基于互補自適應噪聲的集合經驗模式分解算法

蔡 念 黃威威 謝 偉 葉 倩 楊志景

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基于互補自適應噪聲的集合經驗模式分解算法

蔡 念*黃威威 謝 偉 葉 倩 楊志景

(廣東工業大學信息工程學院 廣州 510006)

經驗模式分解(EMD)及其改進算法作為實用的信號處理方法至今仍然缺少嚴格的數學理論。該文嘗試從數學理論上分析集合經驗模式分解和自適應噪聲集合經驗模式分解的重構誤差，推導了總體殘留噪聲的計算公式。針對自適應噪聲集合經驗模式分解在每一層固有模態分量上仍然存在殘留噪聲的問題，在分解過程中添加成對的正負噪聲分量，提出一種基于互補自適應噪聲的集合經驗模式分解算法。實驗結果表明，相比于集合經驗模式分解和自適應噪聲集合經驗模式分解，所提的方法能夠明顯地減少每一層固有模態分量中殘留的噪聲，擁有較好的信號重構精度和更快的分解速度。

經驗模式分解；集合經驗模式分解；自適應噪聲集合經驗模式分解；模態混疊

1 引言

經驗模式分解(Empirical Model Decomposition, EMD)是由Huang等人[1]于1998年提出的一種適用于非線性、非平穩信號的時頻分析方法。該方法提出后得到了眾多研究人員的關注，也被廣泛應用于各個領域。經驗模式分解雖然在分析非線性、非平穩信號中有很多優勢，但由于其理論還需完善，至今仍然存在一些問題，例如：端點效應[7,8]、模態混疊等。

發生模態混疊時，不同尺度的信號被分解到同一個固有模態分量(Intrinsic Mode Functions, IMFs)中，嚴重時無法得到物理意義明確的結果，使EMD分解失去意義[12]。為了解決模態混疊，文獻[13]提出了集合經驗模式分解(Ensemble EMD, EEMD)。EEMD在分解過程中，通過向信號中不斷加入白噪聲的方法來解決模態混疊。該方法雖然能較好地改善模態混疊，但對信號進行重構時，信號中殘留的剩余噪聲較大。為了解決剩余噪聲過大的問題，文獻[14]提出了互補集合經驗模式分解(Complementary EEMD, CEEMD)。隨后文獻[15]提出了集合經驗模式分解的改進方法—基于自適應噪聲的集合經驗模式分解(Ensemble EEMD with Adaptive Noise, EEMDAN)。與EEMD方法不同，該方法在分解過程中并不是直接添加白噪聲，而是添加經EMD分解的限帶的噪聲分量；該算法除了添加的噪聲不同外，對分解過程也進行了改進。實驗表明該方法可以減少篩選次數，減小計算量，一定程度上也減少了虛假分量，重構原信號時重構誤差大大降低[15]。雖然從分解的整體來看EEMDAN的重構誤差很小，但由于集合平均次數的限制，該方法在每一層分解完之后，IMF分量也不可避免地存在殘余噪聲。

本文嘗試從數學理論上分析集合經驗模式分解和自適應噪聲集合經驗模式分解的重構誤差，推導總體殘留噪聲的計算公式。借鑒CEEMD的方法，在EEMDAN分解時向信號中添加成對的正負的白噪聲分量，提出一種基于互補自適應噪聲的集合經驗模式分解算法(EEMD with Complementary Adaptive Noise, EEMDCAN)。

2 集合經驗模式分解

EEMD算法是Wu和Huang在充分研究白噪聲統計特性[16]后，針對EMD存在模態混疊現象提出的一種改進算法。該算法通過向原信號中多次添加等幅值的隨機白噪聲改變信號中的極值點分布，使極值點分布更趨均勻，避免了由于間歇性高頻分量造成的模態混疊。然后對分解的結果進行集合平均，使得白噪聲在多次EMD分解之后相互抵消，有物理意義的IMF分量保留下來。該算法的流程如下：

