環(huán)形單圈管凍結穩(wěn)態(tài)溫度場一般解析解

胡向東，韓延廣

?

環(huán)形單圈管凍結穩(wěn)態(tài)溫度場一般解析解

胡向東1, 2，韓延廣1, 2

(1. 同濟大學巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海，200092；2. 同濟大學地下建筑與工程系，上海，200092)

隧道聯絡通道和礦山豎井凍結法施工經常采用環(huán)形布置凍結管。對于環(huán)形布管凍結溫度場的解，目前僅有凍結圈內完全凍實的單圈管凍結溫度場解析解，但現實凍結工程中，內部通常是未凍實的。首先應用保角變換將環(huán)形單圈管凍結模型變換為易于求解的特殊的直線型排布的模型，再結合調和方程的邊界條件可分離的性質，將問題分解為單排問題和線性溫度場問題，最后完成單圈管凍結圈內未凍實的溫度場解析解。熱力學數值模擬計算對解析解的驗證結果表明：在凍土帷幕充分交圈后，數值模擬結果和解析解結果基本一致，得到的解析解具有較高的精度。同時本文解析解也適用于凍結圈內完全凍實的溫度場。

人工地層凍結法；環(huán)形單圈凍結管；溫度場；解析解；保角變換；調和方程

人工地層凍結技術已發(fā)展成為一種成熟工法，在井礦工程、隧道工程、地基臨時加固、地下水污染控制、廢棄物掩埋等領域已有廣泛應用。在施工過程中，掌握凍土帷幕的厚度和力學性質等參數是非常重要的，而這些參數均依賴于凍結溫度場的分布。因此，溫度場理論是凍結法理論的基礎。目前凍結溫度場的計算方法主要有解析法、模擬法以及數值分析方法。而解析解由于其理論性強，始終是研究溫度場的重要部分。到目前為止，各國專家、學者們已經取得了一系列凍結管規(guī)則布置形式下的經典穩(wěn)態(tài)溫度場解析解。例如單管凍結溫度場公式[1]，兩管~五管直線布置凍結溫度場公式[2]，單排管凍結溫度場公式以及雙排管凍結溫度場公式[3?4]等，并且沿用至今。作者對這些公式進行了完善與應用性研究[5?9]，并完成了三排管凍結溫度場解析解的推導[10?15]；對于環(huán)形布置凍結管的情形，完成了凍結圈內凍實的單圈管凍結溫度場解析 解[16]，對于內部未凍實的情況尚無解析解答。本文作者基于保角變換和調和方程邊界條件可分離性[17]，對環(huán)形單圈管凍結圈內未凍實的穩(wěn)態(tài)溫度場解析解進行了求解。

1 二維熱傳導方程

在土體中，熱傳遞主要有3種形式：傳導、對流和輻射。因為對流和輻射對溫度場的影響相對于傳導可以忽略不計，所以僅僅考慮傳導形成的溫度場[18]。

根據Fourier熱傳導定律和熱量守恒律，可以得到二維熱傳導方程的形式[18]如下：

其中：為溫度場的分布；為介質的熱傳導系數；為密度；為比熱容；(，，)為單位時間單位體積系統(tǒng)吸收或者放出的熱量。

人工地層凍結過程是一個瞬態(tài)熱傳導過程，是個具有相變并且相變界面移動的問題。對于采用穩(wěn)態(tài)溫度場近似瞬態(tài)溫度場的適用性問題，學術界和工程界普遍接受的觀點是：由于人工地層凍結是個發(fā)展相對緩慢的過程，尤其是在凍結的后期，其溫度場非常接近穩(wěn)態(tài)導熱溫度場，在人工地層凍結法的溫度場理論與工程中，對此狀態(tài)可按穩(wěn)態(tài)導熱近似求解人工凍結溫度場。世界上最流行和實用的人工凍結溫度場解析解有前蘇聯[1, 3]、美國[4]和日本公式[2]，他們均為穩(wěn)態(tài)溫度場公式。對此問題，作者曾針對文獻[3]的單排管和雙排管凍結巴霍爾金公式的準確性進行了分析[20]，結果表明，在凍結的中后期(/＞0. 7，其中為凍土帷幕厚度，為凍結管間距)，溫度場任何一點的計算誤差不超過1 ℃。因此在凍結的中后期，人工凍結溫度場將可以近似當作穩(wěn)態(tài)溫度場。則；(，)=0，方程(1)簡化為：

其極坐標下的表達式為：

2 單管的數學模型及解析解

單管在無限大地層形成的溫度場的問題如圖1所示。

圖1 平面內單管的溫度場問題

其數學模型如下：

通過分離變量法[17]，求得滿足上述調和方程的通解為：

(5)

