即將σCNR從20dB增大到40dB。

由表2中數據可見，σCNR從20dB增長到40dB，2種算法可選的秩值基本不變，但 MWF的可選維度范圍仍明顯小于PC－SD算法。

表2 CNR變化時有效的秩值

由實驗可推得：MWF結構的空時自適應處理技術能自適應干擾功率的變化而變化，干擾功率越小，濾波器所需的自由度越少；且與主分量法相比，MWF系統運算需要的自由度更少，收斂所需的快拍數更低，更能適應實際復雜多變的環境。

3 結束語

先從理論上論述了STAP降維算法——MWF算法和PC－SD算法，然后從理論上分析比較了兩者的性能，接著對2種算法進行數值仿真。理論分析和數值仿真的結果表明：MWF算法相對于PC－SD算法對雜波與干擾的抑制能力強；且不需計算特征向量，系統運算需要的自由度更少，收斂所需的快拍數更低，降維性能更好；并且能夠自適應干擾功率的變化而變化。由此可知，MWF在降維性能、算法計算量以及自適應環境等方面具有明顯優勢。

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