淺談相輔相成的數學知識與解題能力

劉會賓

高考復習已進入沖刺階段，如何在短暫的時間內迅速扭轉局面，最大限度地提高學生的應試水平呢？我認為還是應該按照考試大綱的要求，根據“基礎知識與能力并重”的原則，以“能力立意”為指導思想，復習中始終將知識、能力與素質融為一體通盤考慮，全面提升學生的數學素質。

為什么要知識、能力與素質融為一體通盤考慮呢？我們可以考察一下它們的關系。

首先，數學知識與解題能力是“手心手背”的關系。解題能力決定了一個人掌握數學知識的速度與質量;數學知識則為解題能力奠定基礎，“無知者無能”，沒有數學知識就不可能有解題能力。

認知心理學的研究表明，一個人不能“數學地”思考和解決問題的主要原因是缺乏必要的數學知識，“隔行如隔山”就是這個道理。

數學概念形成的能力、思維和語言表達的能力要在數學知識學習中有意識地培養，正是由于已掌握的數學知識的廣泛遷移，個體才能形成系統化、概括化的數學認知結構，從而形成解題能力。

反觀高三數學復習，問題首先在基礎不落實上，由此也導致了數學能力和素質的低水平徘徊。例如，在“基本不等式”的復習中，除了反復強調“一正二定三相等”外，主要精力集中于變形技巧訓練。但學生面臨新問題時，不僅仍然不顧“正”“定”“相等”的要求，有的甚至根本想不到用基本不等式。究其原因，還是教師沒有抓住基本不等式的結構特征這一核心進行教學。實際上，基本不等式表明了正數a，b的和與積的大小關系，有固定的形式結構。變形的技巧無窮，但都是為了轉化為這一形式結構;而用基本不等式求最大（小）值時，首先應看是否具有“和”或“積”為常數的條件（“和”或“積”為常數是使用基本不等式的信號）。

我想，抓住這一根本，再精選若干典型問題訓練學生的思考習慣，就可實現舉一反三。

其次，數學知識和解題能力是數學素質的基本要素。數學素質訴諸于實踐就表現為解題能力，離開解題能力，數學素質就無從表現、觀察、確證和把握。在數學活動中體現的數學素質對數學知識有極大的依賴關系，數學知識在人的整體素質中也居于不可替代的基礎地位。

個體數學素質的高低，取決于他占有的數學知識的廣度與深度，正是在數學知識的學習和使用中，學生才建構了自己的數學認知結構及“數學地”思考和行為的習慣。

數學問題是數學的核心，學數學就意味著解題，但數學問題千變萬化，無窮無盡，“題海”茫茫。要使學生身臨題海而得心應手，身居考室而處之泰然，就必須培養他們的解題能力。教師在教學中如何更好地引導學生解答數學問題，不斷提高學生的數學解題能力是一件不容易的事。任教以來，在培養和提高學生解題能力方面，我經常進行如下一些做法，收效很好。

一、教會學生審題

審題是成功的完成一道數學題的關鍵性的一步。審題的具體任務，就是通過題目的思考和分析，了解命題者的意圖，弄清題目所考查的知識范圍，明確解題的方法，從而正確的解出題目。在平時教學中，我經常采用如下審題方法。

“一審”，也就是第一遍審題。作為第一遍審題因題而論，對于題目自身比較簡單的題目，完全可以找到題目的解決方法。而對于比較難的題目我們就要靜下心來仔細審題了。有很多學生一看到難題就擔心害怕。害怕的原因有這幾個：

1.這部分知識本身就是學生學習的難點，知識體系難度較大。

2.這種題目比較長，讀起來像讀作文一樣，讀完一遍還不知什么意思。

3.這部分題目涉及的知識面比較廣，基礎差的同學無從下手。

遇到這樣的題目先要從心理上戰勝自己，不怕不會，不怕麻煩，靜下心認真閱讀，步步攻克。

二、讓學生養成解題后“回頭看”的習慣

提高解題能力取決于提高解題的質量。那么，如何提高解題的質量呢？我認為一種極其有效的途徑就是養成解題后“回頭看”的習慣。看看解題結論是否正確合理、嚴密完善;看看本題有無其他解法，多種解法中哪種最簡捷;再看看原題的解法和結論能否進一步推廣，并探索出一般規律，如此等等，這對于提高解題能力有極大的幫助。但是，不少同學未能養成這樣的習慣，因而解題能力和思維品質未能得到有效的提高和升華。

因此，在平時講解題目時，我都有意識地進行“回頭看”， 及時進行反思總結，反思總結解題過程的來龍去脈、題與題間的聯系，有何規律可循;反思總結題還有無其他解法，養成多角度多方位的思維習慣;反思總結做錯題的原因，是知識掌握不準確、解題方法不正確，還是審題不清、計算錯誤。

通過對解題過程的“回關看”，將知識橫向、縱向聯系，使知識網絡化。通過以點帶線，以線帶面的知識間的聯系，使知識結論立體化，這樣有助于理解、掌握和運用，從而達到深化基礎，完善知識結構的目的。

三、運用變式訓練，拓展習題外延

在復習過程中，我常常發現一些學生的思維表現較為狹窄，只知其一，不知其二，稍有變化，就不知所云。因此，反復進行拓展、變式訓練，可幫助學生克服思維狹窄性。習題要創新、要善變，通過原題目延伸出更多具有相關性的新問題，產生一個個既相似又有區別的問題。在變中求進，進中求通，探索問題的本質屬性。

通過變式訓練，將知識一環套一環，使學生對概念、定理的本質有更加清晰的認識，實現“以少勝多”的目標。

四、學生編寫“錯題集”

每位學生都準備一本“錯題集”，每天將做錯的習題記錄下來，一要記錄錯誤的地方，二要寫出錯誤原因，三要寫出正確答案。對錯誤的、沒弄清楚的題目要反復思考，實在解決不了的要請教老師和同學，經常在易錯的地方拿出來強化，作適當的重復性練習。

編寫“錯題集”的目的是誘導學生暴露他們原有的思維方法和過程，利用它來反思自己學習中存在的問題，這樣日積月累的一本“錯題集”就是學生學習的“兵法”，在后續的學習中就可以做到有的放矢，對癥下藥，而且編寫“錯題集”的過程可以提高學生的思維能力，調動其學習的積極性。在中學數學教學中，我們的任務不僅僅是傳授數學知識，培養學生的思維能力也應是教學活動至關重要的一部分，而誘導學生暴露其原有的思維過程，對于突破學生的數學思維障礙會起到極其重要的作用。

總之，學生解題能力的提高，不是一朝一夕能做到的，也不是僅靠教師的潛移默化和學生的自覺行動就能做好的，需要教師根據教學實際，堅持有目的、有計劃地進行培養和訓練。只有這樣，才能真正把這一工作做好。