關于孿生素數猜想的一個證明

張躍

【摘 要】根據計算機的整數取值有限，本文提出了一個基本假設。在此假設的基礎上，利用C語言編程，證明了：對應于無窮多個素數p，存在無窮多個p+2的素數；即孿生素數猜想。

【關鍵詞】孿生素數；假設；C語言程序

【Abstract】In accord with the limitation of the integer taken by a computer， an assumption is suggested， and on the basis of it， using the program of C language， the paper proves that corresponding to infinite primes p， there are infinite p+2 being primes； namely， the conjecture of pair primes.

【Key words】Pair primes； Assumption； Program of C language

0 引言

目前，數論中尚未解決的難題有兩個，一個是偶數情形的哥德巴赫猜想，另一個是孿生素數的哥德巴赫猜想（孿生素數猜想）[1]。從一些有關數學的期刊上可以發現， 關于孿生素數的猜想，一直是國內外數學界關注和研究的一個重要課題。迄今為止，數學家陳景潤已經證明：存在無窮多個素數p，使p+2為不超過兩個素數的乘積[2]。國內外還沒有人能夠做到利用純粹的數學理論方法證明這一猜想。本文將設計C語言的程序證明孿生素數的猜想。如果用Q（p）表示無窮多個素數p組成的集合，Q（p+2）是相應的無窮多個p+2的素數組成的集合，并且假設計算機二進制的數碼的位數沒有限制，則通過C程序的運算可以由Q（p）的所有元素得到Q（p+2）的所有元素。從數學的觀點看，可以將C程序的運算視為由Q（p）到Q（p+2）的一個映射M（mapping）[3]， 表示為M： Q（p）→Q（p+2）。

1 假設

計算機將整數轉換為二進制數碼表示，假設數碼的位數不受限制，則任意大的整數k可以無限地轉換成二進制數碼。但由于機器的規模限制，機器的二進制數碼的位數是有限的。例如，對于浮點機表示的數碼，若數碼的階數的位數是k位，尾數的位數是m位，則整數N的取值范圍為：如果不考慮數碼的位數，計算機運算時會出現“機器零”或者“溢出”的情況。證明孿生素數的猜想，需要考慮的素數p有無窮多個，不能利用“窮舉法”對所有的p+2的數字一一列舉進行判斷。如果應用數學歸納法的思想，則必須作某些假設。

由于計算機的二進制運算僅與邏輯電路或者布爾代數有關系，其運算規則和結果不因計算機的二進制數碼的位數多少而引起變化。因此，可以作以下假設。

假設：已知計算機限制的整數的最大取值為n，p為無窮多個素數p1

在假設中，顯然，R（k+1）？勱R（k），R（k+1）-R（k）=k+1，僅僅多一個k+1的數字。如果計算機對整數的取值范圍沒有限制，可以設k為任意大的整數，但是不會當k大到某一整數之后，j≡i，因為素數p有無窮多個，可能成為素數的k+1的數也有無窮多個，故j≥i的情形有無窮多。

2 證明猜想

在所有的素數中，如果p是素數，且p+2也是素數，則稱（p，p+2）為一對孿生素數。因而數論中孿生素數的哥德巴赫猜想，可以用下面的定理表述：[1]

定理：有無窮多個素數p使得p+2也是素數。

根據定理編寫程序，首先假設p是任意的素數，然后從所有p+2的數中篩選出全部素數，并證明其數目有無窮多個。用C語言編寫的源程序代碼如下：

可以任意舉一個計算機取值范圍內的正整數，例如，取max=k=100，利用C-Free 5 CJY版運行程序prime.c的結果顯示，若p為素數，則不大于100的p+2的素數是：

7，13，19，31，43，61，73。

實際上5和3也構成一對孿生素數，相對于3，5也是一個p+2的素數，在運算結果中沒有顯示，原因是相對于運算結果中的p+2的素數7，5又是一個p的素數，不能同時出現在p+2的素數中。類似的情況在后面的p+2的素數里可能還會有很多，但是這些情況不影響證明p+2的素數有無窮多個。

那么，當max=k+1=101時，利用C-Free 5 CJY版運行程序prime.c的結果顯示，若p為素數，則不大過101的p+2的素數也是：

7，13，19，31，43，61，73，

這相當于假設中的j=i的情況。如果取max=k=102，prime.c運算的結果仍然和上述p+2的素數一樣，但是當max=k+1=103時，利用C - Free 5CJY版運行prime.c，得到p+2的素數為：7， 13， 19， 31， 43， 61， 73， 103，

這相應于假設中j >i的情況。如果計算機的整數取值范圍沒有限制，則可以取任意大的k以及k+1進行驗證。

因而，根據假設，利用C- Free 5 CJY版運行程序prime.c的數字結果表明：可以找到無窮多個素數p，相應的p+2亦為素數。定理得以證明。

【參考文獻】

[1]陳景潤.陳景潤文集[M].江西教育出版社，1998：346-347.

[2]王元.解析數論在中國[J].自然雜志，1980，3（8）：568-570，592.

[3]日本數學會編.數學百科辭典（中譯本）[M].科學出版社，1984：42-45.

[責任編輯：湯靜]