將邊界條件進行Fourier級數展開，仍為常數，即與無關，則a=0；b=0。

再將凍結管和凍土邊界條件代入式(5)可以得到：

上式即為特魯巴克單管凍結溫度場。

3 單圈管凍結圈內未凍實的溫度場

3.1 保角變換的應用

在凍土帷幕交圈后，凍土邊界呈波浪形狀。所以凍結圈內未凍實的環(huán)形單圈管凍結問題如圖2所示。

圖2 單圈管凍結圈內未凍實的問題求解模型

其數學模型可以表達為

其中：為凍結管的數量，從0到?1取整數值。

由于直接求解上述問題較為困難，現引入保角變換，將其變換為較易解決的問題。變換函數為

其中平面為原平面(即物平面)；平面為像平面。根據復變函數可以表示一個平面中的點，因此平面表示為=eiβ(其中為極徑，為極角)。而將平面表示為=i(其中為平面中的橫坐標，為其縱坐標)。將2個平面分別帶入變換函數可以得到：

則物平面問題經過此種變換，其像平面問題如圖3所示。

圖3 像平面溫度場問題

3.2 單排管凍結的巴霍爾金問題

單排管凍結時，在凍土帷幕交圈后，凍土帷幕邊界為波浪形狀，則其溫度場問題如圖4所示。

圖4 平面內單排管的溫度場問題

其數學模型為

利用調和方程的邊界條件可分離性[17]，將凍土邊界條件和凍結管處條件均進行分解，將原問題分解為無限個單管凍結問題，則針對第管可以建立如下的數學模型：

根據凍土邊界和凍結管條件的周期性，則θ；θ0為常數。即每根管溫度場問題相同。

單排管凍結溫度場解為無限個單管凍結溫度場解的疊加：

根據貝塞特求和公式[21]：

整理式(13)得：

；

將凍土邊界條件代入式(15)，得：

再將凍結管處條件代入式(15)，得：

因為ch2=2sh2+1，工程中＜＜1則；凍結中后期，則，，化簡并求解式(16)和(17)得：

將其代入式(15)，則

上式與巴霍爾金單排管凍結溫度場的解析解[3]相同。

3.3 像平面溫度場問題的解

對于圖3表示的像平面溫度場問題，其數學模型為：

根據邊界條件可以分離性[17]，上述問題可以分解為求解以下2個問題，然后再將解加起來即可得到原問題的解，即=1+2。

通過選取適當的θ可以保證式(20)為單排巴霍爾金問題。由凍土內邊界和凍結管條件，根據單排巴霍爾金解(18)，其解可以表達為：

則將凍土外邊界條件代入式(22)得到：

而對于式(21)，由于凍結管半徑很小，在不引起大的誤差的前提下，為了便于計算，將凍結管處條件簡化為。選取適當的T可以保證其解為線性溫度場。則

將凍結管處條件代入(24)得到

聯立式(23)和(25)可以解出

將式(26)代入式(22)得：

將式(27)代入式(24)得：

3.4 物平面溫度場的解析解

3.5 凍土帷幕形狀特征

理論上講，凍土帷幕邊界應隨凍結管位置呈波浪形，現考察其特征。按命題，凍土邊界各處溫度相等，故外邊界主面(=0°的面)與外邊界界面(=±180°/的面)位置處的溫度之差D=0(見圖2)。由式(31)，得

從上述判定過程可以看出，在滿足凍結中后期(帷幕厚度較大)和凍結管數較多(工程常用布孔參數)的情況下，即滿足化簡過程的參數條件時，主面厚度和界面厚度基本一致，則凍土邊界形狀可以當作環(huán)形，其波浪形可以忽略。這一結論不適用于不能構成環(huán)形布孔的過少凍結管的情況。

3.6 解析解準確性檢驗

解析解推導過程中采用了一定的簡化處理，故有必要對解的準確性進行驗證。因為數值模擬能夠較好的反應人工凍結溫度場的分布，所以用ANSYS熱力學數值模擬來檢驗解析解的結果。根據一般的工程實際，選取參數。環(huán)半徑2一般在2.5~8.0 m；管間距一般取值為0.5~1.2 m；帷幕厚度與管間距比值一般為0.5~1.5；而且內側凍土帷幕與外側凍土帷幕比值1/2一般介于1和0.55:0.45之間。凍結管半徑0.054 m；凍結管表面溫度θ=?30 ℃；凍土邊界溫度0=0 ℃。本次數值模擬共分4組。每組的參數列于表1。

表1 單圈管凍結數值模擬參數

上述模擬參數屬工程常用參數范圍內，滿足3.5節(jié)的參數要求，故采用環(huán)形邊界進行數值模擬。又由于問題的周期性，采取包含一個凍結管的圓心角為360°/的扇形進行模擬。其中主面為=0°的面；界面為=±180°/的面。第1組模擬的網格劃分圖和溫度場云圖如圖5和6所示。各組模擬對比結果如圖7 所示。

