Px平差法在精密工程測量中的應用初探

黃吉來++王丹

摘 要：精密工程測量的主要任務在于對空間中具體實體的精密測量描繪和抽象幾何實體的精密測設實現的理論、方法和技術的研究。為了更大程度地提高測量的精度，以獲得更為可靠的測量成果，根據工程的要求和現場的具體條件進行特種精密工程測量，可采用通過精度分析，擬定切實可行的觀測方案以及使用適合于觀測方法和觀測值種類的平差方法。本文采用帶權約束參數平差法（P x平差法），對不銹鋼冷軋生產線的滾筒位置檢驗校正中的數據處理問題進行分析和研究，取得較好效果。

關鍵詞：平差法 精密工程 測量 應用

中圖分類號：P207.2 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）07（b）-0000-00

作為一條精密的自動化生產流水線的不銹鋼冷軋生產線，其設備極其精密，總長約20m，據此可以嚴格控制產品的質量。通過感應滾筒測量其厚度，不銹鋼原坯鋼板進入軋機室冷軋，然后經過長度為1.6m、直徑400mm的感應滾筒，檢驗已軋鋼板的厚度。因此，滾筒軸線要嚴格垂直于軋機縱軸線，偏差應≤±0.08mm；滾筒軸應水平，兩端高差應≤±0.08mm。兩個感應滾筒軸線的垂直度和水平度都要要求檢驗，若偏差大于上述要求，則校正滾筒軸，直到偏差滿足上述要求。

1 精密工程測量的定義和特點及平差理論的測量

研究地球空間中具體幾何實體的精密測量描繪和抽象幾何實體的精密測設實現的理論、方法和技術，就是精密工程測量的主要任務。它代表著工程測量學的發展方向。顧名思義，所謂的精密就是精確嚴密。要求高精度測量是精密工程測量的最大特點。測量平差時廣泛應用的就是最小二乘法。平差、濾波和推估都是最小二乘法的配置；概括平差模型就是附有限制條件的條件平差模型。它是由現代平差模型和各種經典的組成的統一模型。在對模型誤差的研究上，測量誤差理論主要包括：平差中函數模型誤差、隨機模型誤差的鑒別或診斷、模型誤差對參數的影響以及對參數和殘差統計的影響。由于需要檢驗變形監測網參考點的穩定性，這便導致了出現和發展自由網平差和擬穩平差，并且研究觀測值粗差促進了控制網可靠性理論，以及可區分性理論的研究和發展了變形監測網變形和觀測值粗差。穩健估計（或稱抗差估計）是出現在針對觀測值存在粗差的客觀實際條件下。因為針對病態的可能存在于發放成系數陣中，有偏估計得到了發展。穩健估計和有偏估計與最小二乘估計相區別，成為非最小二乘估計。

2 利用極坐標法對空間點三維坐標的精度估算進行測定

如圖所示，建立平行于縱軸線AB的軸線A?B?，將全站儀安置在平行軸線上與滾筒軸的一端C1，滾筒面兩段圓周上的若干點（如圖中的P?，P?，P?，P4等）的三維坐標可使用極坐標法來分別測定。滾筒面圓周約有120°的暴露部分，并且由平行于滾筒軸的x軸、平行于生產線縱軸的y軸以及作為鉛垂線的z軸組成一個獨立坐標系。可以以滾筒面圓周上各店三維坐標及滾筒的半徑為依據計算出滾筒兩端圓心（如圖中的a?，a?）的三維坐標，并且根據此可將滾筒軸線的垂直和水平偏差計算出來。設x0，y0，z0為儀器兩軸的中心坐標，以方位角α、天頂距β、斜距s作為對目標P的觀測值，則可根據中心坐標和目標P的觀測值以及公式x=x0+△x=s*cosαcosβ+x0、y=y0+△y=s*sinαcosβ+y0①和z=z0+△z=s*sinβ+z0計算出待定點P的空間坐標，而后根據協方差傳播定律可得到P點坐標的方差（mx 2=（△x*m s/s）2+（ △y*mα/ρ）2+ （△x*△z*mβ/Dρ）2 、my 2=（△y*m s/s）2+（△x*mα/ρ）2+（△y*△z*mβ/Dρ）2 ②、mz 2=（△z*ms/s）2+（D*mβ/ρ）2）和協方差（mxy=△x*△y*ms2/s2-△x*△y*m2 s/ρ2+△x*△y*△z2*mβ2/D2* ρ2 、mxz =△x*△z*ms2 /s2-△x*△z*mβ2/ρ2 ③ 、myz =△y*△z*ms2/s2-△y*△z*mβ2/ρ2）。從圖中還可看出點位的水平橫向誤差my和鉛垂方向mz 是滾筒軸的垂直度與水平度的關鍵，所以根據公式②和③，在一定的測角和測距精度條件下，應該限制△y與△z的數值（≤150mm）。因此，可根據各種能達到的測角和測距精度以及現場條件，然后用極坐標法估算測定點位的誤差，經過比較分析從而決定采用有效的方案。