因為EMD分解的完備性，式(2)亦可用等式表示：

為了分析最后的重構誤差，本文將步驟(3)中所得到的個等式相加，可得：

根據高斯白噪聲的統計特性，隨著集合平均次數的增加，就越趨近于零，重構誤差就越小，但增加集合次數又會增加計算量，消耗計算時間。

3 自適應噪聲集合經驗模式分解

EEMDAN算法[15]對EEMD進行了兩方面的改進：第一，在分解過程中并不是直接向信號中添加標準的白噪聲，而是添加經過EMD分解的噪聲分量(第一階IMF除外)，該噪聲分量的帶寬經過了EMD的自適應分割；第二，與EEMD獨立分解出各組信號所有的固有模態分量之后再進行集合平均不同，EEMDAN分解出各組信號的第一階固有模態分量后，立即進行集合平均得到第一階集合平均固有模態分量，然后從原信號中剔除第一階集合平均固有模態分量得到一個剩余分量，將該剩余分量作用為新的信號，繼續重復上述過程得到第二，第三直到最后一階模態分量。我們定義一個操作，即信號經過EMD分解后得到的第階模態分量，為所加噪聲的幅值，EEMDAN算法可以描述如下：

(2)提取第1個模態分量并求出剩余分量：

得到剩余分量為

(3)第個剩余分量為

(4)循環進行步驟(3)，直到提取出所有的固有模態分量之后得到剩余分量。

繼續分析重構誤差，將步驟(1)中所得到的個式(7)相加，可得

將步驟(2)中所得到的個式(10)相加，可得

步驟(3)中所得到的個式(14)相加，可得

將式(17)，式(18)及式(19)依次迭代相加，并將式(9)，式(12)，式(13)代入等式中可得

4 互補自適應噪聲集合經驗模式分解

根據文獻[15]和第3節數學理論推導可知，從分解的整體來看在集合平均次數相同的條件下，EEMDAN最終殘留噪聲比EEMD小，即重構誤差比EEMD小。但這并不意味著在每層的局部分解過程中，殘留在每個IMF分量中的白噪聲分量很小。要減小每層IMF分量中殘留的噪聲就必須增加集合平均次數，但這樣又會增加計算量。為此，我們借鑒CEEMD方法，在EEMDAN分解的基礎上提出互補自適應噪聲集合經驗模式分解，即在每一層的分解過程中成對地添加正負噪聲對，其他過程與EEMDAN相同。具體算法如下：

對比式(8)和式(23)，在次集合平均中正負噪聲對互相抵消，故可以減小殘留在中的噪聲。

(2)提取第1個模態分量并求出剩余分量：

得到剩余分量為

對比式(15)和式(29)，在次集合平均中正負噪聲分量對互相抵消，故可以減小殘留在中的噪聲。

(4)循環進行步驟(3)，直到提取出所有的固有模態分量之后得到剩余分量。

5 實驗仿真

選用美國麻省理工學院MIT-BIH Normal Sinus Rhythm Database數據庫16265號ECG第一聯信號[17]進行分解實驗，數據采樣率為128 Hz，記錄長度為10 s，傳感器采集數據時幅值增益為200(幅值單位mV)，ECG信號的波形如圖1所示。分解時所加噪聲幅值均為信號標準差的0.2倍，EEMD和EEMDAN添加噪聲次數為50次，EEMDCAN添加正負噪聲對數為25對，分解得到的模態分量如圖2所示，圖3為本次3種方法分解的重構誤差。為了更清楚地比較3種方法分解ECG信號的性能，取出圖2中各分解結果的前3個IMF分量及EEMDAN添加噪聲次數增加到800次分解得到的前3個分量，如圖4所示。

圖1 ECG信號的波形圖

為了進一步展示EEMDCAN算法的優越性，在上述分解參數的條件下，采用以上3種方法分解該數據庫中所有18個ECG第一聯信號，并計算所有信號的重構均方根誤差(root mean squared error)的均值和方差(如表1)以及分解所需總迭代次數的均值和方差(如表2)。