圖5 第1組數值模擬模型及網格劃分

圖6 第1組數值模擬結果溫度云圖

(a) 組1；(b) 組2；(c) 組3；(d) 組4

通過上述對比結果可以知道，數值解和解析解基本一致。說明在工程中常用的參數范圍內，本文求得的單圈凍結圈內未凍實的溫度場的解析解具有較高的準確性。不僅說明了采用圓弧面邊界模型進行數值模擬是可行的，同時也說明了在工程常用布孔參數范圍內并在凍結的中后期，波浪形邊界可以看作環(huán)形邊界的結論的正確性。

3.7 與凍結圈內凍實的溫度場解析解對比

對于式(31)，若考慮1趨向于0，即極限時，凍結圈內處于完全凍實狀態(tài)，則

此時式(31)簡化為：

已有的凍結圈內部完全凍實的溫度場解析解[16]為：

當的取值范圍在凍土帷幕以內時，即＜3，則，＞＞。

所以，在這種情況下，式(34)將可以近似代替式(35)，出現的誤差可以忽略。

因此本文求得的溫度場解析式既適合于凍結圈內未凍實的情況，也適合于凍結圈內完全凍實的情況。

4 結論

1) 應用調和方程的邊界條件可分離性，將經典的單排巴霍爾金問題分解為無數個單管凍結問題，以此重現了巴霍爾金解。

2) 通過保角變換將凍結圈內未凍實的單圈管凍結問題轉化為特殊的單排凍結問題，再次以調和方程邊界條件可分離性，將問題分解為已有解的單排巴霍爾金問題和線性溫度場的問題，完成了單圈管凍結內部未凍實的溫度場解析式。并且此公式也可以針對凍結圈內部完全凍實的情況。

3) 在工程合理參數范圍下，凍結中后期，凍土帷幕邊界之波浪形極不明顯，可視作環(huán)形。

[1] Trupak N G. Ground freezing in shaft sinking[M]. Moscow: Coal Technology Press, 1954: 20?65.

[2] Tobe N, Akimoto O. Temperature distribution formula in frozen soil and its application[J]. Refrigeration, 1979, 54: 3?11.

[3] Bakholdin B V. Selection of optimized mode of ground freezing for construction purpose[M]. Moscow: State Construction Press, 1963: 21?27.

[4] Sanger F J. Ground freezing in construction[J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, Proceedings of ASCE, 1968, 94(SM1): 131?158.

[5] HU Xiangdong. Average temperature model of double-row-pipe frozen soil wall by equivalent trapezoid method[C]//AIP Conference Proceedings. New York: American Institute of Physics, 2010: 1333?1338.

[6] 胡向東, 黃峰, 白楠. 考慮土層凍結溫度時人工凍結溫度場模型[J]. 中國礦業(yè)大學學報(自然科學版), 2008, 37(4): 550?555. HU Xiangdong, HUANG Feng, BAI Nan. Models of artificial frozen temperature field considering soil freezing point[J]. Journal of China University of Mining & Technology (Natural Science), 2008, 37(4): 550?555.

[7] 胡向東, 白楠, 余鋒. 單排管凍結溫度場Тrupak和Bakholdin公式的適用性[J]. 同濟大學學報(自然科學版), 2008, 36(7): 906?910. HU Xiangdong, BAI Nan, YU Feng. Analysis of Trupak and Bakholdin formulas for temperature field of single-row-pipe frozen soil wall[J]. Journal of Tongji University (Natural Science), 2008, 36(7): 906?910.

[8] 胡向東. 直線形單排管凍土帷幕平均溫度計算方法[J]. 冰川凍土, 2010, 32(4): 778?785. HU Xiangdong. Average temperature calculation for the straight single-row-pipe frozen soil wall[J]. Journal of Glaciology and Geocryology, 2010, 32(4): 778?785.

[9] 胡向東, 趙飛, 佘思源, 等. 直線雙排管凍結壁平均溫度的等效拋物弓形模型[J]. 煤炭學報, 2012, 37(1): 28?32. HU Xiangdong, ZHAO Fei, SHE Siyuan, et al. Equivalent parabolic arch method of average temperature calculation for straight double-row-pipe frozen soil wall[J]. Journal of China Coal Society, 2012, 37(1): 28?32.

[10] HU Xiangdong, ZHANG Luoyu. Analytical solution to steady-state temperature field of one and two freezing pipes near linear adiabatic boundary[C]//ICDMA 2013. Qindao, 2013: 257-260.

[11] HU Xiangdong, ZHANG Luoyu. Analytical solution to steady-state temperature field of two freezing pipes with different temperatures[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University (Science), 2013, 18(6): 706-711.