3 平差法計算圓心坐標

要想計算出滾筒兩端圓心的坐標，可根據滾筒圓周上的兩點坐標和滾筒的半徑。比如也可以用平差方法求得圓心的坐標來測量圓周上的多于兩點。將用極坐標法測定的點位坐標作為“觀測值”可以采用帶權約束參數平差法（P x平差法）。為求出其圓心的精確坐標和精度，可用機械量測工具精確測定的半徑一起進行平差計算。

3.1帶權約束平差法的基本原理

方程式Pm ：V m=A?X?+A?X?+I m 和P x ：V x=A x X?+Ix ④是帶權約束參數平差的觀測值方程式，也叫做誤差方程式。在方程式中，將觀測值的改正值設為V m ；將已知點坐標的改正值設為V x；將已知點和已知點平差后坐標改正值（未知參數）分別設為 X?和 X?；將未知數的參數設為A?和A?，而I m和Ix 為觀測值方程式常數項；并且Pm為網中m個觀測值的權。因為觀測值之間是相互獨立的，為了方便計算，Pm作為對角陣，取先驗單位權中的誤差σ=1，因此，觀測值方差的倒數就是Pm矩陣的對角元素；由于σ=1，所以取P x為已知點的坐標值的權矩陣，那么可以用公式P x=Dx-1 ⑤進行計算.在該公式中，D x表示已知點的先驗方差協方差矩陣，可以從點平差資料中查得它或者根據定精度通過估算而得。以公式④為基礎，按照最小二乘原則可組成方程式NX+ATPL=0⑥，其中只有X為未知參數，所以通過公式可解出未知參數為X=-Q x ATPL（其中Q x=N-1 ⑦）那么由此可見，通過先求出已知點的先驗方差協方差陣D x，求出D x的逆，得到其權陣，然后再講已知點的坐標作為具有權陣P x的虛擬觀測值，最后一般觀測值與它一起組成方程式求解德到未知參數，這便是帶權約束參數平差與經典平差的差別。因此，又把帶權約束參數平差叫做P x平差。可先根據公式D x=σ02 Q x ⑧計算未知參數平差后的方差協方差陣來評定P x的精度。然后根據⑧計算出σ0=VTPV/r（σ0為平差后的單位帶權中誤差）⑨VTPV= VT m P m V m+ VT x P x V x ，r=（m+d）-n.其中設m為觀測值的個數；具有先驗方差協方差的已知點坐標數為d；而n則是未知數的個數，它包括坐標改正值未知數以及水平方向觀測中的測站定向未知數；多余觀測數設為r。在本精密工程中，將高精度觀測值（可以用千分尺測量）用滾筒的半徑值代替，有誤差的已知點在圓周上用極坐標法測定的點代替，按照公式②和③計算其坐標的方差和協方差，最后再用P x平差法計算滾筒兩端圓心點的坐標。

3.2確定觀測點數

已經知道滾筒面圓周約有120°的暴露部分，觀測點數在圓周上不宜過密。在圓周上，可能的觀測點數為3-9點。在模擬計算圓心坐標的誤差變化情況，使用Px平差程序能更好地選取恰當的觀測點數，用圖表將最后模擬 計算的結果表示出。由所給圖可知，圖2為圓心y坐標的協因數變化曲線，圖3所示為圓心z坐標的協因數變化曲線。

圖2 圓心y坐標的精度曲線

圖3 圓心z坐標的精度曲線

4 結語

自由網擬穩平差分析變形監測數據是平差方法中很有效的一種方法。它討論了網點穩定性檢驗結果是會手變形監測網的網型結構所影響的，同時也指出，其余動點的位移當在網中擬穩點組無法獨立構成網形時在各觀測周期間的坐標值是會產生影響的，其點位的穩定性分析結果也會受到扭曲。由此可得出，任何一種變形分析的平差方法都具有自己適用范圍，要想取得滿意的結果，那么就要在了解工程性質和掌握其先驗信息的技術上，選擇一種合適的平差分析法。其精度要求是用常規測量方法難以達到的特殊密工程測量是本文所討論的主要內容。因此，本文提出可以很好地解決這一問題的測量方案和平差。在施測的方案中，對于特種精密工程的測量，根據測量儀器的特點，充分利用和發揮它的特長，揚長避短，為使測距的精度影響減少到零，可采用高精度的測角方式而不是采用精度較差的測距手段，與此同時，在進行數據處理時為提高計算成果的精度和可靠性應采用恰當的平差方法。現代化工廠的標志是工業自動化生產線，但是有著極高精度要求的生產線上的軸線檢測有傳統的機械量具手段是難以滿足這一要求的。為了能夠很好地解決這一問題，可采用現代化的精密工程測量技術，在當今各個學科之間，這也體現了相互借鑒相互滲透的發展趨勢。

參考文獻

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