表1 3種分解方法重構均方根誤差的均值和方差

表2 3種分解方法分解ECG信號時總迭代次數的均值和方差

從圖2可以看出，對于同一個信號ECG, EEMD, EEMDAN和EEMDCAN分解分別得到12, 11和10個IMF分量，即在添加噪聲總次數相同條件下，EEMDCAN得到的虛假分量較EEMD和EEMDAN少。從圖3(a)~圖3(c)及表1可以看出EEMDAN與EEMDCAN的重構誤差大致相等，但比EEMD的重構誤差小很多，這與第3節的數學理論分析結論相同。從圖4(b)中可以看出EEMDAN雖然從整體上可以比較精確地重構出原信號，但EEMDAN在每一層分解得到的IMF中仍然殘留有剩余的噪聲分量，只是在重構時各個IMF分量中殘留的噪聲之和幾乎為零而已。對比圖4(b)和圖4(c)中IMF3分量箭頭處的波形可知，在添加噪聲總次數相同的條件下(包括正負噪聲對)，相對于EEMDAN分解的結果EEMCAN可以明顯減小殘留在各層IMF分量中的剩余噪聲。對比圖4(b)和圖4(d)可以看出要減小IMF分量中殘留的噪聲必須增加EEMDAN集合平均次數，但增加集合平均的次數會大大增加計算量。

圖2 3種分解方法得到的IMF分量

圖3 3種分解方法的重構誤差

從表2可以看出EEMDAN與EEMDCAN總迭代次數比EEMD分解次數少很多，大大減小了計算量，且EEMDCAN能在不增加計算量的條件下顯著減少IMF分量中殘留的噪聲。

圖4 3種分解方法得到的前3個分量

6 結束語

EEMDAN作為EEMD算法的改進方法可以減少篩選迭代次數，減少虛假分量，提高重構精度。但由于集合次數的限制，在每個IMF分量中仍然殘留有噪聲。本文推導了EEMD及EEMDAN分解后總體殘留噪聲的計算公式，分析了重構誤差。在EEMDAN算法的基礎上提出EEMDCAN算法，并應用于ECG信號的分解。實驗結果表明EEMD和EEMDAN, EEMDCAN算法可以不用大幅增加集合平均次數的條件下顯著減小殘留在每個IMF分量的殘留噪聲，這在生物醫學工程應用中具有一定的優勢。本文下一步將繼續研究利用EEMDCAN算法抑制心電信號中的工頻干擾、基線漂移及去噪。

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Ensemble Empirical Mode Decomposition Base on Complementary Adaptive Noises

Cai Nian Huang Wei-wei Xie Wei Ye Qian Yang Zhi-jing

(,,510006,)

Empirical Model Decomposition (EMD) and its improved algorithms are most useful signal processing methods. However, those methods still lack rigorous mathematical theory. This paper attempts to analyze mathematically the reconstruction errors for Ensemble EMD (EEMD) and EEMD with Adaptive Noises (EEMDAN). Moreover, the formulae of the residual noise are deduced step by step. There exists the residual noise in each intrinsic mode function during the EEMDAN. To suppress the residual noise, an improved ensemble empirical mode decomposition with complementary adaptive noises by adding pairs of positive and negative noises is proposed. The experimental results indicate that the proposed method can obviously reduce the residual noise in each intrinsic mode function compared with the EEMD and the EEMDAN, and it also has better signal reconstruction precision and faster signal decomposition.

Empirical Model Decomposition (EMD); Ensemble EMD (EEMD); EEMD with Adaptive Noise (EEMDAN); Mode mixing

TN911.7

A

1009-5896(2015)10-2383-07

10.11999/JEIT141632

2014-12-25；改回日期：2015-06-15；

2015-07-17

蔡念 cainian@gdut.edu.cn

國家自然科學基金(61001179, 61471132)，東莞市產學研合作項目(2013509104105)和廣州市產學研協同創新重大專項(201508010001)

The National Natural Science Foundation of China (61001179, 61471132); The Project on Integration of Production, Education, and Research, Dongguan, Guangdong Province, China (2013509104105); The Guangzhou Science & Technology Key Project on Collaborative Innovation in Integration of Production, Education, and Research (201508010001)

蔡 念： 男，1976年生，副教授，碩士生導師，主要研究方向為數字信號處理、圖像處理、模式識別等.

黃威威： 男，1986年生，碩士，主要研究方向為數字信號處理、DSP開發等.