[12] 胡向東, 郭旺, 張洛瑜. 無限大區(qū)域內少量凍結管穩(wěn)態(tài)溫度場解析解[J]. 煤炭學報, 2013, 38(11): 1953-1960.

Hu Xiangdong, Guo Wang, Zhang Luoyu. Analytical solution of steady state temperature field of a few freezing pipes in infinite region[J]. Journal of China Coal Society, 2013, 38(11):1953-1960.

[13] 胡向東, 郭旺, 張洛瑜. 無限大區(qū)域內四管凍結的穩(wěn)態(tài)溫度場解析解[J]. 上海交通大學學報, 2012, 47(9): 1367-1371.

HU Xiangdong, GUO Wang, ZHANG Luoyu. Analytical solution of steady state temperature field of four freezing pipes in an infinite region[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2012, 47(9): 1367-1371.

[14] 胡向東, 汪洋. 三排管凍結溫度場的勢函數疊加法解析解[J]. 巖石力學與工程學報, 2012, 31(5): 1071?1080. HU Xiangdong, WANG Yang. Analytical solution of three-row-piped frozen temperature field by means of superposition of potential[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2012, 31(5): 1071?1080.

[15] 胡向東, 任輝. 3 排管凍結梯形-拋物弓疊合等效溫度場模型和平均溫度[J].煤炭學報, 2014, 39(1):78-83.

HU Xiangdong, REN Hui. A trapezoidal-parabolic arch superimposed equivalent temperature field model and its average temperature formula for triple-row-pipe freezing[J]. Journal of China Coal Society, 2014, 39(1): 78-83.

[16] 胡向東, 陳錦, 汪洋, 等.環(huán)形單圈管凍結穩(wěn)態(tài)溫度場解析解[J]. 巖土力學,2013, 34(3):874?880. HU Xiangdong, CHEN Jin, WANG Yang, et al. Analytical solution to steady-state temperature field of single-circle-pipe freezing[J]. Chinese Journal of Rock and Soil Mechanics, 2013, 34(3): 874?880.

[17] 陳恕行, 秦鐵虎, 周憶. 數學物理方程[M]. 上海: 復旦大學出版社, 2003: 35.CHEN Shuxing, QIN Tiehu, ZHOU Yi. Mathematical physics equation[M]. Shanghai: Fudan University Press, 2003: 35.

[18] Carslaw H S, Jaeger J C. The conduction of heat in solids[M]. London: Oxford University Press, 1959: 1.

[19] Jiji L M. Heat conduction[M]. Berlin: Springer Berlin Heidelberg, 2009: 2?9.

[20] 胡向東, 趙俊杰. 人工凍結溫度場巴霍爾金模型準確性研究[J]. 地下空間與工程學報, 2010, 6(1): 96?101. HU Xiangdong, ZHAO Junjie. Research on precision of Bakholdin model for temperature field of artificial ground freezing[J]. Chinese Journal of Underground Space and Engineering, 2010, 6(1): 96?101.

[21] Hurst W. Reservoir engineering and conformal mapping of oil and gas field[M]. Tulsa. Oklahoma: The Petroleum Publishing Company, 1979: 115?118.

(編輯 陳愛華)

General analytical solution to steady-state temperature field of single-circle-pipe freezing

HU Xiangdong1, 2, HAN Yanguang1, 2

(1. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of the Ministry of Education,Tongji University,Shanghai 200092, China;2. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Single-circle-pipe freezing method is often applied in cross passage construction and mine shaft sinking. At present, there is only one analytical solution which is aimed at the situation that the ground inside the freezing-pipe circle is frozen solid. However, a more usual situation is that the area enclosed inside the freezing-pipe circle is not frozen completely. For this situation, an analytical solution to the steady-state temperature field of single-circle-pipe freezing was proposed. The solution was derived by converting the single-circle-pipe freezing model to a special single-row-pipe freezing model using conformal mapping, and then decomposing the single-row-pipe freezing model into the single-row-pipe freezing model and a linear temperature field model according to the separability of boundary conditions for harmonic equations. Comparison of the analytical solution with the numerical thermal analysis shows that the analytical solution is precise enough. Furthermore, the solution can also be employed for the temperature field of the frozen-solid situation.

artificial ground freezing; single-circle-pipe freezing; temperature field; analytical solution; conformal mapping; harmonic equations

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.06.047

TK124

A

1672?7207(2015)06?2342?08

2014?04?13；

2014?08?20

國家自然科學基金資助項目(51178336，51478340)；浙江省自然科學基金資助項目(LZ13E080002)(Project (51178336, 51478340) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (LZ13E080002) supported by the Natural Science Foundation of Zhejiang Province, China)

胡向東，副教授，博士生導師，從事隧道及地下工程研究；E-mail：anton.geotech@tongji.edu.cn